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Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Read chapter Read first chapter

2022 | OriginalPaper | Chapter

8. Grenzwertsätze für U-Statistiken

Author : Norbert Henze

Published in: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Auch dieses Kapitel bewegt sich an der Schnittstelle zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Es geht um U-Statistiken, die Verallgemeinerungen von arithmetischen Mitteln bilden und erwartungstreue Schätzer darstellen. Erstes zentrales Resultat ist ein mithilfe der Hájek-Projektion gewonnener zentraler Grenzwertsatz für nicht-ausgeartete Ein-Stichproben-U-Statistiken. Ein mathematisch tief liegenderes Ergebnis ist die Limesverteilung einer einfach-entarteten U-Statistik, für deren Herleitung der Entwicklungssatz für lineare selbstadjungierte kompakte Operatoren benötigt wird. Das Kapitel enthält auch einen zentraler Grenzwertsatz für Zwei-Stichproben-U-Statistiken. Statistische Anwendungen betreffen unter anderem den Mann-Whitney-U-Test und den Cramér-von Mises-Anpassungstest. Zum Abschluss des Kapitels wird die enge Verwandtschaft von U-Statistiken und den nach R. von Mises benannten V-Statistiken beleuchtet.

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Footnotes
1
Wassily Hoeffding (1914–1991), 1940 Promotion an der Berliner Universität, 1946 Auswanderung in die USA, ab 1947 Professor an der University of North Carolina, Chapel Hill. Hoeffding war einer der Begründer der nichtparametrischen Statistik.
 
2
Corrado Gini (1884–1965), italienischer Statistiker. Gini entwickelte u. a. den nach ihm benannten Gini-Koeffizienten, mit dem die Ungleichverteilung der Einkommen innerhalb einer Volkswirtschaft dargestellt werden kann.
 
3
Frank Wilcoxon (1892–1965), US-amerikanischer Chemiker und Statistiker, 1924 Promotion in physikalischer Chemie an der Cornell University. Der nach ihm benannte Vorzeichen-Rangtest und der ebenfalls seinen Namen tragende Rangsummentest gehören zu den wichtigsten nichtparametrischen Testverfahren.
 
4
Sir Maurice George Kendall (1907–1983), britischer Statistiker, u. a. bekannt durch sein dreibändiges Werk The Advanced Theory of Statistics (mit Alan Stuart), 1949–1961 Prof. an der London School of Economics, ab 1972 Direktor des World Fertility Survey, eines u. a. von den Vereinten Nationen unterstützten Projektes zur Untersuchung der Fruchtbarkeit in Industrie- und Entwicklungsländern.
 
5
Jaroslav Hájek (1926–1974), tschechischer Mathematiker, ab 1946 Professor für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik an der Karls-Universität Prag. Hauptarbeitsgebiete: Stichprobentheorie sowie theoretische und nichtparametrische Statistik. 1967 erschien sein zusammen mit Z. S̆idák verfasstes einflussreiches Buch Theory of Rank Tests.
 
6
David Hilbert (1862–1942), Professor in Königsberg (1893–1895) und Göttingen (1895–1930). Hilbert gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Bis zur nationalsozialistischen Machtergreifung baute er an der Universität Göttingen ein weltweit führendes Zentrum der mathematischen Forschung auf. Seine Rede mit einer Liste von 23 ungelösten Problemen auf dem Mathematikkongress in Paris im Jahr 1900 hatte nachhaltigen Einfluss auf die mathematische Forschung.
 
7
Erhard Schmidt (1876–1959), promovierte 1905 bei David Hilbert mit einer Arbeit über Integralgleichungen. Schmidt war unter anderem 1917–1950 Professor an der Universität Berlin. Er gilt als einer der Begründer der Funktionalanalysis. Das Gram–Schmidtsche-Orthogonalisierungsverfahren ist fester Bestandteil jeder Vorlesung über lineare Algebra.
 
8
Nach dem Lévy’schen Äquivalenzsatz (s. z. B. [DUD], Abschn. 9.7) liegt sogar fast sichere Konvergenz der Reihe in (8.33) vor.
 
9
Richard Edler von Mises (1883–1953), ab 1909 Professor in Straßburg, 1919 Professor in Dresden und ab 1920 Professor und Direktor des neu gegründeten Institutes für Angewandte Mathematik in Berlin. 1933 Emigration in die Türkei und dort Professor an der Universität in Istanbul. Ab 1939 Professor für Aerodynamik und Angewandte Mathematik an der Harvard University, Boston. Hauptarbeitsgebiete: Numerische Mathematik, Mechanik, Hydro- und Aerodynamik, Stochastik, Wissenschaftstheorie.
 
10
Henry Berthold (Heinrich) Mann (1905–2000), von 1946 bis 1964 Professor an der Ohio State University. Nach der Promotion an der Universität Wien emigrierte Mann als Jude 1938 in die USA. Er bewies die berühmte Schnirelmann–Landau-Vermutung der additiven Zahlentheorie.
 
11
Donald Ransom Whitney (1915–2001), US-amerikanischer Statistiker, promovierte 1947 bei H. Mann an der Ohio State University.
 
Metadata
Title
Grenzwertsätze für U-Statistiken
Author
Norbert Henze
Copyright Year
2022
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Print ISBN: 978-3-662-65610-5

Electronic ISBN: 978-3-662-65611-2

Copyright Year: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65611-2_8