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Published in:

2024 | OriginalPaper | Chapter

1. Funktionen und Folgen

Author : Hrvoje Krizic

Published in: Tutorium Mathematik für Naturwissenschaften

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden grundlegende mathematische Konzepte wie Mengen, Funktionen und Folgen eingeführt. Zunächst wird der Begriff der Funktion definiert, gefolgt von einer Betrachtung von inversen Funktionen und deren Existenz. Anschliessend schauen wir uns explizite und rekursive Folgen an. Am Ende des Kapitels werden außerdem Konvergenzkriterien von Reihen betrachtet.

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Footnotes
1
Punktsymmetrie kann man leicht sehen, indem man die Funktion auf den Kopf stellt (oder das Blatt Papier um 180\(^\circ \) dreht). Ist die Funktion immer noch dieselbe, so ist sie punktsymmetrisch.
 
2
In diesem Beispiel erhalten wir \(b^2-4ac<0\) und somit existiert nur eine reelle Nullstelle (\(x=2\)).
 
3
Falls die Vorschrift das Glied \(a_n\) durch k Glieder davor beschrieben wird, benötigen wir auch k Anfangswerte. Bei Fibonacci wird \(a_n\) durch die letzten zwei Folgenglieder beschrieben und wir benötigen zwei Anfangswerte.
 
4
Statt \(\displaystyle {\lim _{x\nearrow x_0}}f(x)\) und \(\displaystyle {\lim _{x\searrow x_0}}f(x)\) schreiben wir auch häufig
$$\lim _{\begin{array}{c} x\rightarrow x_0 \\ x < x_0 \end{array}}f(x)\quad \text {bzw.}\quad \lim _{\begin{array}{c} x\rightarrow x_0 \\ x > x_0 \end{array}}f(x)$$
.
 
5
Für große Werte von x wird \(x^5\) sehr viel schneller groß als \(x^3\) beispielsweise. Somit dominiert der \(x^5\)-Term und der Bruch konvergiert zu 0 für große x.
 
6
Die Formel gilt für Folgen, welche ab einem gewissen \(n=N\in \mathbb N\) von 0 verschieden sind und der Grenzwert existiert oder \(\infty \) ist. Da diese Bedingung in der Praxis selten nicht gegeben ist, verzichten wir auf die Überprüfung der Bedingung im Beispiel.
 
Metadata
Title
Funktionen und Folgen
Author
Hrvoje Krizic
Copyright Year
2024
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-69221-9_1

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