8. Formulierung der Elektrodynamik mit Differentialformen

In diesem Kapitel werden die Maxwell’schen Gleichungen mit Hilfe von Differentialformen ausgedrückt. Dabei werden die Operatoren Gradient, Rotation und Divergenz durch einen einzigen Operator der äußeren Ableitung ersetzt. Ebenso werden die Integralsätze von Gauß und Stokes durch einen einzigen Integralsatz ersetzt. Ferner wird klar, dass die Maxwell’schen Gleichungen topologische Gleichungen sind, die sich in der Formulierung mit Differentialformen unter Beibehaltung ihrer Form in beliebige Koordinatensysteme transformieren lassen. Die metrische Information steckt in den Materialbeziehungen und kann mit Hilfe sogenannter Hodge-Operatoren ausgedrückt werden. Neben der damit einhergehenden übersichtlichen und eleganten Darstellung erhält man einen gut geeigneten Ausgangspunkt für numerische Methoden. Die Materialbeziehungen zeigen ein Lorentz-invariantes Verhalten. Das wird besonders deutlich, wenn man die Elektrodynamik in vier Dimensionen formuliert. Dabei erweist es sich als vorteilhaft, dass der Kalkül mit Differentialformen in beliebigen Dimensionen angewendet werden kann. Im Gegensatz dazu ist die Vektoranalysis auf drei Dimensionen beschränkt.