Elektrodynamik

Ein Buch über Elektrodynamik geht gewöhnlich von intuitiv bekannten Größen wie Strom, Spannung, Ladung und elektrischem Widerstand aus und führt dann über die Begriffe der elektrischen und magnetischen Felder und Potentiale zu einer Verknüpfung dieser Größen. Sir Michael Faraday hat diese Zusammenhänge experimentell und mit großem Geschick untersucht, indem er etwa feststellte, dass ein Ladungstransport, also ein Strom, mit einem Magnetfeld verknüpft ist und ein veränderliches Magnetfeld eine Spannung in einer Spule hervorruft. Das Oersted-Experiment demonstriert, dass ein elektrischer Strom ein Magnetfeld erzeugt. Die Erhaltung der Ladung wird mathematisch durch die Kontinuitätsgleichung (in integraler sowie in differentieller) beschrieben. Über die Einführung des nach ihm benannten Verschiebungsstroms konnte James Clerk Maxwell die bis dahin unvollständigen Gleichungen so erweitern, dass sie mit der Ladungserhaltung konsistent sind. Ihm ist es gelungen, die nur scheinbar unterschiedlichen Phänomene von elektrischen und magnetischen Erscheinungen zu vereinigen und mathematisch elegant in seinen Gleichungen zusammenzufassen, womit ihm eine Synthese vorher getrennt wahrgenommener Vorgänge geglückt ist. Diese Maxwell-Gleichungen werden in differentieller und integraler Form für das Vakuum sowie für die Anwesenheit von Materie angegeben. Dabei werden lineare und nichtlineare Materialien kurz beschrieben. In einem Essential zur Elektrodynamik kann man nun ausgehend von den Maxwell-Gleichungen die Hauptergebnisse der elektrischen und magnetischen Erscheinungen angemessen herleiten.

Man betrachtet zunächst eine ortsfeste Ladung in einem Bezugssystem. Die Ladung Q habe keine räumliche Ausdehnung, sei also eine Punktladung. Nach dem Coulombschen Gesetz übt sie auf eine sich an einem beliebigen anderen Ort befindende Probeladung q eine Kraft aus, die proportional zu den beiden Ladungen und indirekt proportional zu deren Abstandsquadrat ist und in Richtung der Verbindungslinie beider Ladungen wirkt. Die auf die Probeladung q bezogene Kraft stellt an deren Ort das Vektorfeld der elektrische Feldstärke E dar. Das Superpositionsprinzip für Kräfte überträgt sich auf die elektrische Feldstärke, womit Felder mehrerer Punktladungen oder auch kontinuierlicher Ladungsverteilungen durch Überlagerung beschrieben werden können. Die über eine geschlossene Oberfläche integrierte elektrische Feldstärke ist proportional zur sich im eingeschlossenen Volumen befindlichen Ladung (Gaußsches Flussgesetz). In differentieller Form beschreibt es, dass die Ladungen gerade die Quellen des elektrischen Feldes sind. Da das elektrische Feld wirbelfrei ist, kann man dazu ein Potential angeben, welches dann seinerseits durch die sich ergebende Poisson-Gleichung beschrieben wird. Von den aus Punktladungen aufgebauten Ladungskonfigurationen ist der Dipol von besonderer Bedeutung. Nach der Betrachtung der Elektrostatik mit Leitern, speziell dem Plattenkondensator, wird kurz auf die Verwendung von Dipolen zur Beschreibung von Dielektrika eingegangen.

In der Elektrostatik wurden ausschließlich statische Anordnungen von Ladungen betrachtet, also solche, die sich im betrachteten Zeitraum nicht verändern. Bei Polarisations- oder Influenzvorgängen treten zwar kurzzeitig Ladungsverschiebungen auf, an deren Ende erhält man jedoch einen statischen Zustand, und nur dieser wird quantitativ beschrieben. Sich bewegende elektrische Ladungen stellen einen Strom elektrischer Ladung dar, welcher auch kurz elektrischer Strom genannt wird. Eine Stromdichte ist das Produkt aus Ladungsdichte und Geschwindigkeit der Ladung, und ein (differentieller) Strom durch ein (differentielles) Flächenstück ergibt sich dann durch die Projektion auf die Normale dieses Flächenstücks. Die in vielen Leitern vorliegende Proportionalität der mittleren lokalen Stromdichte zum elektrischen Feld führt makroskopisch auf die Proportionalität von Strom und Spannung mit einer Proportionalitätskonstante, die nur vom Material und der Geometrie des Leiters - dem Widerstand - abhängt und damit zum Ohmschen Gesetz. Neben diesen ohmschen Widerständen gibt es viele nichtohmsche Verbraucher, wovon die Ionen- und Elektronenleitung in ionisierten Gasen näher betrachtet wird. Schließlich werden auch solare Teilchenströme kurz erörtert.

Grundlegende Experimente der Elektrodynamik haben ergeben, dass die Kraft auf ein bewegtes Teilchen in einem zunächst statischen Magnetfeld proportional zur Ladung und zur Geschwindigkeit des Teilchens sowie zur Stärke des Magnetfeldes ist und senkrecht auf der Geschwindigkeit und dem Magnetfeld steht. Für positiv geladene Teilchen ist die Richtung der Kraft durch die Rechte-Hand-Regel gegeben, sodass ein Kreuzprodukt von Teilchengeschwindigkeit und Magnetfeld auftritt. In homogenen Magnetfeldern führen geladene Teilchen Bewegungen auf Schraubenlinien aus, bei Bewegungen senkrecht zum Magnetfeld entstehen Kreisbahnen. Bewegte Ladungen sind Ströme und erzeugen so magnetische Felder. Auch die Magnetfeldrichtung wird durch eine Rechte-Hand-Regel beschrieben. Die Berechnung magnetischer Flussdichten erfolgt im Allgemeinen mit dem Gesetz von Biot und Savart. Die Bewegung von Leiterschleifen in Magnetfeldern kann über die Relativbewegung von Ladungen und Magnetfeld zu effektiven Kraftwirkungen entlang der Leiterschleife und damit zu einer induzierten Randspannung führen. Die allgemeine Formulierung dieser Beobachtung führt auf das das Faradaysche Induktionsgesetz, welches in differentieller Formulierung eine der Maxwell-Gleichungen ist. Als eine der vielen technischen Anwendungen der Induktion wird das Wirbelstromlevitometer näher betrachtet.

Aus der Nichtexistenz magnetischer Ladungen, also die Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdichte \(\mathbf{B }\), lässt sich diese als Rotation eines Vektorpotentials \(\mathbf{A }\) schreiben. Die homogene Maxwell-Gleichung für die Rotation der elektrischen Feldstärke E ergibt dann die Rotationsfreiheit der Summe aus E und der Zeitableitung von \(\mathbf{A }\), sodass für diese Summe ein skalares Potential \(\varphi \) (mit dem üblichen Minuszeichen) eingeführt werden kann. Damit ergibt sich E als negative Summe aus dem Gradienten von \(\varphi \) und der Zeitableitung von \(\mathbf{A }\). Diese Potentiale sind nicht eindeutig bestimmt, sondern es gibt eine sogenannte Eichfreiheit, weil zum Vektorpotential der Gradient einer beliebigen skalaren Funktion hinzuaddiert werden kann, ohne das sich ergebende Feld \(\mathbf{B }\) zu ändern, was dann eine Modifikation des skalaren Potentials nach sich zieht. Die Eichfreiheit kann genutzt werden, um die von der Eichung abhängigen Feldgleichungen der Potentiale geeignet zu vereinfachen. Die wichtigsten Eichungen sind die Lorentz-Eichung und die Coulomb-Eichung, welche durch die zugehörigen Eichbedingungen gegeben sind.

Das Vektorprodukt aus elektrischer und magnetischer Feldstärke wird Poynting-Vektor nach dem britischen Physiker John Henry Poynting genannt. Der Poynting-Vektor beschreibt die Dichte und Richtung des Energietransportes in einem elektromagnetischen Feld. Damit folgt also der Energieerhaltungssatz für elektromagnetische Felder und Ladungs- und Stromdichten in Form des Poyntingschen Satzes. Die Zeitableitungen der Energiedichten ergeben sich dabei über Produkte aus den elektrischen und magnetischen Feldern mit deren jeweils zugehörigen Zeitableitungen sowie dem Produkt aus der Stromdichte und dem elektrischen Feld für die Dichte der vom Feld an die Ladungsträger übertragene Leistung. Der Poynting-Vektor beschreibt dabei die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes, d. h. die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt.

Dieser kurze mathematische Anhang beschreibt die grundlegenden Vektoroperationen Gradient, Divergenz und Rotation in kartesischen Koordinaten sowie die Integralsätze von Gauß und Stokes.