Elastizitätstheorie

Frontmatter

0. Einleitung

Zusammenfassung

„Die Elastomechanik handelt von dem Verhalten der festen Körper unter Belastung. Sie verhilft dem Menschen, der Gebrechlichkeit alles Irdischen Herr zu werden und die Materie nach seinem Willen auszunutzen!“

Hans Georg Hahn

1. Statische und kinematische Grundlagen

Zusammenfassung

Verformbare Körper (Festkörper und Fluide) ändern ihre Größe und Gestalt unter der Einwirkung äußerer Kräfte (Lasten). Bei Festkörpern werden Verformungen erzeugt, bei Fluiden Strömungen verursacht und es entstehen in beiden Fällen dabei innere Kräfte. Deren Größe und Verteilung im betrachteten Körper ist sowohl von den Lasten als auch von der geometrischen Gestalt der Körper abhängig.

Hans Georg Hahn

2. Stoffgesetz der Elastizitätstheorie (Beziehung zwischen Spannungen und Verzerrungen)

Zusammenfassung

Die bisherigen statischen und kinematischen Betrachtungen gelten unabhängig vom Materialverhalten für alle festen und fluiden Körper.

Hans Georg Hahn

3. Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Für die Lösung eines elastischen Problems, d. h. die Ermittlung der 15 unbekannten Funktionen u_i, e_ij, σ_ij (i, j = 1, 2, 3) stehen die Grundgleichungen

$$ {\sigma _{ij,j}} + {f_i} = 0$$

(3.1)

$$ { \in _{ij}} = \frac{1}{2}({u_{i,j}} + {u_{j,i}})$$

(3.2)

$$ {\sigma _{ij}} = 2G\left( {{ \in _{ij}} + \frac{\nu }{{1 - 2v}}{\delta _{ij}}e} \right)$$

(3.3)

oder

$$ { \in _{ij}} = \frac{1}{{2G}}\left( {{\sigma _{ij}} + \frac{\nu }{{1 + v}}{\delta _{ij}}s} \right)$$

also insgesamt 15 lineare partielle Diff.-Gl. zur Verfügung.

Hans Georg Hahn

4. Energiebetrachtungen (Energiesätze der Elastizitätstheorie)

Zusammenfassung

In den vorhergehenden Abschnitten wurden bereits die Begriffe Arbeit und Energie verschiedentlich verwendet, die in der gesamten Mechanik eine wichtige Rolle spielen. Arbeit und Energie sind definitionsgemäß miteinander verknüpft. Kräfte können in einem mechanischen System Arbeit leisten, das System kann Energie besitzen¹).

Hans Georg Hahn

5. Allgemeine Lösungsansätze für die Grundgleichungen

Zusammenfassung

Es existieren keine allgemeinen Lösungen und auch keine in allen Fällen anwendbaren Lösungsmethoden für die Navier schen und die Beltrami — Michell schen Gleichungen (sog. Grundgleichungen der Elastizitätstheorie).

Hans Georg Hahn

6. Überblick über weitere Lösungsverfahren der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Wie bereits erwähnt wurde, ist es sehr schwierig, exakte Lösungen der Grundgleichungen mit vorgeschriebenen Randbedingungen zu gewinnen. Gleichwohl ist es mit den im vorigen Abschnitt behandelten allgemeinen Lösungsansätzen möglich, in zahlreichen Fällen fundamentale und für die Anwendung bedeutsame Probleme der Elastizitätstheorie zu lösen.

Hans Georg Hahn

7. Eindimensionale Probleme: Axialbelastung, Biegung und Torsion prismatischer Stäbe

Zusammenfassung

Für technische Anwendungen der Elastizitätstheorie spielen eindimensionale feste Körper eine wichtige Rolle. Es handelt sich um Körper, die im wesentlichen nur in einer Richtung ausgedehnt und deren Querschnittsabmessungen klein gegen die Längsausdehnung sind. Solche prismatischen Stäbe (mit geradliniger Achse und konstantem Querschnitt beliebiger Form) werden auch als Balken bezeichnet. Sie sind nicht nur die einfachsten sondern auch die wichtigsten Bauelemente, für die schon frühzeitig vereinfachte Näherungslösungen aufgestellt wurden.

Hans Georg Hahn

8. Ebene (zweidimensionale) Probleme der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Von großer Bedeutung für die Anwendungen sind Probleme, bei denen die maßgebenden Funktionen nur von zwei Koordinaten abhängen. Hierbei sind zwei Fälle zu unterscheiden, deren mathematische Behandlung übereinstimmt, der ebene Verzerrungszustand (EVZ) und der ebene Spannungszustand (ESZ).

Hans Georg Hahn

9. Räumliche Elastizitätsprobleme

Zusammenfassung

Im folgenden sollen etliche fundamentale Lösungen von räumlichen Elastizitätsproblemen besprochen und diskutiert werden, die mit den in Abschn. 5 beschriebenen allgemeinen Lösungsansätzen gefunden wurden. Weitere grundlegende Lösungen werden ebenfalls behandelt.

Hans Georg Hahn

10. Anhang: Kartesische Tensoren

Zusammenfassung

Zur Beschreibung konkreter Sachverhalte in der Kontinuumsmechanik werden physikalische Größen eingeführt, die Skalare, Vektoren oder Tensoren sind. Skalare Größen sind unabhängig vom Koordinatensystem, Vektoren und Tensoren als nichtskalare Größen besitzen Komponenten, die sich beim Übergang von einem zu einem anderen Koordinatensystem ändern.

Hans Georg Hahn

11. Literaturverzeichnis

Hans Georg Hahn

Backmatter