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Published in:
2015 | OriginalPaper | Chapter
8. Extremwerte von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Authors : Bernd Luderer, Prof. Dr., Uwe Würker, Dr.
Published in: Einstieg in die Wirtschaftsmathematik
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wird es darum gehen, Funktionen auf ihren größten oder kleinsten Wert zu untersuchen, eine Aufgabenstellung, die bereits für Funktionen einer Variablen von großer Bedeutung war. Häufig werden die unabhängigen Variablen durch weitere Forderungen eingeschränkt, was auf Extremwertprobleme unter Nebenbedingungen führt. Eine der vielleicht bedeutsamsten Anwendungen der Extremwertrechnung ist die Methode der kleinsten Quadratsumme, die bei Prognose- und Trendrechnungen, bei der Regressionsanalyse in der Statistik und in anderen Bereichen benutzt wird. Ihr ist ein eigener Abschnitt gewidmet. Eine Anzahl von Beispielen demonstriert sowohl mathematische als auch anwendungsorientierte Aspekte der Extremwertrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Eine wichtige generelle Voraussetzung ist die Differenzierbarkeit aller eingehenden Funktionen.
Neu gegenüber früheren Untersuchungen sind im vorliegenden Kapitel:
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der für lokale Extremstellen benötigte Umgebungsbegriff,
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die Verwendung der Größen Gradient und Hesse-Matrix anstelle der Begriffe erste und zweite Ableitung, was der Dimension n des Arguments geschuldet ist,
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die Möglichkeit der Untersuchung so genannter bedingter Extrema, d.h. Extrema unter Nebenbedingungen, wobei man den besten Punkt nicht unter allen möglichen Punkten des Raumes \(\mathbb{R}^{n}\) sucht, sondern nur unter solchen, die zusätzlichen Gleichungsnebenbedingungen genügen.