6. Geometrische Optik

Zur Vorgeschichte des Fermatschen Prinzips und des Brechungsgesetzes: Die geradlinige Ausbreitung des Lichts und das Reflexionsgesetz waren schon Bestandteil der Optik des Euklid (280 v. Chr.). Heron von Alexandria (1. Jahrh. n. Chr.), vor allem bekannt geworden als erfindungsreicher Ingenieur, stellte die These auf, dass das Licht zwischen zwei Punkten auf dem kürzesten Weg läuft. Er brachte damit die geradlinige Ausbreitung und das Reflexionsgesetz in einen ursächlichen Zusammenhang, übrigens mit der in Abb. 6.4 b gezeigten Überlegung. Das Brechungsgesetz, in der Antike nur in der Näherung für kleine Winkel bekannt, wurde von Willebrord Snel (1591–1626), Professor an der Universität Leiden, auf experimentellem Wege ermittelt. René Descartes leitete es (ohne Snel zu erwähnen) in seinem 1637 erschienenen Werk „La Dioptrique“ aus den von ihm aufgestellten allgemeinen Naturprinzipien ab. Danach soll das Licht an der Oberfläche des Mediums einen Stoß erfahren, der die Brechung des Lichtstrahls bewirkt. Fermat schienen (mit Recht) Descartes Überlegungen inkonsistent zu sein. Er stellte die Hypothese (6.1) auf und anknüpfend an Heron erhielt er dann das Brechungsgesetz, nun mit der richtigen Begründung.

Siehe z. B. A. B. Fraser u. W. H. Mach, Scientific American 234, Jan. 1976, S. 102–111.

So benannt nach Descartes, der dieses Problem in seinem Buch La Dioptrique untersuchte.

Erst in neuerer Zeit sind Verfahren entwickelt worden, mit denen man asphärische Linsen mit der erforderlichen Präzision kostengünstig herstellen kann. Ein Kunststoff hoher optischer Homogenität wird in eine polierte Form gegossen. Asphärische Linsen befinden sich seitdem im Vormarsch, besonders beim Bau von Kamera-Objektiven.

Diese Konstruktion ist in der Praxis gut zu gebrauchen, wenn man schnell die ungefähre Lage des Bildpunkts ermitteln will. Wenn es auf einige Genauigkeit ankommt, sollte man unbedingt mit der Abbildungsgleichung und dem Taschenrechner arbeiten. Dasselbe gilt auch für die Bildkonstruktion mit Hilfe der Hauptebenen, die man bei dicken Linsen und bei Linsensystemen anwenden kann (siehe weiter unten).

Bei der Optimierung eines Linsensystems ist das „ray tracing“, bei dem der Strahlverlauf mit dem Brechungsgesetz für viele Einzelstrahlen durchgerechnet wird, eine unschätzbare Hilfe. Auf diese Weise wird ein Linsensystem mit dem Computer dem Verwendungszweck entsprechend optimiert. Die Ausgangsbasis, d. h. die Grundkonfiguration, von der man am besten ausgeht, verrät der Computer jedoch nicht. Hier sind gute theoretische Kenntnisse, Erfahrung und Intuition gefragt. Meist wird von altbewährten Konstruktionen ausgegangen, bei Kamera-Objektiven z. B. von Tessar, Sonnar oder einer Handvoll anderer Objektive. Nur selten wird ein neues erfolgreiches Grundkonzept erfunden.

Bei Tieren, die auf nächtlichen Beutefang angewiesen sind, sind in dieser Schicht statt des dunklen Pigments reflektierende zinkhaltige Kriställchen eingelagert, so dass das Licht zweimal durch die Netzhaut läuft. Dadurch wird die Empfindlichkeit des Auges erhöht. Das dann noch übrigbleibende Licht verursacht die gelb-grüne Reflexion des Scheinwerferlichts aus den Augen der Katze am Straßenrand.

Man erkennt das, indem man über einen markanten Gegenstand in der Entfernung L einen sehr weit entfernten Gegenstand anvisiert, und mal das rechte, mal das linke Auge abdeckt. Solange \(L\lesssim 50\) m ist, sieht man zwei unterschiedliche Bilder. Die zerebrale Bildverarbeitung macht aus dieser Information ein Bild und eine Entfernungsschätzung. Bei größeren Entfernungen beruht die Entfernungsschätzung allein auf der zerebralen Mustererkennung und darauf, dass man weiß (oder zu wissen glaubt), wie groß die Gegenstände sind. Dabei wird der Winkel, unter dem der Gegenstand erscheint, ausgewertet. Dieses Verfahren wird schon im Nahbereich eingesetzt und mit dem beidäugigen Sehen kombiniert.

Nicht so beim Fernrohr, wenn dieses einen Punkt, z. B. einen Fixstern abbildet! (Aufgabe 6.​11b).

Das in Abb. 6.45 gezeigte Immersionsobjektiv enthält noch eine besondere Raffinesse: Wie schon Huygens herausgefunden hat, ist die Kugel eine kartesische Fläche für die Abbildung des Punkts P auf den virtuellen Bildpunkt \(P^{\prime}\), wenn \(\overline{MP}=R/n\) und \(\overline{MP^{\prime}}=nR\) ist. Dieser Umstand wird in L ₁ und L ₂ gleich zweimal ausgenutzt. Dadurch wird der Öffnungswinkel ohne sphärische Aberration soweit reduziert, dass die weitere Korrektur kein Problem mehr ist.

Wenn bei einem optischen System die sphärische Aberration korrigiert ist, werden die auf der optischen Achse liegenden Punkte exakt auf den paraxialen Bildpunkt abgebildet, wie groß auch immer der Öffnungswinkel u sein mag. Abbe und unabhängig von ihm Helmholtz haben gezeigt, dass dies auch für achsennahe Punkte gilt, wenn zusätzlich die Sinusbedingung \(ny\sin u=n^{\prime}y^{\prime}\sin u^{\prime}\) erfüllt ist. Insbesondere wird dadurch die sonst sehr lästige Koma eliminiert. Näheres dazu z. B. bei Max Born, Optik, § 28, Springer-Verlag (1932 und 1986).

Auflösungsvermögen in der Ebene senkrecht zur optischen Achse.

Eine umfassende Darstellung findet man in dem Buch: J. B. Pawley (ed.), „Handbook of Biological Confocal Microscopy“, Third Edition, Springer, 2006

Das Fernrohr wurde zu Anfang des 17. Jahrhunderts in Holland erfunden, angeblich von einem Brillenmacher-Lehrling, der in der Mittagspause mit Linsen spielte. Meister Lippershey versuchte, es zum Patent anzumelden, was ihm aber nicht gelang, denn die Erfindung wurde von der Regierung beschlagnahmt, wegen ihrer offensichtlichen Bedeutung für das Militärwesen. Galilei hatte jedoch davon gehört und binnen kurzem ein sehr leistungsfähiges Instrument hergestellt, und zwar mit selbst geschliffenen Linsen. Wie hoch die Qualität von Galileis Linsen war, erkennt man an den bahnbrechenden Entdeckungen, die er alsbald machte: Jupitermonde, Saturnring, … Sein erstes Fernrohr hatte 3-fache Vergrößerung, sein letztes vergrößerte 32-fach. Galilei ist derjenige, der erkannte, dass es in der Optik auf höchste Präzision ankommt. – Kepler hat das Keplersche Fernrohr selber nie gebaut oder benutzt, es aber in seinem 1611 erschienenen Optik-Buch „Dioptrice“ beschrieben. Das Buch enthält auch eine genaue Theorie der Linsen (in Kleinwinkelnäherung), die Entdeckung der Totalreflexion und anderes.

Zur Funktionsweise: Das Rotations-Paraboloid allein würde zu einer unhandlichen Baulänge führen und außerdem für nicht exakt achsenparallele Strahlen zu einer gigantischen Koma. Beide Probleme behebt das nachgeschaltete Rotations-Hyperboloid, erfunden von H. Wolters (1951). Die Apertur ist nur ein schmaler Kreisring. Zur Vergrößerung der Lichtsammelfläche werden mehrere Instrumente ineinander geschachtelt. Beobachtungen sind natürlich nur im Weltraum möglich, da die Atmosphäre die Röntgenstrahlung absorbiert.

Die Basisbreite ist immer wie in Abb. 6.53 zu ermitteln. Wird das Prisma nicht voll ausgeleuchtet, muss man es sich entsprechend abgeschnitten denken. Die Herleitung von (6.59) setzt einen symmetrischen Strahlengang voraus, also ein Verschieben von Quelle und Bildpunkt. Da man sich im Minimum des Ablenkwinkels befindet, kommt aber für eine feststehende Quelle fast dasselbe heraus.