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2023 | Book

Einführung und Grundbegriffe stochastischer Prozesse Read chapter Read first chapter

Einstieg in stochastische Prozesse

Grundlagen und Anwendungen mit vielen Übungen, Lösungen und Videos

Authors: Thorsten Imkamp, Sabrina Proß

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch führt in das faszinierende Gebiet der stochastischen Prozesse ein, indem es die entsprechenden Inhalte verständlich darstellt und sie mit Anwendungen aus den Natur- und Ingenieurwissenschaften verbindet. Es enthält zahlreiche vollständig durchgerechnete Beispiele, in denen bei Bedarf die Softwaretools MATLAB und Mathematica eingesetzt werden. Mithilfe von sowohl theoretischen als auch anwendungsorientierten Übungsaufgaben können die vorgestellten Verfahren erlernt und das Verständnis vertieft werden. Für fast alle Aufgaben werden vollständige Lösungswege im Buch oder im zugehörigen YouTube-Kanal der Autoren präsentiert. Zur Aneignung und Festigung der Inhalte erhalten Leser des Buchs zudem passende Lernfragen, auf die sie in der Springer-Flashcards-App zugreifen können. Das Buch bietet somit ein stimmiges Gesamtpaket und eignet sich hervorragend zum Selbststudium.

Nach einem Überblick über die notwendigen mathematischen Grundlagen erfolgt eine ausführliche und mit vielen Beispielen gestützte Einführung in Theorie und Praxis zeitdiskreter und zeitstetiger Markoff-Ketten, sowie Varianten von Markoff-Prozessen – insbesondere Wiener-Prozesse zur Modellierung der Brown‘schen Bewegung. Danach erfolgen systematische Einführungen in Martingale, Warteschlangen und die Zuverlässigkeitstheorie. Monte-Carlo-Simulationen finden in einem eigenen Kapitel Platz, das neben einer ausführlichen Beschreibung der Methode auch Spielraum für eigene Experimente mit den dort vorgestellten Programmen bietet. Eine Einführung in die Grundlagen der (stochastischen) Petri-Netze und ein leicht zugänglicher Einstieg in die stochastische Analysis (stochastische Integrale, stochastische Differentialgleichungen) runden das Buch ab.

Table of Contents

Frontmatter
1. Einführung und Grundbegriffe stochastischer Prozesse
Zusammenfassung
Stochastische Prozesse sind umgangssprachlich zeitlich aufeinanderfolgende, zufällige Aktionen oder Vorgänge. Aus mathematischer Sicht umfasst der Begriff eine ganze Reihe unterschiedlich zu modellierender Prozesse mit spezifischen Eigenschaften, die in den verschiedensten Fachgebieten Anwendung finden. Die Liste reicht von Börsenkursen, über die Kapitalentwicklung von Unternehmen oder Versicherungen, bis hin zur mathematischen Modellierung des Verhaltens unterschiedlicher Vielteilchensysteme in der Physik. Auch Populationsentwicklungen oder die Ausbreitung von Epidemien, das Wettergeschehen, die Zuverlässigkeit technischer Systeme oder das Verhalten quantenmechanischer Objekte werden mithilfe stochastischer Prozesse modelliert und ihre weitere Entwicklung prognostiziert. In diesem Buch stellen wir, gestützt durch viele Beispiele, in einzelnen Abschnitten sowohl die mathematische Theorie spezifischer stochastischer Prozesse dar, als auch interessante Anwendungen, insbesondere in Naturwissenschaften, Finanzmathematik und Technik.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
2. Mathematische Grundlagen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir alle für das Verständnis der folgenden Kapitel wichtigen Grundbegriffe, Definitionen und Sätze (ohne Beweise) zusammenstellen. Die meisten der stochastischen und allgemeinen Grundlagen sind knappe Zusammenfassungen aus unserem Buch „Einstieg in die Stochastik“ (siehe Imkamp und Proß 2021), einige Grundlagen der Analysis solche aus unserem Buch „Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg“ (siehe Proß und Imkamp 2018). Zur Wiederholung der Grundlagen sei auch auf unseren YouTube-Kanal „Brückenkurs Mathematik“ verwiesen.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
3. Markoff-Prozesse
Zusammenfassung
In diesem Kapitel lernen wir die wichtigen Markoff-Prozesse kennen. Diese lassen sich zum einen anhand des Parameterraums T in zeitdiskrete und zeitstetige Prozesse unterteilen, und zum anderen wird zwischen diskreten und stetigen Zustandsräumen Z unterschieden (siehe Abb. 3.1).
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
4. Martingale
Zusammenfassung
Es ist der Traum eines jeden Glücksspielers, ein gerechtes Spiel in eines mit eigenem Vorteil zu verwandeln. Mathematisch gesprochen: Man will aus dem Erwartungswert null einen positiven Erwartungswert machen. Unter Roulette-Spielern ist eine Progression bekannt, die sich Martingal nennt. Sie besagt: Verdopple, wenn du verlierst! Angenommen, man setzt 10e auf Rot. Kommt Rot, so hört man auf und hat 10e gewonnen, da Rot 1:1 ausbezahlt wird. Verliert man jedoch, so setzt man beim nächsten Mal 20e. Kommt dann Rot, so hat man netto 10e gewonnen. Verliert man, so setzt man 40e, dann 80e etc. Da irgendwann Rot kommen muss, scheint das System auf den ersten Blick todsicher zu sein. Es funktioniert aber nur, wenn man unendlich viel Kapital zur Verfügung hat (womit sich die Motivation zu spielen dann wohl in Grenzen hält!) und es kein Tischlimit gibt (tatsächlich gibt es in allen Casinos - nicht zuletzt auch zu deren Schutz - an den Tischen obere Grenzen dessen, was auf eine Chance wie Rot gesetzt werden darf). Real kann man mit dem beschriebenen System beim Versuch, 10e oder einen anderen kleineren Betrag zu gewinnen, ein Vermögen verlieren. So viel als Warnung!
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
5. Warteschlangensysteme
Zusammenfassung
Kein Mensch wartet gerne unnötig. Kommt man zu einer ungünstigen Zeit in einen Supermarkt, so muss man unter Umständen sehr lange an der Kasse anstehen. Ebenso kommt es auf Autobahnen oder im Stadtverkehr zu Staus oder Warteschlangen vor Ampeln. Die Optimierung eines Systems hinsichtlich kurzer Wartezeiten ist also ein wichtiger Bereich der angewandten Mathematik. Da Warteschlangen auch bei technisch-ökonomischen Prozessen (Bedienungszeit von Apparaten oder Maschinen, Abwicklung von Aufträgen, Verkehrs- undWarenlogistik) oder in derWissenschaft (Signaleingang und –analyse) eine wichtige Rolle spielen, sind die Warteschlangensysteme ein wichtiges Teilgebiet des Operations Research (Unternehmensforschung).
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
6. Zuverlässigkeitstheorie und technische Systeme
Zusammenfassung
Unter Zuverlässigkeit (engl. Reliability) versteht man in der Technik die Eignung eines Systems, während einer gewissen Zeitspanne die an es gestellten Forderungen zu erfüllen.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
7. Monte-Carlo-Simulationen
Zusammenfassung
Monte-Carlo-Simulationen (kurz: MC-Simulationen) sind Verfahren, bei denen mithilfe von (Pseudo-)Zufallszahlen bzw. Zufallsstichproben technische, naturwissenschaftliche oder wirtschaftswissenschaftliche Prozesse simuliert werden. Derartige MC-Simulationen kommen im wachsenden Maße dort zum Einsatz, wo die analytische Berechnung zu schwierig, oder der zur Erprobung notwendige experimentelle oder technische Aufwand des betrachteten Prozesses zu groß ist. So werden derartige Verfahren z. B. gerne für die numerische Berechnung strömungsmechanischer Vorgänge, wie etwa in der Luftfahrt- oder Automobilindustrie, angewendet, um einerseits Kosten zu sparen, und andererseits die zugehörigen, sehr schwierigen oder gar unmöglichen analytischen Berechnungen zu umgehen. Insbesondere bei Vielteilchensystemen der statistischen Physik wird die Methode häufig erfolgreich angewendet. Im Zeitalter moderner Supercomputer werden so in vertretbarer Zeit gute Ergebnisse erzielt.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
8. Petri-Netze
Zusammenfassung
Petri-Netze sind ein graphisches Modellierungskonzept zur Darstellung und Modellierung von Verhaltensweisen mit Konkurrenz, Nebenläufigkeit, Synchronisierung, Ressourcenteilung und Nichtdeterminismus.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
9. Grundlagen der stochastischen Analysis
Zusammenfassung
Die stochastische Analysis beschäftigt sich mit der Anwendung von Begriffen und Verfahren der Analysis auf stochastische Prozesse. Die auftretenden Zufallsvariablen können hierbei als Zufalls-Funktionen betrachtet werden. Zentrale Begriffe der stochastischen Analysis sind die stochastischen Integrale und die stochastischen Differentialgleichungen. Die wichtigsten Anwendungen treten in Physik, Biologie und Finanzmathematik auf. Hier sind an erster Stelle die Brown’sche Bewegung und das 1997 mit dem Nobelpreis fürWirtschaftswissenschaften geehrte Black-Scholes- Modell zu erwähnen. Beim letzteren handelt es sich um ein stochastisches Modell zur Bewertung von Optionen auf Aktien, deren Kursentwicklung sich wiederum im Rahmen des Modells mittels einer stochastischen Differentialgleichung beschreiben lässt. Grundlegender Prozess ist in allen Fällen der Wiener-Prozess als mathematische Beschreibung der Brown’schen Bewegung, die uns bereits in Abschn. 3.3 begegnet ist. Wir beginnen daher zunächst mit einer eingehenden Untersuchung des Wiener-Prozesses.
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
10. Anhang A
Zusammenfassung
Die stochastische Matrix lautet
Thorsten Imkamp, Sabrina Proß
Backmatter
Metadata
Title
Einstieg in stochastische Prozesse
Authors
Thorsten Imkamp
Sabrina Proß
Copyright Year
2023
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-66669-2
Print ISBN
978-3-662-66668-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-66669-2