Evaluierte Lernumgebungen zum Modellieren

Ein zentraler Aspekt in der Entwicklung der Mathematik‐Didaktik ist eine produktive Nutzung von stoffdidaktischen Analysen für die Gestaltung von Lernumgebungen und eine Evaluation solcher Lernumgebungen unter Verwendung von empirischen Untersuchungsmethoden. Die Kombination dieser beiden Punkte liefert einen entscheidenden Beitrag für die Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts im Bereich Modellieren und darüber hinaus. In diesem einführenden Kapitel beleuchten wir zunächst die Rolle von stoffdidaktischen Analysen für das mathematische Modellieren. Wir ordnen Lernumgebungen zum Modellieren anschließend in gängige Lern‑ und Instruktionstheorien ein, um eine Brücke zur allgemeinen Lehr‐Lernforschung zu schlagen. Die Umsetzung solcher allgemeiner Lerntheorien im Kompetenzbereich Modellieren wird dann exemplarisch am Beispiel der Lernumgebungen aus dem DISUM‐Projekt veranschaulicht.

In this chapter, we analyze the problem oriented project work practiced at the Bachelor Study Program in Natural Science (Nat Bach) at Roskilde University (RU) as a learning environment for developing students’ mathematical modelling competence. The projects are conducted in a rather sophisticated and radical learning environment grounded on the four pedagogical key principles of problem orientation, participant directed group work, interdisciplinarity and exemplarity. We illustrate and discuss the interplay between the aim of developing the students’ modelling competence on the one hand and on the other hand the key principles of the project work and the learning environment in which this pedagogy is brought into life at Nat Bach. In particular, we focus on the role and function of the feedback in the supervision process, and the peer‐review seminars. Through the analyses we aim at contributing to the research on modelling in mathematics education especially regarding the importance of the students’ autonomy in the modelling process, the exemplarity of their work and the interdisciplinary nature of modelling.

Hier analysieren wir die problemorientierte Projektarbeit, die im Rahmen eines naturwissenschaftlichen Bachelor‐Studienprogramms (Nat Bach) an der Roskilde Universität (RU) durchgeführt wurde und als Lernumgebung zur Entwicklung der mathematischen Modellierungskompetenz von Studierenden diente. Die Projekte wurden in einer anspruchsvollen Lernumgebung durchgeführt, die auf den vier pädagogischen Grundprinzipien der Problemorientierung, der partizipativen Gruppenarbeit, der Interdisziplinarität und der Exemplarität basiert. Wir illustrieren und diskutieren das Zusammenspiel zwischen dem Ziel auf der einen Seite, die Modellierungskompetenz der Studierenden zu fördern, und den Grundprinzipien der Projektarbeit und der Lernumgebung auf der anderen Seite. Insbesondere werden die Rolle und die Funktion von Feedback im Betreuungsprozess und die Peer‐Review‐Seminare im Vordergrund stehen.

Wir berichten in diesem Kapitel über die Konstruktion und Untersuchung von Lernumgebungen zum Modellieren im Rahmen des Forschungsprojekts DISUM (Didaktische Interventionsformen für einen selbständigkeitsorientierten aufgabengesteuerten Unterricht am Beispiel Mathematik; gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft 2005–2011), das von 2002 bis 2013 an der Universität Kassel durchgeführt wurde, in Kooperation mit der Universität München (Projektleiter: W. Blum und R. Messner, Kassel, und R. Pekrun, München). Die verschiedenen Teilstudien von DISUM werden beschrieben, insbesondere ihr Design und ihre wesentlichen Resultate. Es handelt sich dabei sowohl um Laborstudien als auch um Feldstudien, wobei die beiden Hauptstudien quasi‐experimentell angelegt waren. Diese Resultate flossen im „methoden‐integrativen“ Design zusammen, das dann im Rahmen einer Fallstudie im Vergleich besonders hohe Lernzuwächse der untersuchten Neuntklässler aus der Realschule erbrachte, sowohl beim Modellieren als auch beim technischen Arbeiten. Die Ergebnisse ermutigen dazu, auch im alltäglichen Mathematikunterricht Modellierungsaufgaben zu behandeln.

For today’s students to be successful tomorrow in the world beyond school, their mathematics education must go beyond assembling a fixed toolkit of skills and procedures. They will need to be able to adapt and apply the material they learn in school in subtle ways, in order to produce tactful and appropriate solutions to problems under constraints and uncertainty. In this chapter, we describe a genre of activities that provide this kind of experience to learners in classrooms settings. We consider the student experience of these activities, and we show how uncertainty about how to apply the knowledge they have learned opens up space for students to use mathematical ways of thinking to interpret the world. We then show how the presence of a concrete Client provides a means for students to continually test whether their emerging solutions are responsive to the human needs and perspectives of this Client, as well as sensitive to other people in the problem who are affected by their solution.

Damit die Schüler durch den heutigen Unterricht auch in der Welt außerhalb der Schule erfolgreich sein können, muss ihre mathematische Ausbildung über einen festgelegten Satz an Fertigkeiten und Routinen hinausgehen. Stattdessen müssen sie in der Lage sein, den in der Schule erlernten Stoff auf subtile Weise anzupassen und anzuwenden, um mit Feingefühl und Geschicklichkeit bei der Lösung von Problemen, die gekennzeichnet sind durch Einschränkungen und Unklarheiten, reagieren zu können. In diesem Kapitel beschreiben wir Aktivitäten, die den Lernenden diese Art der Erfahrung ermöglichen. Wir betrachten die Erfahrungen der Schüler mit diesen Aktivitäten und wir zeigen, wie die Ungewissheit über die Art der Anwendung des erlernten Wissens einen Raum für die Verwendung von mathematischen Denkweisen zur Interpretation der Welt eröffnet. Wir zeigen dann, wie die Präsenz eines konkreten Kunden für die Schüler die Möglichkeit bietet, Lösungen zu formulieren, die auf die menschlichen Bedürfnisse und die Sichtweise dieses Kunden sowie anderer Menschen, die von der Lösung betroffen sind, eingehen.

Bei der Förderung mathematischer Modellierungskompetenzen können zwei grundsätzliche Ansätze unterschieden werden: ein holistischer und ein atomistischer Ansatz. Der holistische Modellierungsansatz umfasst Modellierungsaktivitäten, die vollständige Modellierungsprozesse erfordern; entsprechend dem atomistischen Modellierungsansatz dagegen wird der Modellierungsprozess in Teilprozesse separiert. Im Artikel wird auf die im Rahmen des Interventionsprojekts ERMO (Erwerb von Modellierungskompetenzen) entwickelten Modellierungsaktivitäten beider Ansätze eingegangen. Der Fokus liegt hierbei auf der Beschreibung der Aufgaben, die inhaltsübergreifend für Doppelstunden in Klassenstufe 9 konzipiert wurden.

Beim mathematischen Modellieren spielt der Übersetzungsprozess zwischen Realität und Mathematik, das sog. Mathematisieren, eine besondere Rolle. Schülerinnen und Schüler sollten daher im Mathematikunterricht Lerngelegenheiten für das Beschreiben realistischer Kontexte mit den Mitteln der Mathematik angeboten bekommen, da das eigenständige Mathematisieren erst Schritt für Schritt erlernt werden muss. Derartige Lerngelegenheiten können für Schülerinnen und Schüler in außerschulischen Lernarrangements konkret erfahrbar gemacht werden. Dieser Beitrag stellt hierzu eine außerschulische Lernumgebung zur Förderung von Modellierungskompetenzen in Form eines mathematischen Stadtspaziergangs zum Satz des Pythagoras vor und berichtet über die Erfahrungen, die in der empirischen Erprobung dieser Lernumgebung gesammelt wurden. Dabei werden sowohl fachliche als auch motivationale Ergebnisse diskutiert.

While modelling initiatives have been noted for many years, it has also been observed that they have not achieved a sustained presence in curricula to the extent hoped for. This chapter draws from two extended modelling programs (one junior secondary and one senior secondary) in identifying and illustrating elements deemed significant for the successful mounting of sustained programs. Stresses that exist when, for example, modelling as real world problem solving is attempted in an environment that sees modelling as a vehicle for teaching other content were necessarily confronted in developing and implementing the initiatives. Such factors are considered as they existed separately within the respective school contexts, and impacted on the structure of the programs. Finally reference is made to a contemporary program to indicate how priorities underpinning similar values are currently manifested.

We describe and illustrate activities in a modelling challenge where secondary students learn and apply modelling techniques to real life problems identified by themselves. A two‐day workshop format designed for this purpose has featured for a number of years as the AB Paterson College Mathematical Modelling Challenge, in Queensland Australia. Within this program, small teams of year 10/11 students identified their own modelling context, articulated specific questions, conducted and reported on their subsequent modelling activity verbally and through poster construction. The chapter describes and illustrates the structure and conduct of the program, including the introduction to modelling provided to the students, content from selected projects, and mentor observations on characteristics and outcomes. Evaluation of the program contains an internal dimension involving assessing the outcomes of student activity in terms of recognised modelling criteria, and an external dimension considering the robustness of the program in terms of its operation across parallel groups with different mentors, and its consistency from year to year in the outcomes produced.

Wir beschreiben und veranschaulichen Aktivitäten in einem Modellierungs‐Wettbewerb, bei dem Schüler/innen der Sekundarstufe Modellierungstechniken kennen lernen und auf Alltagsprobleme anwenden, die sie selber ausgesucht haben. Zu diesem Zweck wurde mit der „AB Paterson College Mathematical Modelling Challenge“ im Staat Queensland (Australien) über mehrere Jahre ein spezifisches Format in Form zweitägiger Workshops eingerichtet. Im Rahmen dieses Programms entwickelten kleine Gruppen der 10. und 11. Klasse ihren eigenen Modellierungskontext, formulierten spezifische Fragen, führten Modellierungsaktivitäten durch und stellten ihre anschließenden Ergebnisse mündlich und anhand von Poster‐Präsentationen dar. Dieses Kapitel beschreibt und verdeutlicht die Struktur und Durchführung des Programms, einschließlich der Einführung, die die Schüler zum Thema Modellieren erhielten, die Inhalte ausgewählter Projekte sowie die Beobachtungen der Mentoren über die Besonderheiten und Ergebnisse des Workshops. Die Evaluation des Programms hat sowohl eine interne als auch eine externe Dimension. Die interne Dimension beinhaltet die Auswertung der Ergebnisse der Schüleraktivitäten anhand anerkannter Modellierungskriterien. Weiterhin wird in der externen Dimension die Stabilität des Programms bezüglich der Durchführung in parallelen Gruppen mit unterschiedlichen Mentoren betrachtet und ob die erzielten Ergebnisse über die Jahre hinweg konsistent sind.

Ein charakteristisches Merkmal von Modellierungsaufgaben ist die Vielfalt von möglichen Lösungen. Bisher fehlen jedoch empirisch gesicherte Erkenntnisse zu einem produktiven Umgang mit diesem wichtigen Merkmal im Unterricht. In diesem Beitrag beschreiben wir eine Lernumgebung, in der Lernende der neunten Jahrgangsstufe aufgefordert wurden, zwei Lösungen für eine Modellierungsaufgabe zum Inhaltsbereich Satz des Pythagoras zu erstellen. Diese Lernumgebung wurde im Schulunterricht erprobt und mithilfe quantitativer Untersuchungsmethoden evaluiert. Es haben sich positive Wirkungen der Lernumgebung auf Interesse, Selbstregulation, Strategien und Leistungen von Lernenden gezeigt.

Im Mathematikunterricht sollen komplexe Fähigkeiten wie das mathematische Modellieren erlernt werden. Dabei besteht die Komplexität neben der erforderlichen Kombination aus Weltwissen und mathematischem Wissen darin, dass Modellierungsaktivitäten mehrschrittig sind und insbesondere die Nutzung von heuristischen Strategien erfordern. Heuristische Lösungsbeispiele gelten als wirksames Mittel zur (initialen) Vermittlung solch komplexer Kompetenzen, wobei die Wirksamkeit mit Hilfe von Lerntheorien und einer Arbeitsgedächtnistheorie begründet werden kann. Im Beitrag werden die entsprechenden Grundlagen dargestellt und es wird konkret anhand der lösungsbeispielbasierten Lernumgebung aus dem Projekt „KOMMA“ (Kompendium Mathematik) erläutert, wie der Einsatz von Lösungsbeispielen in einer selbstständigkeitsorientierten Lernumgebung zum Modellieren (in Klasse 8) realisiert werden kann. Neben der sorgfältigen Orchestrierung von Lösungsbeispielen nach instruktionalen Prinzipien wird zudem dargestellt, wie selbstregulationsunterstützende und differenzierende Begleitmaßnahmen den Einsatz der Lösungsbeispiele unterstützen.

Mathematisches Modellieren trägt dazu bei, dass die Schülerinnen und Schüler Einblick in die Nützlichkeit von Mathematik bekommen und lernen, Mathematik im Leben anzuwenden. Darüber hinaus kann dieses sinnhafte Lernen von Mathematik die Lernfreude an Mathematik und die motivationale Bereitschaft, sich mit Mathematik auseinanderzusetzen, erhöhen. Mathematisches Modellieren erscheint daher gerade für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler von größter Bedeutung zu sein. Doch die bisher entwickelten Modellierungsaufgaben sind vielfach für diese Zielgruppe zu komplex. Daher wurde im Projekt STRATUM – basierend auf der aktuellen Diskussion zum Modellieren und zur Motivationspsychologie – ein systematischer Lehrgang entwickelt, der empirische Ergebnisse zu leistungsschwächeren Lernenden zum Ausgang nimmt und sie schrittweise zum selbständigen Modellieren führt. Der Aufsatz stellt den theoretischen Hintergrund und die Konzeption des Lehrgangs vor und gibt Einblick in die Ergebnisse der Evaluation.