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2015 | OriginalPaper | Chapter

5. Grundbegriffe der Stabilitätstheorie

Authors : Michael Riemer, Jörg Wauer, Walter Wedig

Published in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Lernziele

Die physikalische Realisierbarkeit der Lösungen von Differenzialgleichungen ist heute in den Ingenieurwissenschaften oft von zentraler Bedeutung. Sie wird durch Methoden der Stabilitätstheorie entschieden. Dabei kommt der kinetischen Stabilitätstheorie mit der ersten und der direkten Methode von Ljapunow die Hauptbedeutung zu, Stabilitätsmethoden der Elastostatik mit der Gleichgewichts- und der Energiemethode haben jedoch durchaus eigenständiges Gewicht, so dass beide Gebiete gelehrt und verstanden werden sollten. Der Nutzer lernt, wann und wie er die Stabilitätsmethoden der Elastostatik verwenden kann und in welchen Fällen er den Stabilitätsnachweis im Rahmen der kinetischen Stabilitätstheorie zu führen hat und welche mathematischen Schritte dann relevant sind.

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Die Überlegungen lassen sich natürlich auch auf entsprechende Probleme der Elektrostatik oder Hydrostatik anwenden.

Für das diskretisierte Ersatzmodell des Eulerschen Knickstabes gemäß Abb. 5.1a gilt entsprechend

$$V_{\Delta}=\frac{c_{L}}{2}\Delta x^{2}+\frac{c_{B}}{2}\Delta y^{2}-\frac{F}{2\ell}\Delta y^{2}\;.$$

Historisch genauer (s. z. B. [16, 8]) ist es wohl, diese Formulierung als Satz von Dirichlet zu bezeichnen; der sog. Satz von Lagrange ist die damit in Zusammenhang stehende Aussage, dass das Gesamtpotenzial V statisch konservativer Systeme in der Nachbarschaft einer Gleichgewichtslage $\mathbf{x}_{0}$ eine positiv definite quadratische Funktion ist.

In der Regelungstechnik spricht man von grenzstabil.

Wenn allein durch Begrenzen der Anfangsstörungen gemäß ( 5.34 ) die Störungen langfristig (für $t\to\infty$ ) gemäß ( 5.35 ) verschwinden, heißt die ungestörte Bewegung $\mathbf{x}_{0}(t)$ attraktiv.

Eine ingenieurmäßig aufbereitete kinetische Stabilitätstheorie verteilter Systeme, die diese Schwierigkeiten behebt, ist (am Beispiel 1-parametriger Kontinua) von Kelkel [10] entwickelt worden.

Oft werden diese auch Variationsgleichungen genannt.

Dabei wird hier allein der Fall sog. isolierter Gleichgewichtslagen betrachtet, für die $\det\,\mathbf{A}\neq 0$ gilt.

Sind beispielsweise alle Eigenwerte mit verschwindendem Realteil einfach, so strebt die Lösung zwar nicht gegen null, bleibt aber für alle Zeiten endlich. Genauere Aussagen (s. z. B. [16, 8]) erhält man mit der Theorie der sog. Elementarteiler.

Ein Polynom N -ten Grades lässt sich stets in der Gestalt ( 5.39 ) schreiben.

In etwas anderer Schreibweise begegnet man diesem charakteristische Polynom auch in Abschn. 1.1.4, Gl. (1.45).

Auf mehrfache Wurzeln von (5.63) wird hier nicht eingegangen.

Obwohl richtungstreu, ist die zeitabhängige Kraft $F(t)$ nicht mehr konservativ, weil der Energiesatz i. Allg. nicht mehr gilt. Trotzdem kann sie wie im konservativ statischen Fall aus einem skalaren Potenzial hergeleitet werden. Verallgemeinernd nennt man derartige Kräfte monogenetisch.

Für einfache stationäre Punkte sind alle Elemente a _ik der Systemmatrix $\mathbf{A}$ der zugehörigen linearisierten Störungsgleichungen von null verschieden.

Im Falle nichtlinearer Störungsgleichungen liegt damit jedoch der kritische Fall vor, der ja bekanntlich nicht im Rahmen der linearisierten Störungsgleichungen entschieden werden kann. Besonders von Interesse ist natürlich gerade das Studium solcher sog. entarteten Singularitäten, zu denen beispielsweise auch nicht-einfache stationäre Punkte gehören (vor allem im mehrdimensionalen Fall).

Der Begriff besitzt in der Stabilitätstheorie und im Rahmen von Näherungsverfahren (s. Abschn. 6.2 und 6.3 ) unterschiedliche Bedeutung.

Nichtautonome Störungsgleichungen erfordern geringfügige Verallgemeinerungen sowohl bei den Definitheitseigenschaften als auch bei den darauf basierenden Stabilitätssätzen, wobei dann insbesondere der Begriff einer gleichmäßig kleinen Funktion eine Rolle spielt.

Meist gelingt es eben nur, (positiv definite) Funktionen V anzugeben, deren Ableitung in der Umgebung von $\Delta\mathbf{x=0}$ weder definit noch semidefinit ist.

Dieser Instabilitätssatz von Ljapunow kann nach Tschetajew dahingehend verallgemeinert werden, dass die Grundbewegung $\mathbf{x}_{0}$ auch dann instabil  ist, wenn $\dot{V}$ in der Umgebung $\Delta\mathbf{x=0}$ negativ definit ist und V für beliebig kleine $\Delta\mathbf{x}$ negative, beschränkte Werte annehmen kann.

Bei dem angenommenen Steifigkeitsverhältnis $\frac{c_{d}}{c\ell^{2}}=1$ ist offensichtlich f ₁ der kleinste Eigenwert. Dieser bestimmt die maßgebende Knicklast; damit kennzeichnet der zugehörige Eigenvektor $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ auch die auftretende Knickfigur.

Zieht man auch noch die Bedingungen (5.42) zu Rate, stellt man fest, dass sowohl ($r_{01},\varphi_{01}$) als auch ($r_{02},\varphi_{02}$) asymptotisch stabil sind.

Auf das i. d. R. nicht interessierende Anwachsen des zugehörigen Drehwinkels bei sämtlichen diskutierten stationären Lösungen sei hingewiesen.

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Title: Grundbegriffe der Stabilitätstheorie
Authors: Michael Riemer
Jörg Wauer
Walter Wedig
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik
Print ISBN: 978-3-658-07534-7

Electronic ISBN: 978-3-658-07535-4

Copyright Year: 2015
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-07535-4_5

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