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About this book

Dieses Buch vermittelt in leicht zugänglicher Sprache Methoden zur numerischen Berechnung von Fixpunkten und Nullstellen reeller Funktionen mithilfe von Iterationsverfahren. Insbesondere das Banach-Verfahren zur Fixpunktbestimmung sowie das Newton-Verfahren, eines der besten numerischen Verfahren zur Nullstellenberechnung von Funktionen, werden ausführlich dargestellt. In einem abschließenden Kapitel werden Anwendungen dieser Verfahren behandelt. Unter anderen geht es dabei um die beliebig genaue Berechnung von Wurzeln jeder Ordnung. Da sich der Text ausdrücklich (auch) an Nichtmathematiker und Nichtmathematikerinnen wendet, ist er bewusst in allgemein verständlicher Sprache gehalten, um die Leser nicht durch übertriebene Fachsprache abzuschrecken; schließlich soll es sich ebenfalls laut Untertitel um „Klartext“ handeln. Zahlreiche Beispiele machen die einzelnen Themen leicht verständlich.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Die grundlegenden Begriffe: Definition und erste Beispiele

Zusammenfassung
Bevor ich mit der Definition der grundlegenden Begriffe beginne noch ein Wort zum Thema „Funktion“. Hier wie durchwegs in diesem Büchlein geht es immer um sogenannte reelle Funktionen, also Funktionen, die als Input reelle Zahlen vertragen und die ebenso als Output reelle Zahlen produzieren. Vornehm, aber langweilig, beschreibt man so etwas als
Guido Walz

Kapitel 2. Iterationsverfahren

Zusammenfassung
Im ersten Kapitel hatte ich Ihnen, möglicherweise erfolgreich, anhand von Beispielen vorgegaukelt, dass Fixpunkt- und Nullstellengleichungen immer explizit lösbar sind. Das ist aber Quatsch, die wenigsten sind es. – Die Trennung zwischen Mathematikern und Taschenspielern ist gelegentlich unscharf.
Guido Walz

Kapitel 3. Numerische Berechnung von Fixpunkten: Das Verfahren von Banach

Zusammenfassung
Der Prototyp aller Iterationsverfahren zur Berechnung von Fixpunkten ist das Banach-Verfahren, das seinerseits auf dem Fixpunktsatz von Banach beruht. Benannt ist dieser nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach (1892 bis 1945). Er hat, unter uns gesagt, in seinem Leben sicherlich viel tiefliegendere Ergebnisse erzielt als diesen Satz, aber der ist sicherlich am bekanntesten.
Guido Walz

Kapitel 4. Numerische Bestimmung von Nullstellen

Zusammenfassung
Die Berechnung von Nullstellen ist seit alters her ein wichtiges Thema in der Mathematik. Von daher kann es nicht verwundern, dass viele Verfahren hierfür existieren. In diesem Kapitel lernen Sie zwei der der wichtigsten dafür kennen, das Bisektionsverfahren und das Newton-Verfahren, sowie im Anschluss einige Modifikationen davon.
Guido Walz

Kapitel 5. Anwendungen

Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel möchte ich Ihnen exemplarisch zwei Beispiele für die Anwendung der numerischen Fixpunkt- bzw. Nullstellenbestimmung zeigen. Das erste befasst sich mit der Frage, wie man numerisch die Schnittstelle zweier Funktionsgraphen bestimmen kann, das zweite wie man – wobei „man“ auch Ihr Taschenrechner sein kann – die Wurzeln aus beliebigen positiven Zahlen effizient und mit hoher Genauigkeit berechnen kann.
Guido Walz

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