Elektrodynamik

Im hier beginnenden Teil I werden notwendige mathematische Grundlagen zusammengestellt. Dabei geht es vor allem um die Tensoranalysis, die die Differenziation und Integration von Tensorfeldern behandelt. Kapitel 1 führt die koordinatenunabhängigen und anschaulichen Definitionen der Vektoroperationen Gradient, Divergenz und Rotation ein. In Kapitel 2 werden Tensorfelder formal durch ihr Verhalten unter orthogonalen Transformationen definiert; außerdem wird das praktische Rechnen mit den Vektoroperationen demonstriert. In Kapitel 3 wird die δ-Funktion eingeführt, die Beziehung $$\Delta (1/r) = - 4$$ Δ ( 1 / r ) = - 4 π δ $$(\boldsymbol{r})$$ ( r ) abgeleitet und ein Vektorfeld durch seine Quellen und Wirbel dargestellt. Kapitel 4 befasst sich mit Lorentztensorfeldern.

Tensoren können durch ihre Komponenten in kartesischen Koordinaten dargestellt werden. Die Tensoreigenschaft wird formal durch das Verhalten dieser Komponenten unter orthogonalen Transformationen definiert. In der Elektrodynamik spielt die Differenziation von Tensorfeldern eine wichtige Rolle. Das Rechnen mit den differenziellen Vektoroperationen wird in einer Reihe von Beispielen demonstriert.

Zu den skalaren Funktionen Φ, für die $$\Delta $$ Δ Φ auszuwerten ist, gehört in der Elektrodynamik insbesondere Φ = 1/|r|. Wir werten diesen Ausdruck in Kugelkoordinaten aus und identifizieren Δ(1/r) dabei als die sogenannte δ-Funktion. Die δ-Funktion und verwandte Größen werden im Folgenden eingeführt.

Die wichtigsten Formeln zur Lorentztransformation, zur Definition von Lorentztensoren und ihrer Differenziation werden zusammengestellt. Grundkenntnisse der Speziellen Relativitätstheorie, insbesondere die Ableitung und die Bedeutung der Lorentztransformation, werden vorausgesetzt. Hierzu verweise ich auf den Teil IX meiner Mechanik [1].Die auftretenden Strukturen sind ähnlich zu denen in Kapitel 2. Die vorgestellten Beziehungen werden in Kapitel 18 benötigt.

Wir stellen die grundlegenden Eigenschaften der Coulombkraft, also der elektrostatischen Wechselwirkung vor. Die Ladung und das elektrische Feld werden als Messgrößen definiert.

In (5.19) wurde das elektrische Feld E(r) als Funktional der Ladungsdichte ρ(r) angegeben. Hiervon ausgehend führen wir das elektrostatische Potenzial ein, stellen die Feldgleichungen der Elektrostatik auf und bestimmen die Feldenergie.

Wir betrachten elektrostatische Randwertprobleme der folgenden Art: Ein Volumen V ist durch Metallflächen begrenzt; in V ist die Ladungsverteilung gegeben; gesucht ist das elektrostatische Potenzial Φ in V. Ein Beispiel für ein solches Problem ist in Abbildung 7.1 skizziert. Wir untersuchen die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung Φ des Randwertproblems, und seine numerische Lösung.

Wir diskutieren einige Methoden zur analytischen Lösung des elektrostatischen Randwertproblems. Wir führen den Kondensator ein und berechnen die Kapazität eines Kugelkondensators. Die Feldgleichungen für die wirbelfreie Strömung einer idealen Flüssigkeit werden vorgestellt und mit denen der Elektrostatik verglichen.

Der Laplaceoperator kommt in vielen Gleichungen der Physik vor; zum Beispiel in der Schrödingergleichung, in der Diffusionsgleichung, in klassischen Wellengleichungen oder in der Gleichung für wirbelfreie Strömung. Die Lösung der Laplacegleichung $$\Delta\Phi (\boldsymbol{r})=0 $$ Δ Φ ( r ) = 0 hat daher Modellcharakter für die Lösung partieller Differenzialgleichungen in der Physik. Wir untersuchen die Lösung der Laplacegleichung für Kugelkoordinaten. Dabei ergeben sich die Legendrepolynome (dieses Kapitel) und die Kugelfunktionen (Kapitel 11).

Mit Hilfe der Legendrepolynome geben wir die allgemeine zylindersymmetrische Lösung der Laplacegleichung an. Damit behandeln wir eine Reihe konkreter Beispiele (Punktladung, homogen geladener Ring, leitende Kugel im homogenen Feld).

Wir geben die allgemeine Lösung der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten an. Dazu werden die Kugelfunktionen eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften (Orthonormierung, Vollständigkeit, Additionstheorem) diskutiert.

Wir betrachten eine statische, lokalisierte ( $$r < R_{0}$$ r < R 0 ) Ladungsverteilung. Im Bereich $$r > R_{0}$$ r > R 0 kann das elektrostatische Potenzial Φ nach Potenzen von $$R_{0}/r$$ R 0 / r entwickelt werden. Diese Multipolentwicklung wird im Folgenden abgeleitet und diskutiert.

Das elektrische Feld wurde durch die Kräfte zwischen ruhenden Ladungen definiert. Das magnetische Feld wird durch die Kräfte zwischen bewegten Ladungen definiert.Bewegte Ladungen implizieren im Allgemeinen, dass das Problem zeitabhängig ist. Im hier beginnenden Teil III studieren wir zunächst den einfacheren Fall von stationären Strömen in Leitern. Hierfür ist das Magnetfeld zeitunabhängig; dieses Teilgebiet der Elektrodynamik heißt Magnetostatik.In diesem Kapitel führen wir den Strom und die Stromdichte ein. Danach formulieren wir das Kraftgesetz für stromdurchflossene Leiter und definieren damit das magnetische Feld. Anschließend wird das Magnetfeld als Funktional der Stromverteilung angegeben und für einen einfachen Fall ausgewertet.

In Kapitel 13 wurde angegeben, wie sich das Magnetfeld aus der Stromverteilung ergibt. Davon ausgehend leiten wir die Feldgleichungen der Magnetostatik ab. Wir geben integrale Formen dieser Gleichungen an und behandeln einfache Anwendungen (homogen durchflossener Draht, unendlich lange Spule).

Für eine lokalisierte ( $$r < R_{0}$$ r < R 0 ) Stromverteilung soll das Feld außerhalb der Verteilung bestimmt werden. Im Bereich $$r > R_{0}$$ r > R 0 kann das Vektorpotenzial A nach Potenzen von $$R_{0}/r$$ R 0 / r entwickelt werden; dies ist die aus Kapitel 12 bekannte Multipolentwicklung. Wir beschränken uns hier auf den niedrigsten Term dieser Entwicklung, den magnetischen Dipol.

In Teil II und III haben wir die Elektro- und Magnetostatik getrennt behandelt. Für zeitabhängige Vorgänge gibt es Kopplungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern, die wir als „Faradaysches Induktionsgesetz“ und als „Maxwellschen Verschiebungsstrom“ einführen. Durch die zugehörigen Kopplungsterme warden die Feldgleichungen der Elektro- und Magnetostatik zu den Maxwellschen Gleichungen verallgemeinert. Anschließend wird die Energie- und Impulsdichte des elektromagnetischen Felds bestimmt.

Um die allgemeine Lösung zu finden, werden die Maxwellgleichungen zunächst durch die Einführung der Potenziale Φ und A vereinfacht. Die allgemeine Lösung besteht aus der allgemeinen homogenen Lösung (Wellenlösungen) und aus einer partikulären Lösung (retardierte Potenziale).

Die Maxwellgleichungen gelten in allen Inertialsystemen. Formal bedeutet dies, dass sich ihre Form unter Lorentztransformationen nicht ändert; sie sind forminvariant oder kovariant. Dies wird durch eine kovariante Schreibweise zum Ausdruck gebracht. Dabei wird angegeben, wie sich Ladung, Ströme und Felder transformieren. Dies ist die Grundlage für die Berechnung der Felder bewegter Ladungen und für den Dopplereffekt (Kapitel 22 und 23).

In der Mechanik steht der Lagrangeformalismus im Mittelpunkt. Dies ist insbesondere deshalb so, weil die Aufstellung der Lagrangefunktion meist der einfachste Weg zu den Bewegungsgleichungen ist. In der Elektrodynamik haben wir es immer mit denselben Bewegungsgleichungen, den Maxwellgleichungen, zu tun, so dass dieser Gesichtspunkt entfällt.Für allgemeine Untersuchungen ist eine Formulierung als Variationsprinzip aber auch hier von Interesse. Dies gilt etwa für den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen oder für den Vergleich mit anderen Feldtheorien. Daher werden im Folgenden die Grundzüge des Lagrangeformalismus der Elektrodynamik in knapper Form vorgestellt.

Im Teil V werden die wichtigsten Anwendungen der Maxwellgleichungen behandelt. Dazu gehören insbesondere elektromagnetische Wellen, die Felder bewegter Ladungen und die Streuung von Licht an Elektronen.In diesem Kapitel untersuchen wir die Eigenschaften einer ebenen und monochromatischen Welle. Die Verbindung zu den Quanten des Felds, den Photonen, wird diskutiert.

Wir untersuchen Wellenlösungen in einem Volumen, das durch Metallwände begrenzt wird. Innerhalb des Volumens gelten die freien Maxwellgleichungen. Auf den Metallrändern werden Ladungen und Ströme influenziert, die im Allgemeinen nicht bekannt sind. Es können jedoch die Randbedingungen für das elektrische und magnetische Feld angegeben werden. Wir behandeln einen Hohlraumresonator und einen Wellenleiter.

Wir behandeln einige Konsequenzen der Kovarianz der Maxwellgleichungen. Anstelle der E- und B-Felder betrachten wir den Feldstärketensor $$F^{\alpha\beta}$$ F α β . Aus der Lorentztensoreigenschaft von $$F^{\alpha\beta}$$ F α β folgen dann die Transformationen des E- und B-Felds beim Übergang in ein anderes Inertialsystem. Als Anwendung berechnen wir das Feld einer gleichförmig bewegten Ladung. Für eine monochromatische, ebeneWelle ist $$(k^{\alpha})=(\omega/c,k)$$ ( k α ) = ( ω / c , k ) ein Lorentzvektor. Hieraus folgt der Dopplereffekt und die Aberration von Sternlicht.

Wir berechnen das Feld einer beliebig bewegten Punktladung. Im Gegensatz zur gleichförmig bewegten Ladung des vorigen Kapitels strahlt eine beschleunigte Ladung elektromagnetische Wellen ab. Die Winkelverteilung dieser Strahlung wird untersucht. Die Strahlungsverluste von Linear- und Kreisbeschleunigern warden gegenübergestellt.

Wir berechnen die Strahlung, die von einer oszillierenden Ladungsverteilung ausgeht. Die oszillierende Ladungsverteilung kann zum Beispiel eine UKW-Sendeantenne oder ein klassisches Elektron auf seiner Kreisbahn im Atom sein. Wir beschränken uns auf den nichtrelativistischen Fall.

Im Feld einer elektromagnetischen Welle schwingt ein geladenes Teilchen hin und her. Das so oszillierende Teilchen sendet dann elektromagnetische Strahlung aus. Durch diesen Prozess wird die elektromagnetische Welle gestreut. Wir berechnen den Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht an Atomen. Wir behandeln die Thomsonstreuung, die Rayleighstreuung, die Resonanzfluoreszenz und den Übergang zwischen kohärenter und inkohärenter Streuung.

Ein aktiver Schwingkreises stellt eine oszillierende Ladungsverteilung dar und strahlt daher elektromagnetische Wellen ab. In vielen praktischen Fällen kann man näherungsweise die Rückwirkung dieser Abstrahlung auf die Vorgänge im Schwingkreis vernachlässigen. Dies geschieht in der quasistatischen Näherung, in der bestimmte Zeitableitungen in den Maxwellgleichungen als kleine Terme eingestuft und weggelassen werden. Wir untersuchen diese quasistatische Näherung für den Schwingkreis. Anschließend werden die Strahlungsverluste eines Schwingkreises abgeschätzt.

Die Maxwellgleichungen sind grundlegende Naturgesetze mit einem weiten Gültigkeitsbereich, sie gelten insbesondere auch in Materie. Häufig ist man nur an der Reaktion der Materie auf zusätzliche elektromagnetische Felder interessiert, nicht aber an den Feldern der ungestörten Materie. Unter diesem Gesichtspunkt leiten wir die Maxwellgleichungen in Materie ab.Dazu werden die Felder aufgeteilt, und zwar in (i) die Felder der ungestörten Materie, (ii) zusätzliche Felder (Störung der Materie) und (iii) induzierte Felder (Reaktion der Materie). Für alle diese Felder werden zunächst mikroskopische Maxwellgleichungen aufgestellt.

Die induzierten Felder sind häufig proportional zu den zusätzlichen Feldern. Dies bedeutet einen linearen Response der Materie auf die äußere Störung. Als Proportionalitätskoeffizienten treten die Dielektrizität ε und die Permeabilität µ auf.Wir geben die möglichen funktionalen Abhängigkeiten der mikroskopischen Dielektrizität ε an. Danach beschränken wir uns auf räumlich gemittelte Felder und führen die makroskopische dielektrische Funktion ein.

Eine räumliche Mittelung führt von den mikroskopischen zu den makroskopischen Maxwellgleichungen. Für die dabei auftretenden Größen geben wir einfache Näherungen an: Die induzierte Ladungsverteilung wird durch die Dipolmomente der einzelnen Atome (Moleküle, Elementarzellen) dargestellt. Die dielektrische Funktion ε = 1+4πn0 αe wird durch die Dichte n0 und die elektrische Polarisierbarkeit αe der Atome ausgedrückt. Abschließend wird die Energiebilanz eines Systems aus elektromagnetischen Feldern und geladenen Teilchen behandelt.

Wir diskutieren einige Anwendungen der makroskopischen Maxwellgleichungen. Um den Fall verschiedener Materialien (zum Beispiel Luft und Glas) behandeln zu können, leiten wir die Stetigkeitsbedingungen für die Felder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien ab. Danach lösen wir zwei einfache Probleme der makroskopischen Elektrostatik.

Wir diskutieren das Lorentzmodell für die makroskopische dielektrische Funktion ε(ω). Die Kramers-Kronig-Relationen verknüpfen den Real- und den Imaginärteil von ε(ω). Die Leitfähigkeit σ wird im Rahmen des Lorentzmodells eingeführt. Die Dielektrizitätskonstanten ε(0) von Stoffen mit und ohne permanentes elektrisches Dipolmoment werden abgeschätzt.

Wir stellen einfache atomistische Modelle des Paramagnetismus (permanente magnetische Dipolmomente) und des Diamagnetismus (induzierte magnetische Dipolmomente) vor. Dabei wird jeweils die Größenordnung der magnetischen Suszeptibilität abgeschätzt. Wir beschränken uns auf die statische makroskopische Permeabilität, also auf die Permeabilitätskonstante. Der Ferromagnetismus wird kurz diskutiert.

Wir untersuchen elektromagnetische Wellen in homogener Materie. Für eine monochromatische, ebene Welle diskutieren wir die Unterschiede zur Vakuumlösung. Anschließend behandeln wir die Dispersion von Wellenpaketen, die durch die Frequenzabhängigkeit der Responsefunktionen entsteht.

Unter Dispersion versteht man die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex n = nr + iκ. Im Rahmen des Lorentzmodells untersuchen wir diese Frequenzabhängigkeit für verschiedene Materialtypen (Isolator, Metall, Plasma) und diskutieren die sich daraus ergebenden Effekte für elektromagnetische Wellen in Materie. Die Frequenzabhängigkeit des Realteils nr(ω) führt zur Aufspaltung eines Lichtstrahls im Prisma und zur Verbreiterung eines Wellenpakets; in beiden Fällen kommt es zu einer Dispersion im Wortsinn, also einem Auseinanderlaufen. Der Imaginärteil κ bestimmt die Absorption der Welle.

Die Optik ist die Lehre von der Ausbreitung des Lichts oder allgemeiner der elektromagnetischen Wellen. Ausgangspunkt sind daher die Maxwellgleichungen und ihre Wellenlösungen im Vakuum (Kapitel 20) oder in Materie (Kapitel 33). Die Optik ist ein großes und eigenständiges Gebiet, von dem wir im Teil VII einige Grundlagen (Beugung und Interferenz, Reflexion und Brechung, geometrische Optik) behandeln.Eine elektromagnetische Welle falle auf eine Blende, also auf eine undurchlässige Fläche mit Öffnungen. Das Wellenfeld hinter der Blende kann dann (in einer sehr brauchbaren Näherung) mit Hilfe des Huygensschen Prinzips berechnet werden. Nach diesem Prinzip geht von jedem Punkt der Blendenöffnung eine Kugelwelle aus. Im Rahmen der Kirchhoffschen Beugungstheorie leiten wir in diesem Kapitel das Huygenssche Prinzip ab. Das Ergebnis kann in der Fraunhoferschen Näherung vereinfacht werden.

Das Huygenssche Prinzip wird auf einige einfache und wichtige Fälle angewandt. Zunächst behandeln wir die Interferenzeffekte, die sich bei der Streuung von Licht an einem Doppelspalt oder an zwei kleinen Öffnungen ergeben können. Wir diskutieren die Schattenbildung und im Zusammenhang damit die Unschärfe des Schattenrands aufgrund von Beugungseffekten. In der Fraunhoferschen Näherung berechnen wir die Beugung an einer rechteckigen Blende

Zwei homogene Medien, etwa Luft und Wasser, sollen eine gemeinsame ebene Grenzfläche haben. In einem Medium laufe eine ebene, elektromagnetische Welle auf die Grenzfläche zu. Dann wird die Welle an der Grenzfläche teilweise reflektiert, teilweise wird sie ins andere Medium transmittiert. Dieser Vorgang wird auf der Grundlage der Wellenlösungen in Materie (Kapitel 33) quantitative untersucht. Als Ergebnis erhält man Winkel- und Intensitätsbeziehungen für die reflektierte und die transmittierte Welle.

Geometrische Optik oder auch Strahlenoptik bezeichnet den Grenzfall, in dem die Wellennatur des Lichts keine Rolle spielt. Wir stellen die Grundlagen der geometrischen Optik zusammen. Die Verallgemeinerung des Brechungsgesetzes auf inhomogene Medien führt zur Eikonalgleichung.