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About this book

Die elementare Zahlentheorie befasst sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen und benötigt als Grundlage hierfür nur die Arithmetik. Sie ist ein unverzichtbarer Bestandteil des Bachelorstudiums Mathematik.

Die Leser*innen erhalten mit diesem essential eine kompakte und auf das Wesentliche fokussierte Darstellung der elementaren Zahlentheorie, die insbesondere für einen ersten Überblick über dieses Teilgebiet, für die Prüfungsvorbereitung oder zum Nachschlagen wichtiger Definitionen und Sätze herangezogen werden kann.

Table of Contents

Frontmatter

Chapter 1. Teilerrelation und Teilermenge

Zusammenfassung
Für die Definition der Relation „… ist Teiler von …“ wird die Multiplikation als Umkehroperation der Division herangezogen, weil sie sich als tragfähig für die Entwicklung einer mathematischen Theorie (der Zahlentheorie) erweist. Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar wesentliche Eigenschaften der Teilerrelation.
Gerald Wittmann

Chapter 2. Teilbarkeitsregeln

Zusammenfassung
Die Teilbarkeitsregeln beruhen auf der eindeutigen Darstellung einer natürlichen Zahl im dezimalen Stellenwertsystem. Grundprinzip ist stets das Aufsplitten der Zahl in einen ersten Summanden, der ein Vielfaches des zu prüfenden Teilers ist, und einen zweiten Summanden, der dann über die Teilbarkeit entscheidet (und an dem man diese leicht erkennt). Es werden Endstellenregeln, Quersummenregeln und eine alternierende Quersummenregel bewiesen.
Gerald Wittmann

Chapter 3. Gemeinsame Teiler und Vielfache

Zusammenfassung
Bislang wurden Teiler und Vielfache einer natürlichen Zahl betrachtet. Im Folgenden wird nach den gemeinsamen Teilern und Vielfachen zweier natürlicher Zahlen gefragt, insbesondere nach dem größten gemeinsamen Teiler und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Es werden die Division mit Rest und der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen formuliert und bewiesen.
Gerald Wittmann

Chapter 4. Primzahlen

Zusammenfassung
Im Hinblick auf multiplikative Zerlegungen gibt es zwei wesentlich verschiedene Arten natürlicher Zahlen: Primzahlen, die außer den trivialen keine weiteren Zerlegungen besitzen, sowie zusammengesetzte Zahlen. Das Sieb des Eratosthenes ist ein elementares Verfahren zur Bestimmung von Primzahlen, und anschließend wird die Verteilung von Primzahlen durch drei Sätze näher beschrieben (es gibt unendliche viele Primzahlen, es gibt Primzahllücken beliebiger Länge, es gibt zwischen n und n! stets mindestens eine Primzahl).
Gerald Wittmann

Kapitel 5. Primfaktorzerlegung

Zusammenfassung
Wenn man eine natürliche Zahl multiplikativ so weit wie möglich zerlegt, bleiben erfahrungsgemäß stets dieselben Primzahlen übrig, unabhängig davon, wie man vorgeht. Diese Erfahrung wird durch den Hauptsatz der Zahlentheorie genauer gefasst und bewiesen. Aus der Primfaktorzerlegung lassen sich wesentliche Eigenschaften einer natürlichen Zahl herleiten, so die Teilermenge und die Teileranzahl.
Gerald Wittmann

Chapter 6. Kongruenz modulo m

Zusammenfassung
Bei der Kongruenz modulo m richtet sich der Blick auf den Rest, der bei der Division durch m bleibt: Zwei ganze Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m denselben Rest lassen. Teilbarkeitsregeln und historische Rechenproben sowie das Prinzip von Prüfziffern lassen sich auf dieser Basis begründen.
Gerald Wittmann

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