Einstieg in die Wirtschaftsmathematik

In diesem Kapitel werden die für das Verständnis des vorliegenden Buches wesentlichen Grundbegriffe und Rechenregeln der Schulmathematik noch einmal kurz dargestellt und an einigen Beispielen (mit Lösungen) illustriert. Neben grundlegenden Instrumenten der Elementarmathematik geht es dabei u. a. um die Darstellung von Funktionen einer Variablen, analytische Geometrie sowie Zahlenfolgen und Zahlenreihen. Anhand von weiteren Übungsaufgaben kann der Leser überprüfen, ob er die behandelten Teilgebiete der Mathematik ausreichend beherrscht. Bei entsprechenden Vorkenntnissen kann das gesamte Kapitel auch übersprungen werden.

In diesem Kapitel werden die Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre behandelt. Es werden u. a. Aussagen, Aussageverbindungen, Schlussweisen, Mengen, Relationen von und Operationen mit Mengen sowie die Begriffe Abbildung und Funktion vorgestellt. Die dabei eingeführten Begriffe und Denkweisen sind von besonderer Bedeutung für die folgenden Kapitel, da sie die Basis für das Verständnis weiterführender mathematischer Betrachtungen bilden. Dazu werden eine Reihe von Beispielen und Übungsaufgaben gebracht, die beim Aneignen des Stoffes helfen.

In diesem Kapitel werden betriebs- und volkswirtschaftlich wichtige Fragen wie die Bewertung von Zahlungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten, Zinsen als Äquivalent für das Überlassen eines Kapitals, Ermittlung von Kapitalwerten als Bewertungsgrundlage von Investitionen u. a. behandelt. Beim ersten Lesen kann dieses Kapitel auch übersprungen werden, da aus mathematischer Sicht nur relativ einfache Hilfsmittel, nämlich vor allem arithmetische und geometrische Zahlenfolgen und -reihen benötigt werden. Andererseits kann es als Grundlage eines eigenständigen Kurses zur Finanzmathematik dienen. In der Darlegung wird eine Art „Baustein“-Zugang gewählt, um den Leser mit einfachen, aber für finanzmathematische Probleme typischen Fragestellungen soweit vertraut zu machen, dass er in der Lage ist, in der Praxis vorkommende, kompliziertere Modelle selbstständig untersuchen zu können.

In der Linearen Algebra geht es um das Rechnen mit Vektoren und Matrizen, das Lösen linearer Gleichungssysteme und weitere damit verbundene Begriffe wie lineare Vektorräume, lineare Unabhängigkeit, Determinanten usw. Im vorliegenden Kapitel werden u. a. diese Begriffe und ihre Eigenschaften vorgestellt und mit Beispielen und Übungsaufgaben illustriert. Wir zeigen wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen der linearen Algebra wie z. B. die Teileverflechtung (Input-Output-Analyse) oder das Leontief-Modell, wo der Eigenverbrauch in Produktionsprozessen mithilfe einer inversen Matrix ermittelt werden kann. Eine zentrale Stellung im Kapitel nimmt der Gauß’sche Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme und Bestimmung inverser Matrizen ein, dessen Ablaufplan mit diversen Beispielen verständlich und nachvollziehbar hergeleitet und begründet wird. Damit wird auch die Grundlage für die Lösung Linearer Optimierungsprobleme mit der Simplexmethode (im folgenden Kapitel) gelegt.

Die lineare Optimierung ist ein mathematisches Teilgebiet, in dem es darum geht, aus verschiedenen, typischerweise unendlich vielen, zulässigen Varianten die hinsichtlich eines bestimmten Kriteriums beste Variante auszuwählen. Sie wird üblicherweise zur Unternehmensforschung oder Operations Research gerechnet, eine Disziplin, in der es um die Erstellung und Analyse mathematisch-ökonomischer Modelle zur Lösung von Problemen geht, die vorrangig betriebswirtschaftlicher Natur sind. Die Modellierung solcher linearer Optimierungsprobleme, ihre graphische bzw. numerische Lösung mit der Simplexmethode werden detailliert an diversen praktischen Beispielen und Übungsaufgaben diskutiert. Zusätzlich wird auch auf Fragen der Dualität und deren ökonomische Interpretationsmöglichkeiten eingegangen.

Während im Kap. 6 Funktionen einer Variablen betrachtet wurden, sind in diesem Kapitel Funktionen mehrerer Veränderlicher Untersuchungsobjekt. Beide gehören zum „Handwerkszeug“ des Wirtschaftswissenschaftlers. Nach der Betrachtung einiger instruktiver Beispiele, die belegen, dass Kenngrößen wirtschaftswissenschaftlicher und wirtschaftspraktischer Natur oftmals von mehreren Einflussgrößen abhängig sind, werden die Wirkungen einzelner Einflussfaktoren sowie deren Gesamteinfluss auf eine Ausgangsgröße untersucht, was mathematisch auf die Begriffe der partiellen Ableitung bzw. des vollständigen Differenzials führt. Die hier dargelegten Grundlagen werden vor allem im nächsten Kapitel zur Extremwertrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen Anwendung finden.

In diesem Abschnitt wird es darum gehen, Funktionen auf ihren größten oder kleinsten Wert zu untersuchen, eine Aufgabenstellung, die bereits für Funktionen einer Variablen von großer Bedeutung war. Häufig werden die unabhängigen Variablen durch weitere Forderungen eingeschränkt, was auf Extremwertprobleme unter Nebenbedingungen führt. Eine der vielleicht bedeutsamsten Anwendungen der Extremwertrechnung ist die Methode der kleinsten Quadratsumme, die bei Prognose- und Trendrechnungen, bei der Regressionsanalyse in der Statistik und in anderen Bereichen benutzt wird. Ihr ist ein eigener Abschnitt gewidmet. Eine Anzahl von Beispielen demonstriert sowohl mathematische als auch anwendungsorientierte Aspekte der Extremwertrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Eine wichtige generelle Voraussetzung ist die Differenzierbarkeit aller eingehenden Funktionen.

Neu gegenüber früheren Untersuchungen sind im vorliegenden Kapitel:

In diesem Kapitel soll vorrangig der Begriff des Integrals eingeführt und erörtert werden; die Entwicklung besonderer Fertigkeiten im Integrieren steht nicht im Vordergrund. Die Integralrechnung dient neben der direkten Beschreibung und Lösung bestimmter wirtschaftswissenschaftlicher Probleme vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik als Grundlage für eine korrekte Definition solcher Begriffe wie Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert usw. Zwei – voneinander zunächst unabhängige – Fragestellungen führten zur Entwicklung der Integralrechnung: auf der einen Seite die Suche nach einer Funktion, deren Ableitung gleich einer vorgegebenen Funktion ist, was zum Begriff des unbestimmten Integrals führt, zum anderen der Wunsch, die Fläche unterhalb einer vorgegebenen Funktionskurve exakt zu bestimmen, woraus der Begriff des bestimmten Integrals resultiert. Interessanterweise hängen beide Probleme eng miteinander zusammen. Auch für den Leser mit Vorkenntnissen in der Integralrechnung dürften sicherlich der Begriff des uneigentlichen Integrals sowie die Methode der näherungsweisen Integralberechnung mittels numerischer Integration neu sein. Ferner werden Integrale von Funktionen zweier Veränderlicher eingeführt.

In diesem Kapitel sind die Lösungen nahezu aller im Buch gestellten Übungsaufgaben angegeben; die meisten davon sind vollständig ausgearbeitet.

Die folgende Klausur wurde vor einigen Jahren nach dem zweisemestrigen Grundkurs „Mathematik für Studenten der Wirtschaftswissenschaften“ an der TU Chemnitz gestellt. Zur Bearbeitung der Aufgaben standen vier Stunden zur Verfügung, als Hilfsmittel waren beliebige Nachschlagewerke (ohne Rechenbeispiele) sowie Taschenrechner zugelassen. Zum Bestehen waren 50 % der erreichbaren 120 Punkte notwendig.