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01-06-2015 | Original Research | Issue 1-2/2015

# Extremal values of vertex-degree-based topological indices over graphs

Journal:
Journal of Applied Mathematics and Computing > Issue 1-2/2015
Authors:
Roberto Cruz, Tatiana Pérez, Juan Rada

## Abstract

Given a graph $$G$$ with $$n$$ vertices, a vertex-degree-based topological index is defined from a set of real numbers $$\left\{ \varphi _{ij}\right\}$$ as $$TI\left( G\right) =\sum m_{ij}\left( G\right) \varphi _{ij}$$, where $$m_{ij}\left( G\right)$$ is the number of edges between vertices of degree $$i$$ and degree $$j$$, and the sum runs over all $$1\le i\le j\le n-1$$. In this paper we show that under certain conditions on the associated function $$\widehat{f}\left( i,j\right) =\frac{ij\varphi _{ij}}{i+j}$$ and its partial derivatives, the extremal values of $$\widehat{f}$$ are attained in the three points $$\left( 1,1\right) ,\left( 1,n-1\right)$$ and $$\left( n-1,n-1\right)$$ of the region $$\widehat{K}=\left\{ \left( i,j\right) \in {\mathbb {R}}\times {\mathbb {R}} :1\le i\le j\le n-1\right\}$$, each of these points corresponding to $$K_{2}\cup K_{2}\cup \cdots \cup K_{2}$$ (or $$K_{2}\cup K_{2}\cup \cdots \cup K_{2}\cup P_{3}$$ if $$n$$ is odd), the star $$S_{n}$$ and the complete graph $$K_{n}$$, respectively. As an application of this result, we find the extremal values of the well-known vertex-degree-based topological indices over $${\mathcal {G}}_{n}$$, the set of graphs with $$n$$ non-isolated vertices.

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