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2016 | Book

Muster und Strukturen Read chapter Read first chapter

Erlebnis Algebra

zum aktiven Entdecken und selbstständigen Erarbeiten

Author: Timo Leuders

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Book Series : Mathematik Primar- und Sekundarstufe

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Sie haben sich entschieden, Mathematik zu unterrichten - egal, ob in der Grundschule, der Mittelstufe oder der gymnasialen Oberstufe? In einem Hochschulstudium lernen Sie, welche Denk- und Arbeitsweisen für die Mathematik als Wissenschaft typisch sind und welche Sprache die Mathematik entwickelt hat, um Muster und Strukturen in der konkreten und abstrakten Welt zu beschreiben. Dabei begegnen Sie immer wieder denselben universellen Strukturen, die in der Mathematik als „Gruppen“, „Ringe“ oder „Körper“ beschrieben werden.

In diesem Buch lernen Sie, wie diese Ideen moderner Mathematik mit den mathematischen Konzepten aus der Schule zusammenhängen. Sie erleben, wie durch mathematische Abstraktion das Gemeinsame aus den Inhaltsbereichen der Schule, aus Arithmetik, Kombinatorik, Geometrie und Gleichungsalgebra hervortritt.

Sie lernen keine trockenen Fakten, sondern verstehen Hintergründe und bauen Brücken von der Schulmathematik zur modernen Mathematik. Sie werden eingeladen zu einer mathematischen Entdeckungsreise und zur selbstständigen Erforschung mathematischer Strukturen. In leicht zugänglichen Texten können Sie Ihre Erfahrungen dann reflektieren und zu einem fundierten und systematischen Wissen über die Kernideen der Algebra ausbauen.

Table of Contents

Frontmatter
1. Muster und Strukturen
Zusammenfassung
Mathematik ist die Wissenschaft von Mustern und Strukturen – Muster in unserer Umwelt und in unserem Geist. Die besondere Stärke der Mathematik ist dabei, dass sie vom Konkreten und Speziellen abstrahiert und die universellen Strukturen und Prinzipien herausarbeitet. In diesem Kapitel sollen Sie die Gelegenheit haben, diese Qualität von Mathematik aktiv zu erleben. Die Muster und Strukturen, die Sie dabei untersuchen, erstrecken sich von den arithmetischen Erfahrungen, wie sie auch Grundschulkinder machen, bis zur Konzepten der modernen Mathematik, die heute zu den zentralen Werkzeugen in der Wissenschaft gehören.
Timo Leuders
2. Drehen und Wenden
Zusammenfassung
Im Einführungskapitel haben Sie erlebt, dass Phänomene und Prinzipien, die in einem Bereich (z.B. der Arithmetik) auftreten, auch an ganz anderer Stelle wie- der auftauchen können (z.B. in der Geometrie). Gemeinsam war allen Fällen ein abstraktes mathematisches Konzept, die „binäre Operation“, also die Verknüpfung zweier Objekte zu einem neuen Objekt desselben Typs. In diesem Kapitel geht es nun nicht mehr um Verknüpfungsstrukturen in der Arithmetik, mit der Sie wohl schon am längsten vertraut sind, sondern um Verknüpfungen von (geometrischen) Abbildungen.
Timo Leuders
3. Addieren und Multiplizieren
Zusammenfassung
Das Rechnen in Zahlenmengen wie den natürlichen oder rationalen Zahlen ist Ihnen wahrscheinlich so vertraut, dass Sie dabei ganz intuitiv vorgehen und sich gar nicht mehr bewusst machen, wann Sie welche Regeln heranziehen. Beim Rechnen mit Zahlen kann man Muster und Strukturen finden, die Anlass geben können, „neue“ Zahlen zu erfinden, die dann auch wieder etwas andere Denkweisen erfordern. Ganz ähnlich wie die Menschen in Jonathan Swifts Lilliput leben manche Zahlen in einer kleinen Welt, die aber mit der großen Welt ihres Entdeckers (oder Erfinders?) vieles gemeinsam hat.
Timo Leuders
4. Tauschen
Zusammenfassung
Schon bei den Deckabbildungen von Dreiecken haben Sie bemerkt: Man dreht und spiegelt zwar die gesamte Figur, ja sogar die gesamte Ebene um sie herum, aber eigentlich reicht es, sich darauf zu konzentrieren, was mit den Eckpunkten geschieht: Spiegelungen tauschen Paare von Eckpunkten (A↔B, C↔D), während Drehungen dafür sorgen, dass gleich alle Punkte „durchtauschen“ (A→B→C→D→A). Solche Tauschbewegungen sind Thema dieses Kapitels und Sie werden sehen, dass in der Betrachtung solcher Tauschbewegungen der Schlüssel zu eigentlich allen Symmetrien liegt.
Timo Leuders
5. Operationen sortieren
Zusammenfassung
Die binäre Operation, also das Verknüpfen von zwei Objekten zu einem neuen Objekt, ist eine in der Mathematik allenthalben auftretende Struktur. Es kristallisierte sich heraus, dass es nützlich ist, alle Verknüpfungen, die vier bestimmte Eigenschaften (G0–G3) besitzen (Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz von neutralen und inversen Elementen), vereinheitlichend als Gruppe zu bezeichnen, denn in allen Fällen, in denen eine Gruppe vorlag, konnten Sie auf dieselben Konzepte und Vorgehensweisen zurückgreifen. Nachdem Sie nun so viele Bäume gesehen haben, ist die Frage berechtigt, wie denn der Wald aussieht: Welche Gruppentypen gibt es eigentlich und in welcher Beziehung stehen sie?
Timo Leuders
6. Räumlich multiplizieren
Zusammenfassung
In den vorangehenden Kapiteln haben Sie dieselben geometrischen Operationen, insbesondere Drehungen und Spiegelungen, auf immer wieder verschiedene Weise dargestellt und dann deren Strukturen untersucht. Sie haben sie als Deckabbildungen einer Figur (d 90 ⋅ d 270 = id) oder auch als Permutationen (1234) ⋅ (1432) = (1) aufgefasst und miteinander verknüpft. In diesem Kapitel werfen Sie noch einmal einen neuen Blick auf diese Operationen und erleben eine weitere Sichtweise, aus der man geometrische Symmetrien betrachten und analysieren kann. Diese funktioniert so gut, dass man sie auch gleich auf alle anderen Arten von Gruppen anwenden kann.
Timo Leuders
7. Gleichungen lösen
Zusammenfassung
Mit dem Konzept der Gruppe konnte man die Strukturen klassifizieren und zur Lösung unterschiedlichster Probleme verwenden. Der Bereich der Mathematik, der sich mit solchen Operationsstrukturen beschäftigt, wird heutzutage als Algebra bezeichnet. Diese abstraktere Sicht auf mathematische Strukturen ist allerdings vergleichsweise jung und setzte erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts ein. Ein Typ von Problemen, der in der Mathematik in den zweitausend Jahren zuvor eine zentrale treibende Rolle gespielt hat, wurde dabei in diesem Buch noch weitgehend ausgespart: die Suche nach Unbekannten, von denen man nur bestimmte rechnerische Beziehungen kennt – in modernen Worten: das Lösen von Gleichungen.
Timo Leuders
8. Zahlenräume erweitern
Zusammenfassung
In allen vorhergehenden Kapiteln haben Sie immer wieder neue Räume betreten und untersucht. Immer wieder trat dabei die Struktur einer Gruppe hervor – so unterschiedlich die Objekte waren, die man verknüpft hat, so ähnlich waren die Konzepte, mit denen man die Struktur ihrer Verknüpfung beleuchtet hat. Es scheint also an der Zeit zu sein, die Vielfalt an Gruppen und ihren Verknüpfungstypen einmal systematisch zu ordnen und Verbindungen, aber auch Unterschiede explizit zu machen. Am Ende dieses Kapitels werden Sie einen besseren Überblick darüber gewonnen haben, wie die vielen Beispiele und die zahlreichen verschiedenen Phänomene, die mit dem Gruppenkonzept beschrieben wurden, miteinander zusammen- hängen. Sie werden künftig vielleicht nicht nur viele verschiedene Bäume kennen, sondern besser verstehen, wie ein Wald aussieht.
Timo Leuders
9. Gleichungen durchschauen
Zusammenfassung
Ihre Erkundungen in der Welt der mathematischen Operationen erreichen in diesem letzten Kapitel einen „dramatischen“ Höhepunkt. Dramatisch wird es zunächst aus mathematischer Sicht, denn die vielen Ideen, Konzepte und Zusammenhänge der letzten Kapitel treffen hier zusammen: Gleichungen und ihre Lösungen, Zahlenräume mit irrationalen und komplexen Zahlen sowie das Konzept der Gruppe als abstrakte Beschreibung mathematischer Operationen. Dramatisch wird es aber auch aus ideengeschichtlicher Sicht: Wir befinden uns an einem Wendepunkt der Mathematikgeschichte, einem Kulminationspunkt der klassischen Algebra, die mit Variablen und Gleichungen arbeitet und am Beginn der sogenannten modernen Algebra, die nicht mehr das Lösen von Gleichungen, sondern die Tiefenstruktur mathematischer Operationen zum Gegenstand hat. In diesem Kapitel lernen Sie den Geniestreich des jung verstorbenen Évariste Galois kennen.
Timo Leuders
Backmatter
Metadata
Title
Erlebnis Algebra
Author
Timo Leuders
Copyright Year
2016
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-46297-3
Print ISBN
978-3-662-46296-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-46297-3

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