Fourier-Reihen

Wie wir bereits gesehen haben, können außerhalb des Nullpunktes definierte analytische Funktionen in ihre Laurent-Reihe entwickelt werden und zum Beispiel auf dem Einheitskreis

S

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durch deren Partialsummen, nämlich trigonometrische Polynome approximiert werden. Letztere auf

S

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sind die sogenannten Fourier-Reihen, die bereits von Daniel Bernoulli 1753 zur Darstellung periodischer Vorgänge in der Akustik benutzt wurden. Joseph Fourier hat 1822 mit Hilfe der nun nach ihm benannten trigonometrischen Polynomentwicklungen das Anfangsrandwertproblem der instationären Wärmeleitung in einem Metallstab endlicher Länge gelöst. Inzwischen hat sich herausgestellt, daß die Fourier-Reihen nicht nur beliebig glatte periodische Funktionen sondern auch verallgemeinerte Funktionen, die sogenannten Distributionen approximieren. So ist die

harmonische Analysis

, das ist die Analysis mittels Fourier-Entwicklungen, trotz ihres Alters zu einer der wichtigsten Grundlagen moderner Analysis und Funktionalanalysis geworden: Für die Distributionstheorie und Theorie der Sobolev-Slobodeckii-Funktionenräume, die Approximationstheorie, Stabilitäts- und Konvergenzanalyse von Näherungsund Lösungsverfahren für singuläre Integralgleichungen, Pseudodifferential- und Toeplitz-Operatorgleichungen, Randwert- sowie Anfangsrandwertprobleme partieller Differentialgleichungen, analytische Zahlentheorie und nicht zuletzt für effiziente Methoden in der numerischen Mathematik und numerischen linearen Algebra in Form von Spektralverfahren und schneller Fourier-Transformation (FFT).