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Published in:
2018 | OriginalPaper | Chapter
1. Erweiterungen des Black-Scholes-Modells
Authors : Dr. Sascha Desmettre, Prof. Dr. Ralf Korn
Published in: Moderne Finanzmathematik – Theorie und praktische Anwendung Band 2
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Nicht nur in der Theorie, wo Verallgemeinerung ein natürlicher Beweggrund ist, sondern auch in der Praxis wird das Black-Scholes-Modell in seiner einfachen Form schon länger als nicht mehr zeitgemäß und zu stark vereinfachend angesehen, um Aktienpreisentwicklungen hinreichend realistisch zu modellieren. Dieses Kapitel stellt in der Praxis und in der Theorie populäre Verallgemeinerungen des
Black-Scholes-Modells vor und behandelt die sich aus ihnen ergebenden Probleme wie z.B. die Unvollständigkeit der zugehörigen Marktmodelle oder die Notwendigkeit des Begriffes einer schwachen Lösung einer stochastischen Differentialgleichung.
Wir bleiben hierzu zuerst im Rahmen der Modellierung von Aktienpreisen mittels Diffusionsprozessen, indem wir die Konzepte der lokalen Volatilität und der stochastischen Volatilität einführen. Insbesondere befassen wir uns mit folgenden Modellen und Resultaten:
• die Dupire-Formel für lokale Volatilität,
• das Constant-Elasticity-of-Variance-Modell (CEV Modell),
• die Definition, Existenz- und Eindeutigkeit schwacher Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen,
• das stochastische Volatilitätsmodell nach Heston,
• die Optionsbewertung mit der Fouriermethode,
• die Begriffe Arbitrage und äquivalente Martingalmaße in unvollständigen Märkten.
Den Abschluss dieses Kapitels bildet eine Betrachtung über Sprungdiffusionsprozesse, für die wir zuerst die zugehörige stochastische Analysis bereitstellen und dann wieder auf populäre Modelle zur Optionsbewertung – inklusive des Sprungdiffussionsmodells nach Merton – eingehen.