Gitter — Reste — Würfel

In New York City gibt es mehr Schachmeister als im Rest der USA zusammengenommen. Es ist ein Turnier geplant, an dem alle amerikanischen Meister teilnehmen sollen. Dabei soll das Turnier an dem Ort stattfinden, für den die gesamte Anreisestrecke aller Teilnehmer minimal ist. Die Schachmeister aus New York behaupten, daß dann das Turnier in ihrer Stadt stattfinden müsse. Die Meister von der Westküste meinen, daß eine Stadt im oder nahe beim Schwerpunkt der Menge aller Teilnehmer besser wäre. Wo muß das Turnier stattfinden?

Die Zahl 3 kann auf vier Arten als Summe einer oder mehrerer natürlicher Zahlen dargestellt werden, wenn man die Anordnung der Summanden berücksichtigt: $${\rm{3, 1 + 2, 2 + 1, 1 + 1 + 1}}{\rm{.}}$$ Wie viele solcher Darstellungen gibt es für die Zahl n?

Man wähle n Punkte auf einem Kreis und ziehe alle möglichen Sehnen zwischen je zweien dieser Punkte. Dabei mögen keine drei Sehnen einen Punkt gemeinsam haben. In wieviele Gebiete zerfällt dabei das Innere des Kreises?

Zwei Fährboote fahren regelmäßig und mit konstanten Geschwindigkeiten über einen Fluß hin und her, wobei sie ohne Zeitverlust an den Ufern wenden. Sie fahren von den beiden gegenüberliegenden Ufern zur selben Zeit ab und treffen einander zum ersten Mal 700 m von einem Ufer entfernt. Sie setzen ihren Weg zum Ufer fort, wenden und treffen dann 400 m vom zweiten Ufer entfernt zum zweiten Mal aufeinander. Man bestimme als mündliche Aufgabe die Breite des Flusses.

Es wird über einer Sehne AB des Kreises mit Mittelpunkt O und dem Radius 1 ein nach außen gerichteter Halbkreis errichtet. Offensichtlich liegt dabei der am weitesten aus dem gegebenen Kreis hinausragende Punkt C des Halbkreises auf dem Radius ODC, der auf AB normal steht (Bild 6). (Für jeden anderen Punkt C′ des Halbkreises gilt OC′ < OD + DC′=OD + DC=OC). Die Länge von OC hängt natürlich von der Wahl der Sehne AB ab. Es ist AB so zu bestimmen, daß OC maximal wird.

Mr. Smith, ein Pendler, wird jeden Tag genau um 17 Uhr vom Bahnhof abgeholt. Eines Tages kommt er unverhofft um 16 Uhr an und beginnt nach Hause zu gehen. Dabei trifft er auf den Chauffeur, der gerade zum Bahnhof fährt, um ihn abzuholen. Der Chauffeur bringt ihn nun den Rest des Weges nach Hause. Dort kommen sie 20 Minuten früher als üblich an.

Zwei 4 m lange Wandschirme stehen gegenüber einer Ecke eines rechteckigen Raumes und zwar so, daß sie ein Maximum an Grundfläche einschließen. Man bestimme ihre Lage.

Alle Punkte der Ebene seien entweder rot oder blau gefärbt. Man zeige die Existenz eines Rechteckes, dessen Ecken ein und dieselbe Farbe haben.

P sei ein variabler Punkt auf einem Kreisbogen, der durch die Sehne AB bestimmt ist. Man beweise die intuitiv einsichtige Eigenschaft, daß die Summe AP + PB maximal ist, wenn P im Mittelpunkt des Bogens AB liegt.

f bezeichne die Funktion, die cos 17 x in Abhängigkeit von cos x darstellt; das bedeutet $$\cos 17{\rm{x}} = {\rm{f}}\left( {\cos {\rm{x}}} \right).$$ Dann ist zu zeigen, daß die gleiche Funktion sin 17 × in Abhängigkeit von sin x darstellt: $$\sin 17{\rm{x}} = {\rm{f}}\left( {\sin {\rm{x}}} \right).$$

Ein n×n-Quadrat S überdeckt (n + l)2 Gitterpunkte (d.h. Punkte (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten x und y), wenn man es so legt, daß jede Ecke in einem Gitterpunkt liegt und die Seiten parallel zu den Gitterlinien (Achsen) verlaufen. Man beweise das h öchsteinsichtige Ergebnis, daß in einem beliebigen Quadrat S nie mehr als (n + l)2 Gitterpunkte liegen können, wie auch immer dieses Quadrat in der Ebene piaziert wird.

Eine Menge von Strecken im Inneren oder auf dem Rand eines Quadrates der Seitenlänge 1 heißt „undurchlässig“, wenn jede Gerade, die durch das Quadrat geht, mindestens eine der Strecken der Menge berührt. Zum Beispiel bilden die beiden Diagonalen eine undurchlässige Menge (Bild 14a). Eine zweite undurchlässige Menge ist in Bild 14b abgebildet. Die Gesamtlänge der beiden Diagonalen ist 2 ·√2 ≈ 2, 82; es ist eine hübsche Übung in elementarer Differentialrechnung zu beweisen, daß die undurchlässige Menge minimaler Gesamtlänge mit einer Gestalt entsprechend dem symmetrischen Muster in Bild 14b, die Länge 1 +√3 ≈ 2 2, 73 hat. Man finde eine undurchlässige Menge einer Gesamtlänge kleiner als 1 + √3.

Wir stellen uns ein Spiel mit x (Kreuzen) und O (Punkten) vor, genannt „Tick-Tack-Toe“ (im deutschen Sprachraum z. B. unter dem Namen „Kreuzchen und Punkte“ bekannt [Anm. d. Übers.]). Das Spielfeld soll ein 8 × 8 × 8-Würfel im Raum sein. Wieviele Gewinnmöglichkeiten „Acht-in-einer-Reihe“ gibt es dann?

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck. Dreht man dann jede Kathete um den zugehörigen Eckpunkt so, daß sie in der gedrehten Lage auf der Hypothenuse liegt, so ist zu beweisen, daß sich die gedrehten Katheten längs einer Strecke überlappen, deren Länge der Durchmesser des Inkreises des gegebenen Dreiecks ist (Bild 18).

Die Ziffernsumme der Dezimaldarstellung von 44444444 sci A. Die Ziffernsumme von A sei B. Was ist die Ziffernsumme von B?

Oft wurde schon die bemerkenswerte Gleichung eπi = − 1 hervorgehoben, in der vier der wichtigsten Zahlen der ganzen Mathematik vorkommen. In etwas unbedeutenderer Art verbindet die Gleichung $$\sigma \left( {\rm{n}} \right) + \rho \left( {\rm{n}} \right) = {\rm{n}} \cdot {\rm{d}}\left( {\rm{n}} \right)$$ drei der wichtigsten zahlentheoretischen Funktionen: σ (n) — Summe der positiven Teiler von nd (n) — Anzahl der positiven Teiler vonϕ (n) — (Eulersche (ϕ-Funktion) Anzahl der natürlichen Zahlen m ⩽ n, die zu n teilerfremd sind ((m, n) = 1).

In einen Streifen S der Ebene werden Kreise mit Einheitsradius ohne Überlappung innerer Punkte gepackt. Die parallelen Begrenzungskanten von S sind um den Abstand w voneinander entfernt. Man sagt, daß die Kreise einen k-Haufen bilden, wenn jede Gerade durch S mindestens k dieser Kreise trifft. Man zeige, daß für einen 2-Haufen w ⩽ 2 + √ gilt (Bild 21).

Es gibt nk verschiedene k-tupel (a₁, a₂, ..., a_k), wobei die a_i aus der Menge {1, 2, 3, ..., n} stammen und Wiederholungen zugelassen sind. Zu jedem dieser k-tupel bestimmt man das minimale a_i. Man beweise das verblüffende Ergebnis, daß die Summe all dieser Minimalwerte gerade durch $${1^{\rm{k}}} + {2^{\rm{k}}} + {3^{\rm{k}}} + \ldots {{\rm{n}}^{\rm{k}}},$$ die Summe der k-ten Potenzen der ersten n natürlichen Zahlen, gegeben ist: $$\sum {\min \left\{ {{{\rm{a}}_1},{{\rm{a}}_2}, \ldots ,{{\rm{a}}_{\rm{k}}}} \right\}} = \sum\limits_{{\rm{m}} = 1}^{\rm{n}} {{{\rm{m}}^{\rm{k}}}} .$$

Was sind die drei letzten Stellen von 79999 ?

Ein gewöhnlicher Würfel, der die Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 und 6 auf seinen Flächen trägt, wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal die Gesamtpunktezahl größer als 12 ist. Was ist dann die wahrscheinliche Gesamtpunktezahl?

Ein fester Würfel C mit den Abmessungen 20 × 20 × 20 wird aus 2000 Blöcken der Dimension 2 × 2 × 1 aufgebaut. Man beweise, daß der Würfel längs einer Geraden senkrecht auf eine Seitenfläche durchbohrt werden kann, ohne daß dabei einer der Blöcke durchbohrt wird.

Für gewisse natürliche Zahlen n kann man Folgen der Länge n konstruieren, in denen jede der Zahlen 1, 2, 3, ..., n zweimal vorkommt, wobei die Zahl r das zweite Mal genau r Stellen hinter dem ersten Vorkommen dieser Zahl auftritt. Für n = 4 hat man zum Beispiel $$4,2,3,2,4,3,1,1.$$ Im Fall n=5 ist $$3,5,2,3,2,4,5,1,1,4$$ eine solche Folge. Für n=6 oder n=7 gibt es keine Folge dieser Art. n=8 ergibt die Folge $$8,6,4,2,7,2,4,6,8,3,5,7,3,1,1,5.$$ Man beweise, daß eine solche Folge höchstens für n ≡ 0 (mod 4) oder n ≡ 1 (mod 4) existiert.

Gegeben sind 2 n + 3 Punkte der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden und keine vier auf einem Kreis liegen. Man beweise, daß es immer m öglich ist, einen Kreis zu finden, der durch genau drei der gegebenen Punkte geht und die Menge der übrigen halbiert, d. h. daß dieser Kreis genau n der Punkte im Inneren und die restlichen n im Äußeren enthält.

Sind a, b und c Seitenlängen eines Dreieckes, so ist zu beweisen, daß für n = 2, 3, 4 ... auch n√a, n√b und n√c als Seitenlängen eines solchen möglich sind.

1952 veröffentlichten J. H. Butchart und Leo Moser die außergewöhnliche Arbeit No Calculus Please in der beliebten Zeitschrift Scripta Mathematica, S. 221–236. Hier gehen wir auf einige der dort dargestellten geistreichen Alternativen zur üblichen Behandlung einiger Aufgaben mit Mitteln der Differential- und Integralrechnung ein.

Oft ist es einfach zu entscheiden, welche von den Zahlen ab und ba größer als die andere ist. Es ist klar, daß $${2^{\rm{3}}} < {3^2}{\rm{ und }}{{\rm{3}}^4} > {4^3}$$ gilt. Nimmt man aber eine Zahl zwischen 2 und 3 und eine zwischen 3 und 4, so können Schwierigkeiten auftreten. Welche Zahl ist größer: $${{\rm{e}}^{\rm{\pi }}}{\rm{ oder }}{{\rm{\pi }}^{\rm{e}}}?$$

Jemand kauft in einem Postamt einige Briefmarken zu 1 Cent, drei Viertel so viele Briefmarken zu 2 Cent und drei Viertel so viele Marken zu 5 Cent wie Marken zu 2 Cent, sowie 5 zu 8 Cent. Er bezahlt mit einer einzigen Banknote und erhält kein Wechselgeld zurück. Wieviele Marken jeder Sorte hat er gekauft?

Wir betrachten eine Landkarte M auf einer Kugel. In jeder Ecke von M sollen genau drei Länder zusammenstoßen. Keine Grenzlinie sei eine Schlinge (d.h., jede Grenzlinie enthalte mindestens zwei Eckpunkte). Die Landkarte wird mit den Farben A, B, C und D gefärbt, so daß aneinander grenzende Länder verschiedene Farben tragen. „Land“ ist dabei jedes Gebiet der Karte; es ist egal, ob es wirklich ein Land ist oder eine Wasserfläche.

Man beweise, daß jedes abgeschlossene, konvexe Gebiet der Ebene mit Flächeninhalt π (oder mehr) zwei Punkte enthält, die im Abstand 2 voneinander liegen (Bild 34).

Man löse das folgende Gleichungssystem im Bereich der natürlichen Zahlen: $$\matrix{ {{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ - }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ - }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 3 abc}}} \cr {{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}\left( {{\rm{b + c}}} \right).} \cr } $$

A und B seien zwei Kreise auf einer Seite der Geraden m. Man konstruiere eine Tangente an A, die — an m reflektiert — eine Tangente an B wird (Bild 37).

Entfernt man von einem gewöhnlichen 8 × 8-Schachbrett alle schwarzen Felder, so hat auf diesem Brett nicht einmal ein einziger 1 × 2-Dominostein Platz. Gibt man aber danach ein beliebiges schwarzes Feld zurück, so wird für einen Dominostein Platz sein. Ein so verändertes Schachbrett mit dieser Eigenschaft nennt man „wohlzerstört“ (im Original: elegantly destroyed [Anm. d; Übers.]).

Ein Bub macht zwei Schneebälle, wobei der größere den doppelten Durchmesser des kleineren hat, und bringt sie in ein warmes Zimmer, wo sie schmelzen. Da nur die Oberfläche der Bälle der warmen Luft ausgesetzt ist, kann man annehmen, daß die schmelzende Schneemenge proportional ist zur Oberfläche der Bälle. Wieviel ist vom kleineren Ball übrig, wenn das halbe Volumen des größeren weggeschmolzen ist?

Man bilde die Summe aller Ziffern, die auftreten, wenn man die Zahlen von 1 bis zu einer Milliarde aufschreibt.

Wir halten ein Einheitsquadrat S der Ebene fest. Was ist die Maximalzahl einander nicht überlappender Einheitsquadrate, die man so legen kann, daß sie alle das Quadrat S berühren, es aber dabei nicht überschneiden (Bild 45)?

Es seien a, b, c und d ganze Zahlen mit a ≠ 0. Man zeige, daß die Gleichung axy + bx + cy + d nur endlich viele Paare (x, y) ganzer Zahlen als Lösung hat, falls bc — ad ≠ 0 ist.

Die Folge {f_n}natürlicher Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55., mit f₁=f₂=1 und f_n=f_{n − 1}+ f_{n − 2} für n > 2, wird Fibonacci-Folge genannt. Sie ist eine der bekanntesten Folgen in der Mathematik. Sie hat so viele Eigenschaften und ist so vieler Verallgemeinerungen fähig, daß eine ganze Zeitschrift, The Fibonacci Quaterly, der Untersuchung dieser Folge und verwandter Themen gewidmet ist.

ON sei der Radius in einem Kreis, der auf der Sehne AB normal stehe. O ist der Kreismittelpunkt. Der Schnittpunkt von AB und ON sei M. P sei ein beliebiger Punkt auf dem größeren der beiden durch AB bestimmten Kreisbögen, der nicht auf dem durch O und N bestimmten Durchmesser liegen möge. PM und PN bestimmen die Punkte Q und R auf der Sehne AB und auf dem Kreis (Bild 52). Man beweise, daß RN immer länger als MQ ist. (Überraschenderweise gibt es viele, die nach einem ersten Hinsehen meinen, daß MQ länger als RN sei.)

Die Strecke zwischen A (p, O) und B (O, p) geht durch die p − 1 Gitterpunkte (1, p − 1), (2, p − 2), ..., (p−1, 1). Die Geraden durch den Usprung O und diese Punkte zerlegen das Dreieck OAB in p kleine Dreiecke. Offensichtlich enthalten die beiden Dreiecke am Rand, die je eine Seite haben, die mit einem Teil einer Koordinatenachse zusammenfällt, keine Gitterpunkte der Ebene in ihrem Inneren. Ist p eine Primzahl, so enthalten auch die vom Ursprung ausgehenden Strecken der Dreieckszerlegung keine Gitterpunkte (Bild 55). Man zeige, daß, wennp prim ist, alle Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks OAB im Inneren der p − 2 inneren kleinen Dreiecke liegen, und zwar gleich verteilt.

Bereits die alten Griechen haben entdeckt, daß einige natürliche Zahlen n die bemerkenswerte Eigenschaft haben, daß die Summe ihrer echten Teiler gerade die Zahl selbst ergibt. Für n = 28 gilt z. B. $$1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.$$

Die Seiten eines Vierecks mögen (bezüglich einer festen Einheitsstrecke) ganzzahlige Längen haben. Außerdem teile die Länge jeder Seite die Summe der Längen der übrigen Seiten. Man beweise, daß dann zwei Seiten gleich sind.

Man zeige, daß es in einer arithmetischen Folge natürlicher Zahlen nicht mehr als elf aufeinanderfolgende Primzahlen geben kann, falls die (konstante) Differenz der Folge kleiner als 2000 ist.

Es sei BC die längste Strecke des Dreiecks ABC und O ein Punkt im Inneren dieses Dreiecks. A′, B′ und C′ seien die Schnittpunkte der Geraden AO, BO und CO mit den den Punkten A, B und C gegenüberliegenden Dreiecksseiten. Man beweise $${\rm{OA' + OB' + OC' < BC}}{\rm{.}}$$

Zwei Männer besitzen gemeinsam x Kühe, die sie zu x Dollar pro Stück verkaufen. Mit dem Erlös kaufen sie Schafe zu 12 Dollar pro Stück. Da der Erlös aber nicht durch 12 teilbar ist, kaufen sie vom Rest ein Lamm. Später teilten sie die Schafherde in zwei Hälften mit der selben Stückzahl. Der Mann, zu dessen Teil der Herde das Lamm geh örte, war also etwas im Nachteil. Zum Ausgleich erhielt er von seinem Partner dessen Harmonika. Wie groß ist der Wert der Harmonika?

Man zeige, daß jedes Glied der Folge $${\rm{49,4489,444889,44448889,}} \ldots {\rm{,}}\underbrace {44 \ldots }_{{\rm{n}} + 1}\underbrace {488 \ldots 89}_{{\rm{n}} + 1}, \ldots ,$$ eine Quadratzahl ist.

Das Problem, einem Kreis regelmäßige Polygone einzuschreiben, ist seit der Antike für die Mathematiker von großem Interesse. Euklid schrieb über dieses Thema und gab eine nette Methode zur Konstruktion eines eingeschriebenen Zehnecks an. Wir beginnen mit dem Nachweis, daß die Seite x eines eingeschriebenen Zehnecks mit dem Radius r des Umkreises durch die Gleichung $$x = {{\rm{r}} \over 2}\left( {\sqrt {5 - 1} } \right)$$ verbunden ist.

Wir betrachten eine quadratische Anordnung roter und blauer Punkte in 20 Zeilen und 20 Spalten. Wenn zwei Punkte einer Farbe in einer Zeile oder Spalte benachbart liegen, verbinden wir sie mit einer Strecke, die so gefärbt ist, wie es die beiden Punkte sind; benachbarte Punkte verschiedener Farbe verbinden wir durch eine schwarze Strecke. Die Anordnung enthalte 219 rote Punkte, wovon 39 am Rand liegen; kein roter Punkt liege in einer Ecke der Anordnung. Außerdem gibt es 237 schwarze Strecken. Wie groß ist die Anzahl der blauen Strecken?

Bei gegebenem Kreisrand C ist es einfach, den Mittelpunkt und den Radius des zugehörigen Kreises zu bestimmen. Üblicherweise konstruiert man die Mittelsenkrechten zweier Sehnen und erhält so den Mittelpunkt. Danach ist der Radius unmittelbar zu bestimmen. Während man zwei Kreisbögen braucht, um eine Mittelsenkrechte zu konstruieren, benötigt man insgesamt nur drei Bögen zur Konstruktion der Mittelsenkrechten auf zwei aneinanderstoßende Sehnen (wobei ein Bogen den beiden Bogenpaaren gemeinsam ist). Insgesamt braucht man also mindestens drei Bögen und zwei Strecken.

Die Primzahlen sind seit langem für die Mathematiker von besonderem Interesse. Eine hervorragende elementare Darstellung dieses faszinierenden Gebietes findet man im Kapitel III des Buches Theoryof Numbers von W. Sierpiński, S. 110–155. Eine der interessanten Funktionen, die für Primzahluntersuchungen wichtig ist, ist die Funktion π (n), die die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich n angibt.

Zwei Kreise Q und R schneiden sich in den Punkten A und B (Bild 61). Ein Punkt P auf dem Bogen von Q, der außerhalb von R liegt, bestimmt mit A und B zwei Geraden, deren Schnittpunkte C und D mit R die Sehne CD ergeben. Man zeige, daß die Länge von CD von der Wahl des Punktes P unabhängig ist.

Ein einfaches Polygon ist ein solches ohne Selbstüberschneidungen. Dabei muß aber ein einfaches n-Eck keineswegs konvex sein; auch können viele Diagonalen teilweise oder ganz im Äußeren eines solchen n-Ecks liegen. Man zeige, daß dennoch jedes einfache n-Eck mindestens n — 3 Diagonalen in seinem Inneren enthält.

Man beweise, daß es unmöglich ist, ein Würfelpaar so zu fälschen, daß die Augensummen 2, 3, ..., 12 alle gleichwahrscheinlich sind. Wie üblich sei dabei angenommen, daß die Würfel unterscheidbar sind (d. h., „2 Augen auf dem ersten und 4 Augen auf dem zweiten Würfel“ ist ein Ereignis, das verschieden ist vom Ereignis „4 Augen auf dem ersten und 2 Augen auf dem zweiten Würfer, obwohl die Augensumme in beiden Fällen den gleichen Wert liefert).

Man stelle sich folgendes vor. Beim Abzählen der Zahlenreihe 1, 2, 3, ... bestimmt man eine Folge U, indem man die erste ungerade Zahl (nämlich 1)die nächsten beiden geraden Zahlen (2 und 4)die nächsten drei ungeraden Zahlen (5, 7 und 9)die nächsten vier geraden Zahlen (10, 12, 14, 16)die nächsten fünf ungeraden Zahlen (17, 19, 21, 23, 25) herausgreift und so weitermacht.

Obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, werden die Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen beliebig groß. Das erkennt man leicht, wenn man für alle natürlichen Zahlen n die Zahlen $$\left( {{\rm{n}} + 1} \right)! + 2,\left( {{\rm{n}} + 1} \right)! + 3, \ldots ,\left( {{\rm{n}} + 1} \right)! + \left( {{\rm{n}} + 1} \right)$$ betrachtet, die eine Menge von n aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen bilden.

ABCD sei ein Sehnenviereck, dessen Diagonalen einander in X schneiden mögen. P, Q, R und S seien die Fußpunkte der Lote auf die Seiten des Vierecks, die durch X gehen. Man zeige, daß von allen Vierecken, die je eine Ecke auf jeder Seite von ABCD liegen haben, PQRS das mit minimalem Umfang ist.

Die Anzahl der Scheiben in den dreieckigen Anordnungen von Bild 70 bestimmen die Folge der Dreieckszahlen. Die Folge beginnt mit 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ..., das n-te Glied ist durch $${{\rm{t}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = }}{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right)} \over {\rm{2}}}$$ gegeben. Wegen t_n = t_n−1+ n kann man die ersten Folgenglieder leicht im Kopf berechnen: $$\matrix{ {{\rm{1, }}\left( {{\rm{2 dazu}}} \right){\rm{ 3, }}\left( {{\rm{3 dazu}}} \right){\rm{ 6, }}\left( {{\rm{4 dazu}}} \right){\rm{ 10, }}\left( {{\rm{5 dazu}}} \right){\rm{ 15, }}\left( {{\rm{6 dazu}}} \right)} \hfill \cr {{\rm{ 21,28,36,45,55,66,78,91,105,136,153, \ldots }}} \hfill \cr } $$ In diesem Abschnitt betrachten wir sieben kleine Probleme, die mit Dreieckszahlen zusammenhängen.

A₁A₂ ... A_n sei ein regelmäßiges n-Eck. Man zeige, daß für einen beliebigen Punkt O im Inneren des Polygons mindestens einer der Winkel A_jOA_j einem gestreckten Winkel bis auf den n-ten Teil eines solchen nahe kommt: $${\rm{\pi - }}{{\rm{\pi }} \over {\rm{n}}} \le {{\rm{A}}_{\rm{i}}}{\rm{O}}{{\rm{A}}_{\rm{j}}} \le {\rm{\pi }}{\rm{.}}$$

Die Zahlen $${{\rm{F}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\left( {{{\rm{2}}^{\rm{n}}}} \right)}}{\rm{ + 1, n = 0, 1, 2, \ldots ,}}$$ werden nach dem großen französischen Mathematiker Pierre de Fermat (1601–65) Fermatsche Zahlen genannt. Die Folge dieser Zahlen beginnt mit $$ {\text{3}},{\text{5}},{\text{17}},{\text{257}},{\text{65537}}, \ldots $$ Sie erfüllen die Rekursionsbeziehung F_n = F₀ F₁ ... F_n-1 + 2, was man durch Induktion leicht nachprüfen kann. Die folgende, nette Beweismethode wurde im AMM, 1935, S. 569, Problem E 152 angegeben. Aufgabensteiler war J. Rosenbaum, Hartford Federal College, Connecticut; gelöst wurde die Aufgabe von Daniel Finkel, Brooklyn, New York.

Es sei n eine natürliche Zahl größer als 1. Man zeige: $${1 \over {\rm{n}}} + {1 \over {{\rm{n + 1}}}} + {1 \over {{\rm{n + 2}}}} + \ldots + {1 \over {{{\rm{n}}^2}}} > 1.$$

Man zeige, daß das Produkt von 8 aufeinanderfolgenden Zahlen nie eine vollkommene vierte Potenz sein kann.

Wegen der Divergenz der harmonischen Reihen kann man eine Menge von Quadraten der Seitenlängen 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n so anordnen, daß die Quadrate aneinander liegen und sich längs der gemeinsamen Grundlinie L unbeschränkt ausbreiten (Bild 73). Man beweise aber, daß alle Quadrate nach dem ersten im ersten Quadrat ohne Überlappung Platz finden.

In einer Tasche befinden sich sechs rote und acht grüne Bälle. Fünf Bälle werden zufällig herausgenommen und in eine rote Schachtel gelegt; die übrigen neun Bälle kommen in eine grüne Schachtel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Summe aus der Zahl der roten Bälle in der grünen Schachtel und der Zahl der grünen Bälle in der roten Schachtel keine Primzahl ist?

Bei Behandlung des Problems 54 auf Seite 136 sahen wir, daß in der Folge der natürlichen Zahlen beliebig lange Intervalle von aufeinanderfolgenden, zusammengesetzten natürlichen Zahlen auftreten. Jetzt beweisen wir, daß es beliebig lange arithmetische Folgen gibt, deren Glieder zusammengesetzt und paarweise teilerfremd sind.

Man stellt gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge 1, 3, 5, ..., 2n − 1, ... längs einer Geraden mit den Enden aneinander (Bild 78). Dann ist zu zeigen, daß die nicht auf der Geraden liegenden Eckpunkte der Dreiecke auf einer Parabel liegen und zwar so, daß ihre Brennpunktabstände natürliche Zahlen sind.

Drei Studenten A, B, C legen eine Reihe von Prüfungen ab. Ist man bei einer Prüfung Erster, so erhält man x Punkte, als Zweiter erhält man y und als Dritter z Punkte, x, y, z sollen natürliche Zahlen mit x > y > z sein. In keiner Prüfung sollen dabei zwei Studenten das gleiche Ergebnis haben. Zusammen erhielt A 20 Punkte, B 10 und C 9 Punkte. A war Zweiter bei der Algebraprüfung. Wer war Zweiter bei der Geometrieprüfung?

Der Satz von Ptolemäus besagt, daß in einem Sehnenviereck das Produkt der Längen der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Längen der Paare gegenüberliegender Seiten ist (einen Beweis findet man in fast jedem Lehrbuch der synthetischen Geometrie). Dieser Satz liefert einen schnellen Beweis des folgenden Ergebnisses: A₁A₂A₃ sei ein, einem Kreis eingeschriebenes, gleichseitiges Dreieck. Man zeige, daß für jeden Punkt P auf dem Kreis die Summe der Längen der beiden k ürzeren der drei Strecken PA₁, PA₂, und PA₃ gleich der Länge der längeren Strecke ist.

Es seien y und z natürliche Zahlen mit y3 + 4 y = z. Man zeige, daß y das Doppelte eines Quadrates ist.

$$\matrix{ {{\rm{F\ddot ur x = 1 + i}}\sqrt 3 {\rm{, y = 1 - i}}\sqrt 3 {\rm{ und z = 2 }}\left( {{\rm{i = }}\sqrt { - 1} } \right){\rm{ gilt}}} \hfill \cr {{x^5} + {y^5} = {z^5},{x^7} + {y^7} = {z^7}{\rm{ und }}{{\rm{x}}^{11}} + {y^{11}} = {z^{11}}.} \hfill \cr } $$ Man zeige die überraschende Verallgemeinerung, daß für diese spezielle Wahl von x, y und z die Gleichung $${{\rm{x}}^{\rm{p}}}{\rm{ + }}{{\rm{y}}^{\rm{p}}}{\rm{ = }}{{\rm{z}}^{\rm{p}}}$$ für alle Primzahlen p > 3 gilt.

Ein Kreis C₀ mit Radius 1 km berühre eine Gerade L in Z (Bild 82). Ein Kreis C₁ mit Radius 1 mm berühre C₀ und L rechts von C₀. Dann konstruiert man eine nach rechts gerichtete Schar von Kreisen C_i, so daß C_i tangential zu C₀, L und dem zuvor konstruierten Kreis C_i-1 ist. Einmal werden dabei die C_i so groß, daß man keinen Kreis mehr anfügen kann. Wieviele Kreise kann man zeichnen, bevor das geschieht?

Wieviel Ziffern enthält die längste Kette von Null verschiedener, identischer Ziffern, die am Ende einer Quadratzahl stehen? Außerdem bestimme man das kleinste Quadrat, dessen Darstellung in einer solchen Kette endet.

Im Dreieck ABC sei AC = BC. K sei ein Kreis mit Mittelpunkt C und einem Radius, der kleiner als AC ist (Bild 85). Man bestimme einen Punkt P auf K, in dem die Tangente an den Kreis den Winkel APB halbiert.

Was ist die größte natürliche Zahl n, für die eine Lösung x des Ungleichungssystems $$\matrix{ {{\rm{k < }}{{\rm{x}}^{\rm{k}}}{\rm{ < k + 1}}\left( {{\rm{k = 1,2,3, \ldots ,n}}} \right){\rm{:}}} \hfill \cr {{\rm{1 < x < 2}}} \hfill \cr {{\rm{2 < }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ < 3}}} \hfill \cr {{\rm{3 < }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ < 4}}} \hfill \cr {{\rm{4 < }}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ < 5}}} \hfill \cr } $$ existiert?

Einem Kreis mit Mittelpunkt O ist ein reguläres 26-Eck A₁ A₂ ... A₂₆ eingeschrieben (Bild 87). Der Mittelpunkt O wird an den Sehnen A₂₅A₁ und A₂A₆ in die Punkte O₁ und O₂ gespiegelt. Man beweise die bemerkenswerte Eigenschaft, daß durch O₁O₂ die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks gegeben ist, das man dem Kreis einschreiben kann.

Man beweise, daß die einzigen ganzen Zahlen für die $${{\rm{x}}^{\rm{4}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x + 1}}$$ ein vollkommenes Quadrat ist, die Zahlen x = − 1, 0 und 3 sind.

Man bestimme P (n + 2), wenn P (x) ein Polynom vom Grade n ist mit P (x) = 2 x für x = 1, 2, 3, ..., n + 1.

Es seien A, B, C und D vier auf einem Kreis liegende Punkte; G_A, G_B, G_c und G_D seien (in dieser Reihenfolge) die Schwerpunkte der Dreiecke BCD, ACD, ABD und ABC (Bild 88). Man beweise, daß G_A, G_B, G_c und G_D ebenfalls auf einem gemeinsamen Kreis liegen.

Was bleibt bei der Division von x + x9 + x25 + x49 + x81 durch x3 −x als Rest?

Man zeige, daß für zwei natürliche Zahlen m und n eine der Zahlen n√m oder m√n immer kleiner oder gleich 3√3 ist.

Von den Ecken eines Quadrats aus werden Verbindungsgeraden zu den Mittelpunkten (geeigneter) Seiten gezogen (Bild 91). Man beweise das überraschende Ergebnis, daß die Fläche des dabei entstehenden kleineren Quadrates gleich einem Fünftel der Fläche des ursprünglichen Quadrates ist.

Man bilde eine Zahl A, deren Dezimaldarstellung aus einer geraden Anzahl von Einsern besteht. Die Zahl B bestehe aus lauter Vierern. Deren Anzahl sei halb so groß wie die Zahl der Einser in der Darstellung von A. Man beweise dann, daß A + B + 1 eine Quadratzahl ist.

Wir denken uns die natürlichen Zahlen folgendermaßen in Gruppen eingeteilt: $$\left( 1 \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,5,6} \right),\left( {7,8,9,10} \right),\left( {11,12,13,14,15} \right), \ldots $$ Ferner lassen wir jede zweite Gruppe weg. Man beweise, daß die Summe der Zahlen in den verbleibenden ersten k Gruppen durch k4 gegeben ist. Zum Beispiel gilt für k = 3: $$1 + \left( {4 + 5 + 6} \right) + \left( {11 + 12 + 13 + 14 + 15} \right) = 81 = {3^4}$$

Man zeige, daß die Verbindungsgerade von Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt eines Dreiecks parallel zu einer der Seiten ist, falls die Seitenlängen benachbarte Glieder einer arithmetischen Folge sind.

Es sei bj, b₂, ..., b_n eine Permutation der positiven reellen Zahlen a₁, a₂, ..., a_n. Man zeige $${{{{\rm{a}}_{\rm{1}}}} \over {{{\rm{b}}_{\rm{1}}}}} + {{{{\rm{a}}_{\rm{2}}}} \over {{{\rm{b}}_{\rm{2}}}}} + \ldots + {{{{\rm{a}}_{\rm{n}}}} \over {{{\rm{b}}_{\rm{n}}}}} \ge {\rm{n}}{\rm{.}}$$

Was ist der größte gemeinsame Teiler g der Zahlen $$\left( {_{\rm{1}}^{{\rm{2n}}}} \right){\rm{,}}\left( {_{\rm{3}}^{{\rm{2n}}}} \right){\rm{,}}\left( {_{\rm{5}}^{{\rm{2n}}}} \right){\rm{, \ldots ,}}\left( {_{{\rm{2n - 1}}}^{{\rm{2n}}}} \right)?$$

Die Zahlen F_n=2(2n) + 1, n = 0, 1, 2, ..., werden Fermatsche Zahlen genannt und zwar nach dem hervorragenden französischen Mathematiker Pierre de Fermat (1601–1665). Die ersten sechs sind $$3,5,17,257,65537,4294967297.$$ Der Leser kann sich sicher die gewaltige Größe der Zahl F₇₃=2(273) + 1 vorstellen. Wir wollen in diesem Abschnitt die Frage behandeln, ob die Gesamtheit aller Bücher in allen Bibliotheken der ganzen Welt genug Platz bietet, um die Dezimaldarstellung dieser Riesenzahl F₇₃ aufzunehmen. Für die Antwort auf diese Frage gehen wir von den folgenden großzügigen Abschätzungen aus, die die Bücher und Bibliotheken betreffen: Eine Million Bibliotheken mit je einer Million Büchern, jedes davon mit 1000 Seiten, wovon jede 100 Zeilen hat, wobei jede Zeile 100 Ziffern Platz bietet.

Es sei ABCD ein Sehnenviereck. Die Verlängerungen je zweier gegenüberliegender Seiten mögen einander in P bzw. Q schneiden (Bild 94). Man beweise, daß das Viereck EFGH, das durch ABCD und die Winkelhalbierenden der Winkel in P und Q bestimmt ist, immer ein Rhombus ist.

Man bestimme alle Tripel voneinander verschiedener natürlicher Zahlen x, y und z, die paarweise teilerfremd sind und die Eigenschaft haben, daß die Summe von je zweien durch die dritte teilbar ist.

S_n bezeichne die Summe der ersten n Primzahlen: $${{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 2 + 3 + 5 + \ldots + }}{{\rm{P}}_{\rm{n}}}{\rm{.}}$$ Man beweise, daß zwischen S_n und S_{n + 1} immer eine Quadratzahl liegt.

Dieses Problem befaßt sich mit einer merkwürdigen Erzeugungsweise für eine Folge natürlicher Zahlen. Wir fangen zum Beispiel mit 2520 an und erhalten $${\rm{2520,25,11,12,8,7,8,}} \ldots $$ Jedes Folgenglied ist durch die um 1 vermehrte Summe der Primteiler des vorangehenden Gliedes bestimmt, wobei jede Primzahl so oft genommen wird, wir ihr Exponent in der Primfaktorzerlegung des Folgengliedes angibt.

Ein Kreis von Radius 5, der in einem Gitter (aus Einheitsquadraten) liegt, muß immer einen Gitterpunkt enthalten: Der Kreis ist zu groß, um alle Gitterpunkte zu vermeiden. (Wir nehmen an, daß all unsere Figuren ihren Rand enthalten; sie sollen also abgeschlossen sein). Nat ürlich kann ein sehr kleiner Kreis so liegen, daß er keinen Gitterpunkt enthält. Da es zu jedem Punkt der Ebene einen Gitterpunkt gibt, so daß der Abstand zwischen diesen Punkten nicht größer als √212 ist √2/2ist die halbe Diagonallänge eines Einheitsquadrates im Gitter), hat jeder Kreis mit einem Radius ⩾ √2/2 unabhängig von der Lage des Mittelpunktes eine solche Ausdehnung, daß er mindestens einen Gitterpunkt enthält. Herausfordernder ist der Beweis dafür, daß ein a X b-Rechteck in beliebiger Lage genau dann mindestens einen Gitterpunkt enthält, wenn a ⩾1 und b ⩾√2 gilt. Sehr kompliziert ist der Nachweis, daß ein Dreieck garantiert immer einen Gitterpunkt enthält genau dann, wenn die Dreiecksfläche nicht kleiner als c2/2 (c −1) ist; dabei ist c die Länge der längsten Dreiecksseite. Ein überaus interessantes Thema ist der Fall der Ellipse.

Eine der bemerkenswerten Leistungen des großartigen Archimedes ist die Bestimmung der Fläche eines Parabelsegmentes (d. h. des von einer Sehne ausgeschnittenen Teils einer Parabel). Er fand, daß das durch die Sehne AB bestimmte Segment als Fläche zwei Drittel der Dreiecksfläche desjenigen Dreiecks PAB besitzt, das durch die Tangenten an die Parabel in A und B bestimmt ist. Ein solches Dreieck PAB nennt man ein „Archimedisches“ Dreieck (Bild 99).