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2022 | OriginalPaper | Chapter

2. Elemente der Algebra

Authors : Lutz Angermann, Bernd Mulansky

Published in: Grundkurs Analysis und Lineare Algebra

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der Schritt in einige abstraktere gedankliche Konstrukte vollzogen. Dies betrifft einerseits Operationen auf oder zwischen Mengen und andererseits die Strukturierung von Mengen. Behandelt werden die algebraischen Strukturen der Gruppen, Ringe, Körper und geordneten Körper. Als konkrete Beispiele werden der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen als vollständiger geordneter Körper und darauf aufbauend die komplexen Zahlen eingehend besprochen.

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Footnotes
1
Existiert in X ein neutrales Element bezüglich „\(\star \)“, so gibt es nach Folgerung 2.4 genau ein neutrales Element.
 
2
Das neutrale Element e ist stets invertierbar mit \(e^{-1}=e\).
 
3
Hierbei ist zu beachten, dass nx kein echtes Produkt zweier Ringelemente ist, denn n ist i.A. kein Ringelement. Als Produkt von Ringelementen in einem Ring mit Eins würde hier
$$ nx = \sum _{j=1}^n x = \sum _{j=1}^n 1x = \left( \sum _{j=1}^n 1 \right) x = (n1)x $$
stehen. Ferner ist zu beachten, dass n und n1 verschiedene Dinge sind, denn \(n\in \mathbb {N},\) aber \(n1\in X\). Z.B. ist in \(X = \{0,1\},\) siehe Bsp. 2.23(iv), das 2-fache von 1 das Nullelement, also \(2\cdot 1=0\).
 
4
Nach Definition 1.​16 muss „\(\le \)“ also reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und total sein.
 
5
Siehe Bsp. 1.​41.
 
6
Das Produkt im Zähler ist im Ring \(\mathbb {Z}\) erklärt durch Definition 2.28 und ist für \(j=0\) ein leeres Produkt.
 
7
Die Formel des Binomialkoeffizienten lässt sich leicht darüber merken, dass in Zähler und Nenner jeweils j Faktoren stehen.
 
8
Es ist zu beachten, dass in Definition 2.54 insbesondere \(\sup X\in K,\) also in diesem Fall \(\sup X\in \mathbb {Q}\) gefordert wird.
 
9
Hierbei ist der Begriff auf die Ordnungsstruktur zu erweitern, d. h. es ist zusätzlich die Verträglichkeit mit der Ordnungsstruktur zu fordern.
 
10
„Durch Aneinanderfügen von Strecken, die zu einer gegebenen Strecke x kongruent sind, lässt sich jede noch so lange Strecke y übertreffen.“
 
11
Wohlordnungsprinzip in \(\mathbb {N}\): Jede nichtleere Teilmenge von \(\mathbb {N}\) besitzt ein kleinstes Element. Beweis mittels des Induktionsprinzips, vergleiche den Beweis von Satz 2.60.
 
12
Werkzeugkasten: Erweiterung des Bruches mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, dadurch wird der Nenner reell (sogar positiv).
 
13
Bei genauer Betrachtung wurde nur gezeigt, dass \(z_\pm \) Lösungen sind. Es fehlt noch der Beweis, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Darauf soll aber hier verzichtet werden.
 
Metadata
Title
Elemente der Algebra
Authors
Lutz Angermann
Bernd Mulansky
Copyright Year
2022
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Grundkurs Analysis und Lineare Algebra

Print ISBN: 978-3-662-65595-5

Electronic ISBN: 978-3-662-65596-2

Copyright Year: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65596-2_2

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