Geometrie des Universums

Stellen Sie sich eine Segelbootfahrt an einem klaren, aber windigen Tag vor. Die Wasseroberfläche ist unruhig und hellblau, indem sie die Farbe des Himmels reflektiert und verstärkt. Plötzlich ändert sich das Wetter — der Wind läßt nach, der Himmel bewölkt sich, und die See wird ruhig und glatt. Das Wasser wird grün und durchsichtig und erlaubt einen Blick auf ein Korallenriff und eine ganz neue Welt farbiger Aktivität in der Tiefe. Wenn Sie unter die Wasseroberfläche tauchen, bemerken Sie, daß unter Wasser alles verschwommen erscheint. Gibt Ihnen aber jemand eine Taucherbrille, wird die Welt unter der Oberfläche plötzlich genauso klar und noch schöner als der ursprüngliche Anblick der Oberfläche von oben.

Es ist eine der hartnäckigsten Legenden der westlichen Welt, Christoph Kolumbus* habe, bevor er Unterstützung für seine Expeditionen erhielt, erst den verbreiteten Glauben überwinden müssen, die Erde sei flach statt rund und er werde beim Versuch, westwärts nach Asien zu segeln, riskieren, über den Rand der Erde hinauszugeraten. Zweifellos entspringt diese Legende einer Raffung der geschichtlichen Vergangenheit, wobei das Frühmittelalter, in dem der Glaube an eine flache Erde in Europa tatsächlich verbreitet war, mit dem Spätmittelalter in einen Topf geworfen wird. Damals — Jahrhunderte später — hatte Europa den Wissensstand des antiken Griechenlands und des mittelalterlichen Islam erreicht, teilweise sogar überholt.

Eines der in der Geschichte der Mathematik immer wiederkehrenden Themen ist die schrittweise Entwicklung eines neuen Konzepts — von seiner anfänglichen Ablehnung als zu abstrakt, über die widerwillige Annahme wegen seiner Nützlickeit, obgleich es als „unnatürlich“ empfunden wird und der Intuition zuwiderläuft, bis zu seiner schließlichen Erhebung in den Stand eines grundlegenden und in den Anwendungen unverzichtbaren Werkzeugs. Ein solches Beispiel bildet der Begriff der „negativen Zahlen“. Jahrhundertelang wurde dieser Ausdruck als ein Oxymoron, ein Widerspruch in sich selbst, eine numerische Absurdität angesehen: Die Zahlen zählen oder messen Dinge — es gibt keine Form mit einer negativen Fläche, keinen Kreis mit einem negativen Umfang, kein Buch mit einer negativen Zahl von Seiten. Buchstäblich über Hunderte von Jahren gab man sich große Mühe, Aufgaben mit Methoden zu lösen, die den Gebrauch negativer Zahlen vermieden. Erst allmählich wurde klar, daß alle Anstrengungen bei ihrer Vermeidung vertan waren, denn negative Zahlen sind, wenn sie auch nicht in derselben Weise wie positive Zahlen zu deuten sind, genauso akzeptabel und keineswegs widersprüchlich.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Bild 5.1) wurde 1826 — fast 50 Jahre später als Gauß — geboren. Sein Geburtsort, das Dorf Breselenz, gehörte zum Königreich Hannover, für das Gauß damals die Landvermessung durchführte. Repräsentieren gemeinhin Bach, Beethoven und Brahms den Gipfel der klassischen Musik, bildet Riemann zusammen mit Euler und Gauß ein Trio von Mathematikern, die für ein Goldenes Zeitalter der Mathematik stehen. Trotz offensichtlicher Unterschiede ihrer Karrieren in der Mathematik bzw. Musik fallen einige Ähnlichkeiten auf.

Im Gegensatz zu den Zeitmaßen Tag und Jahr, die natürlichen Phänomenen wie der Rotation der Erde um ihre eigene Achse und dem Umlauf der Erde um die Sonne entsprechen, hat der Begriff des Jahrhunderts keine physikalische Basis. Vielmehr leitet er sich von einem arithmetischen Sachverhalt ab, der auf einer anatomischen Zufälligkeit beruht. Hätten die Menschen vier Finger an der Hand, hätten wir zweifellos ein Zahlensystem mit der Basis 8 statt der Basis 10 entwickelt, was zu einer Zeiteinteilung in Oktaden statt Dekaden und Intervallen von 8 Oktaden — oder 64 Jahren — statt Jahrhunderten geführt hätte. Das auf die zehn Finger zurückgehende Dezimalsystem und die aus ihm folgende Einordnung der Jahre in Jahrzehnte*, Jahrhunderte und Jahrtausende, die wir mit Etiketten versehen — wir sprechen von den „Roaring Twenties“, den „Goldenen Fünfzigern“ oder den turbulenten Sechzigern -, ist so bequem als Organisationsprinzip, daß wir die Beliebigkeit der Einteilung aus dem Auge verlieren. (Die Kultur der „Sechziger“, sofern es eine solche überhaupt gab, umfaßte eigentlich eher die acht Jahre von 1964 bis 1972.) So fürchten sich die Leute davor, vierzig (dreißig oder fünfzig) zu werden, weil sie einer speziellen Zahl eine Bedeutung zumessen, nur weil sie ein Vielfaches von zehn ist*.

Für Dante, die frühen und eigentlich auch die neuzeitlichen Kulturen bis vor nicht allzu langer Zeit waren die Sterne auf der Himmelssphäre wie Juwelen an der Decke eines Tempels verteilt. Drei tiefe Einsichten revolutionierten unsere Deutung von dem, was wir in einer sternklaren Nacht beim Blick nach oben sehen.

Albert Einstein* (Bild 8.1) war in jeder Beziehung außergewöhnlich. Bei der Konferenz, die 1951 an der Universität Princeton zur 100-Jahr-Feier einer der originellsten Schöpfungen von Bernhard Riemann — der „Riemannschen Fläche“* — veranstaltet wurde, trafen die Teilnehmer zu ihrem Erstaunen eines Morgens Einstein, der auf den ersten Blick zu erkennen war, in der ersten Reihe des Hörsaals sitzend, an. Er war von seinem Büro am Institute for Advanced Study herübergekommen, um ein paar Grußworte zu sprechen. Am meisten verblüffte die Größe seines Kopfes, der anderthalbmal so groß wie die Köpfe der Umstehenden schien, und dabei war sein unbändiger weißer Haarschopf nicht einmal eingerechnet. Einstein sprach darüber, wieviel er Riemann verdanke und wie sehr es ihn freue, daß Riemanns fruchtbare Ideen immer noch erforscht und erweitert würden. Nun haben die Riemannschen Flächen, das Thema der Konferenz, nur entfernt etwas mit der Riemannschen Geometrie zu tun, auf die Einstein seine Relativitätstheorie gründete; drei Jahrzehnte später fanden die Physiker allerdings für die Riemannschen Flächen eine bedeutsame Verwendung in der „Stringtheorie“ — einem neuen Versuch, die grundlegende Wirkungsweise des Universums auf dem kleinsten subatomaren Niveau zu verstehen.

Einer von Einsteins berühmtesten Aussprüchen ist: „Das ewig Unbegreifliche an der Natur ist ihre Begreiflichkeit.“Anders ausgedrückt: Obgleich viele Aspekte der physikalischen Welt in einfachen Gesetzen oder einer bündigen mathematischen Beschreibung eingefangen werden können, wissen wir nicht, weshalb dies überhaupt so ist. Noch viel schwieriger zu erklären ist die fast magische Weise, in der sich gewisse mathematische Begriffe, die als pure Erfindungen dem schöpferischen Verstand von Menschen entsprungen sind, als genau die Werkzeuge herausstellen, die man zur Beschreibung der physikalischen Welt braucht. Dieses Phänomen* wurde von Eugene Wigner, einem herausragenden Physiker des 20. Jahrhunderts, als „die unverständliche Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften“ bezeichnet. Ein schlagendes Beispiel bildet die Theorie der Kegelschnitte — Ellipse, Parabel und Hyperbel -, die aus keinem offenbaren praktischen Grund um 400 v. Chr. von griechischen Mathematikern aufgestellt wurde. Diese Theorie fand keine Anwendung in der Wissenschaft, bis nach zweitausend Jahren Kepler erkannte, daß die Form einer Planetenbahn um die Sonne eine Ellipse ist. Keplers Entdeckung wurde von Newton um Kometen und andere Objekte, die von außen in das Sonnensystem kommen, erweitert. Die Bahnen koonten jetzt Ellipsen. Parabeln und Hyperbeln sein.

Zu allererst habe ich mich bei James L. Adams zu bedanken, der mich vor vielen Jahren mit der Frage konfrontierte: Die Mathematik ist doch so etwas Schönes — wie kommt es dann, daß die Studenten vier Jahre ins College gehen können und viele Mathematikkurse besuchen, ohne davon etwas zu merken? Er und ich ließen uns auf ein Projekt ein, diese Sachlage zu verbessern. Sandy Fetter schloß sich uns an, einen Kurs an der Stanford University unter dem Titel „Die Natur der Naturwissenschaften, der Mathematik und Technologie“ zu entwerfen und abzuhalten, in dem wir versuchten, das Wesentliche unserer jeweiligen Fachgebiete zu vermitteln und viele Verbindungen zwischen ihnen aufzuzeigen. Das Buch entstand aus einem der Astronomie und Kosmologie gewidmeten Teil des Kurses. Darin zeigten wir, wie die Technologie der astronomischen Geräte, die Wissenschaft der Astrophysik, die Relativitätstheorie und die mathematischen Disziplinen Geometrie und Topologie alle zusammenwirkten, um das bemerkenswerte Bild aufzubauen, das wir heute vom ganzen Universum haben. Ich stehe ferner in der Schuld bei Jim und Marian Adams wegen ihrer steten Unterstützung und Gastfreundschaft während der langen Entwicklungsphase von den ersten Planungsstadien, über den Kurs selbst hinweg, bis zum vorliegenden Buch.