Grundlagen der Halbleiterphysik

Halbleiterphysik ist ein bunt gemischter Cocktail aus allen möglichen Fachgebieten der Physik, wie Elektrostatik, Mechanik, Diffusion, statistischer Physik und manches mehr. Die Hauptzutat des Cocktails ist aber die Quantenmechanik, die man z. B. schon dazu braucht, um zu verstehen, warum es im Halbleiter so etwas wie ein Leitungsband und Valenzband gibt. Da es ohne Quantenmechanik also nicht geht, werfen wir zuerst einen Blick in die Geschichte der Physik, damit wir wissen, wo der ganze Quantenkram überhaupt herkommt. Beginnen wir also im Jahre 1700 und betrachten wir von da aus die zeitliche Entwicklung des Wissens über Atome und Elektronen:

1700: Kugelmodell für Atome von Dalton. Atome sind unteilbare Kugeln. Das mit den Kugeln war so falsch nicht, wie wir heute wissen, aber unteilbar war wohl ein leichter Irrtum.

1715: Newton entwickelte erstaunlicherweise eine Korpuskeltheorie für Licht (also Licht besteht aus Photonen). Das war eine wirklich geniale Idee zu seiner Zeit, aber leider damals noch zu modern und auch noch nicht nachweisbar. Was mich aber bisher gewundert hat, ist, wie der zu damaliger Zeit auf solch irre Ideen kam. Die Antwort ist einfach: Licht gab es damals schon. Man konnte auch schon damals von hier nach dort leuchten. Die Frage war also, woraus ein Lichtstrahl besteht. Da mangels brauchbarer optischer Geräte und der dazugehörenden Experimente niemand auf die Idee kam, dass Licht eine Welle sein könnte, sagte Newton, es müssen Korpuskeln sein. Das war schon recht visionär, muss man zugeben.

Diamonds are a girl’s best friend hat Marilyn Monroe vor langer Zeit einmal gesagt, aber die Zeiten haben sich geändert. Während damals in den 1950ern der männlichen Bevölkerung akuter Haarausfall drohte, wenn eine attraktive Dame wie die Marilyn das Wort Diamant in den Mund nahm (Abb. 2.1a), schaut das heute anders aus: Industriediamanten sind billig und von den ausgebuddelten nicht zu unterscheiden. Diamantschmuck ist also kein wirkliches Problem mehr. Männer mögen die Diamanten inzwischen auch, vor allem in Form von diamantbeschichteten Bohrern auf jeder Baustelle und Fabrikhalle, als biokompatible Substrate in der Medizin, für sensorische Zwecke in diversen Anwendungen (Abb. 2.1b) und in meinem Labor gibt es sie in Form von abriebfesten und sogar leitfähigen Sensoren für mein Rasterkraftmikroskop.

Naturwissenschaftler und Naturwissenschaftlerinnen waren schon immer flexibler als die liebe Marilyn und standen daher auch schon immer auf andere Kristalle. Nanostrukturierte Siliziumkristalle mit einem wundervoll leuchtenden, holographischen Gitter verpackt in einen schönen Ohrring aus Silber sind als Sponsionsgeschenk für eine liebe Kollegin schon in den späten 1980er Jahren gut angekommen. Falls Sie etwas exklusives für ihren Verlobungsring suchen, so empfehle ich Galliumnitrid, das glänzt so schön wie Diamant, kostet vermutlich aber 10–100 mal so viel. Hausaufgabe: Finden Sie heraus, woher Sie das bekommen könnten.

Beginnen wir mit einem Vergleich aus dem täglichen Leben: Sie gehen in den Biomarkt und kaufen 2 kg klassische Kartoffeln. Dann fahren Sie mit dem Fahrrad nach Hause, gehen in Ihre Küche, legen die Kartoffeln auf die Waage und stellen zufrieden fest: \(m=2\) kg. Jetzt kommt die quantenmechanische Version dieses Einkaufs: Sie nehmen einen Golddraht (das ist der Biomarkt mit den Kartoffeln), löten diesen auf einen Halbleiter und schütten dann 2 kg quantenmechanische Kartoffeln (Elektronen) per Stromfluss in den Halbleiter aus z. B. GaAs (der Halbleiter ist die Küche). Im Golddraht haben alle Elektronen die übliche Elektronenmasse \(m_{0}\). Im Halbleiter (Küche), so sagt die Waage, ist die Elektronenmasse (Kartoffelmasse) nur noch \(m=0.067\cdot m_{0}\). Ähhh, wie das? Kartoffeldiebstahl, Schädlingsbefall oder Antigravitation? Mitnichten, der Grund ist die Auswirkung der Bandstruktur auf die Elektronen im Kristall. Um dieses zu verstehen, fassen wir kurz unsere bisherigen Erkenntnisse bis zu diesem Punkt zusammen:Na gut, aber komplizierte Bandstrukturen sind nichts für das einfache Gemüt eines Experimentalisten und außerdem sind sie in ihrer rohen Form für die Berechnung irgendwelcher Dioden- oder Transistorkennlinien ziemlich unpraktisch. Aus diesem Grund wird in der Halbleiterphysik durch gnadenlose Analogiebildung zur klassischen Mechanik (deswegen heißt das ja auch Quantenmechanik) immer eine effektive Elektronenmasse verwendet, welche dann in allen Experimenten auch wirklich gemessen wird. In dieser effektiven Elektronenmasse stecken dann alle Auswirkungen der Bandstruktur des jeweiligen Halbleiterkristalls und man kann fröhlich so tun, als wäre der Halbleiter die perfekte Vakuumdose für freie Elektronen, die jetzt aber eine andere Masse haben und auch eine andere Dielektrizitätskonstante sehen. Merke: Die effektive Masse ist meist kleiner als die Masse des freien Elektrons.

In den bisherigen Betrachtungen haben wir immer angenommen, dass im ganzen Halbleiter immer nur ein einziges (!) freies Elektron existiert. Das ist kein Scherz, bisher gab es wirklich immer nur ein einziges Elektron in all unseren Betrachtungen, und wir haben trotzdem eine Menge gelernt. In einem richtigen Halbleiter kann man aber nur eher selten von so einer Situation ausgehen, und daher widmet sich dieses Kapitel den folgenden Fragen: Wie viele Energiezustände gibt es im Halbleiterkristall? Wie viele Elektronen sind dort überhaupt vorhanden? Und schließlich: Wie viele dieser Elektronen sind freie Elektronen und können zur Leitfähigkeit beitragen?

Um die Frage nach der Dichte der freien Elektronen im Halbleiterkristall beantworten zu können, nehmen wir zunächst einmal wieder an, dass die Elektronen im Halbleiter völlig freie Elektronen sind, die lediglich statt der Masse der freien Elektronen im Vakuum eben die oben eingeführte effektive Masse haben. Alles spiele sich im Leitungsband ab, Valenzbänder kennen wir derweil noch nicht. Dann nehmen wir an, dass Elektronen Fermionen sind, sprich, alle Elektronen seien absolut gleich, nicht unterscheidbar, und es darf sich an einem Ort bei einer Energie immer nur ein einziges Teilchen aufhalten. Den Spin der Elektronen vernachlässigen wir zunächst einmal fürs Erste. Irgendwelche Dotieratome gebe es zunächst auch nicht, alle freien Elektronen im Halbleiter-Leitungsband seien per thermischer Anregung irgendwie aus dem Valenzband gekommen, Details kommen weiter unten.

Ohne pn-Übergänge geht in der Elektronik gar nichts. Keine Dioden, keine Transistoren, keine regelbaren Kapazitäten, keine Solarzellen, keine Laser und, am allerschlimmsten, keine Mobiltelefone, keine Computer, keine freizeitorientierten Internetseiten und auch kein Counter-Strike und sonstige Ballerspiele (Hausaufgabe: Mailen Sie mir bitte, welches Computerspiel gerade besonders in ist, damit ich mein Buch up to date halten kann). Sich als Elektrotechniker oder Physiker etwas Halbwissen über den pn-Übergang anzueignen, ist also durchaus angebracht.

Mit dieser Motivation ist der ganze Halbleiterstatistikkram von weiter vorne plötzlich gar nicht mehr so langweilig und öde, denn er ermöglicht es uns z. B., auf einfache Weise die eingebaute Spannung (entspricht der Durchlassspannung) oder, genauer und auf Englisch gesagt, die built in voltage einer pn-Diode zu berechnen, und wie Sie später sehen werden, noch vieles mehr.

Wir lernen dazu zunächst etwas über die physikalischen Vorgänge bei der Bildung eines pn-Übergangs, denn dann werden wir verstehen, dass man damit einen durchstimmbaren Kondensator hat, der es noch dazu erlaubt, die Dotierung im Halbleiter zu bestimmen. Am Ende kümmern wir uns dann um das eine oder andere Transistorbauelement, welches man mit pn-Übergängen auf einfache Weise zusammenbasteln kann. Wichtig: Alles, was wir hier machen, ist klassische Elektrostatik, wir berechnen also noch keine Diodenkennlinien und kümmern uns an dieser Stelle schon gar nicht um den klassischen, diffusionsgetriebenen npn-Transistor.

In unseren bisherigen Betrachtungen waren die Elektronen ziemlich einsam und gelangweilt unterwegs. Es gab entweder nur ein einsames Elektron im Kristall, und wenn es mehrere gab, wollten die nichts miteinander zu tun haben und mit ihrer Umwelt schon mal gar nichts. In der Realität ist das natürlich nicht so. Elektronen interagieren durchaus kräftig mit ihrer Umgebung, mit anderen Teilchen und auch mit sich selbst. Alle diese Wechselwirkungen werden unter dem Begriff Streuprozesse zusammengefasst.

Streuprozesse jeder Art sind jedem Elektrotechniker allerdings ein absoluter Graus. Im Bauelement verschlechtern sie die Beweglichkeit der Elektronen und damit die Performance des Bauteils und am Ende auch noch den Highscore bei Counter-Strike und sonstigen Ballerspielchen. Noch dazu ist die theoretische Berechnung der Streuzeiten, Streuraten und der zugehörigen Beweglichkeiten extrem schwierig, und zwar so schwierig, dass es hier keinen Sinn macht, sich damit im Detail herumzuplagen.

Modellmäßig gesehen sind wir schon recht weit in diesem Buch. Wir haben einen Halbleiter, wir wissen wie viele Elektronen sich in welchen Bändern herumtreiben, wir haben inzwischen gelernt, dass die Elektronen gelegentlich Raufereien in ihrer Umgebung anzetteln, sonstwo anecken und dadurch Streuprozesse erleiden. Nur um eines haben wir uns bisher nicht gekümmert, nämlich den Stromfluss und dessen physikalische Ursachen. Dieses Kapitel widmet sich also der Frage, mit welchen Mechanismen die Elektronen zum Stromfluss beitragen, wie Leitfähigkeit und Widerstand entstehen, und was der Begriff der Beweglichkeit bedeutet. Wir gehen dazu vorerst rein klassisch vor und ignorieren jegliche Quantenmechanik soweit wie möglich. Quantenmechanische Ideen kommen dann später im Kapitel über die Boltzmann-Transportgleichung.

Der Halbleiterhorror nähert sich dem Höhepunkt, und das ist die Boltzmann-Transportgleichung. Warum müssen wir uns das antun? Die Antwort ist einfach, schuld ist das Institut für Mikroelektronik. Dort kümmert man sich um die Simulation der Kennlinien von Halbleiterbauelementen, und dort geht ohne Boltzmann-Gleichung rein gar nichts. Zukünftige Simulanten sollten jetzt also besser gut aufpassen, alle anderen sollten versuchen, zumindest die Ideen hinter den folgenden Formelwürsten zu verstehen.

Ok, ok, Schuldzuweisungen an die Nachbarinstitute sind immer gut, um die eigene Unfähigkeit zu kaschieren, ich gebe das ja sehr wohl zu. Die Boltzmann-Transportgleichung ist aber einfach die Schnittstelle zwischen dem klassischen Elektronentransport in der Halbleiterei und der Quantenmechanik, und genau darum kümmert sich das Institut für Mikroelektronik mit wirklich hoher Kompetenz. Wer dort seine Masterarbeit machen will, dem schaden ein paar primitive Grundlagen vorher sicher nicht.

Etwas weiter hinten im Text, im Abschnitt über die Diffusionsprozesse in Halbleitern (Kap. 10), hat man andauernd das Problem am Hals, dass Ladungsträgerpaare generiert werden oder diese rekombinieren. Sowohl die Generation als auch Rekombination von Ladungsträgern findet gerne auf optischem Wege statt, und deswegen müssen wir uns in diesem Kapitel ein wenig um optische Prozesse kümmern. Esoterisch ist das ganz und gar nicht, denn ohne optische Absorption gäbe es keine Solarzellen oder Photodetektoren und ohne optische Rekombination keine LEDs und natürlich auch keine Halbleiterlaser. Damit wäre unsere Welt ziemlich trostlos und finster, denn LED-Beleuchtung, Glasfaserkommunikation und das Internet gäbe es damit auch nicht.

Wie wir auch noch in diesem Kapitel sehen werden, verhalten sich direkte und indirekte Halbleiter bezüglich ihrer optischen Eigenschaften grundsätzlich anders. Direkte Halbleiter leuchten, indirekte Halbleiter eher nicht. Die Absorptionslängen in direkten Halbleitern sind kurz, dafür sind die Lebensdauern der optisch generierten Ladungsträger in indirekten Halbleitern hoch, was der Grund dafür ist, dass Siliziumsolarzellen heutzutage effizient und billig sind. All das ist weder gut noch schlecht, man muss einfach nur wissen, welches Material man für welchen Zweck verwenden will.

Diffusion sollte jeder aus der Schule kennen. Das klassische Experiment ist der Tropfen Farbe im Wasserglas, der sich im Laufe der Zeit verteilt, mindestens \(10^{6}\) urheberrechtlich geschützte Bilder dazu finden sich überall im Internet. Diffusion ist wirklich sehr praktisch, denn dadurch muss man seine Suppe nicht unbedingt umrühren, nachdem man sie gesalzen hat, und auch Chilipulver verteilt sich tadellos von selbst und vor allem schnell im Essen. Ohne Diffusion gäbe es auch keine Brennstoffzellen und kein alkoholfreies Bier. Diffusion hat manchmal aber auch Nachteile: Schokolade, selbst eingesperrt in einem Kühlschrank, verteilt sich durch Diffusion von selbst und noch dazu extrem schnell in der näheren Umgebung. Verdunstung und Schädlingsbefall durch Schokoschaben (praktisch in jedem Büro zu finden) führen dann zum Verlust dieses wertvollen Rohstoffs.

Das wichtigste Bauelement der Elektronik überhaupt ist der MOSFET (Metal-Oxide-Semiconductor-Field-Effect-Transistor), der auf praktisch jeder integrierten Schaltung in großen Mengen vorkommt. Der MOSFET lebt von den Eigenschaften einer dünnen Elektronenschicht unter einer Gate-Elektrode, die gerne als zweidimensionales Elektronengas bezeichnet wird. Einen schematischen Aufbau des MOSFET sieht man in Abb. 11.1. Die Fragen, die sich sofort stellen sind: Was ist der grundlegende Unterschied zwischen einem npn-Transistor und einem MOSFET und warum ist der MOSFET im Handy und in der Playstation besser? Die Antwort auf die Frage, wo ist der physikalische Unterschied ist, lautet: Der npn-Transistor ist ein diffusionsdominiertes Bauteil, und Feldströme spielen keine Rolle, wohingegen Diffusion im MOSFET nicht existiert und Feldströme die dominante Rolle spielen. Warum der MOSFET in der Playstation von Vorteil ist, erfahren Sie, wenn Sie ein wenig weiterlesen.

Na gut, also was sind Heterostrukturen, und wozu braucht man die? Mit Hilfe von modernen Kristallzuchttechniken wie der Molekularstrahlepitaxie (Molecular Beam Epitaxy, MBE) oder der metallorganischen Gasphasenepitaxie (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, MOCVD) ist es möglich, verschiedene Halbleitermaterialien in einkristalliner Form übereinander aufzuwachsen. Voraussetzung dafür ist es, dass die Materialien tunlichst eine ähnliche Gitterkonstante haben. Dies ist z. B. im System GaAs-AlGaAs der Fall, und es können problemlos Materialschichten mit beliebigen Mischungsverhältnissen übereinander hergestellt werden. Der Übergang zwischen den Schichten ist dabei normalerweise atomar scharf, eine Materialdurchmischung in einer Übergangszone zwischen den verschiedenen Schichten gibt es so gut wie nicht. Wer mehr über diese Herstellungsverfahren wissen möchte, sehe bitte bei Wikipedia nach. Der interessante Aspekt ist nun, dass wir auf diese Weise einkristalline Halbleitermaterialien mit unterschiedlichen physikalischen Parametern wie Größe der Energielücke und Größe der Elektronenaffinität übereinander aufwachsen können und damit in der Lage sind, die Form des Verlaufs der Leitungs- und Valenzbandkante senkrecht zur Wachstumsrichtung gezielt zu beeinflussen (Stichwort: bandstructure engineering). Die ersten Vorschläge zur Erzeugung von Übergittern durch periodische Modulation der Zusammensetzung von Halbleitern stammen von Esaki und Tsu 1970 und betrafen das GaAs-GaAlAs Materialsystem. Heute wird das gezielte Einstellen des Bandverlaufs im GaAs-GaAlAs Materialsystem besonders in optoelektronischen Bauelementen (Halbleiterlaser und Detektoren, Kamerachips für das tiefe Infrarot) in breitem Ausmaß ausgenutzt. Auch schnelle GaAs-AlGaAs Feldeffekttransistoren lassen sich herstellen, das Stichwort ist hier HEMT (High-Electron-Mobility-Transistor). Diese finden sich in praktisch jeder Satellitenschüssel und auch in fast allen Mobiltelefonen. Auf Silizium ist das Stichwort HBT (Hetero Bipolar Transistor). Hier wird gerne Germanium und neuerdings auch InAs in die Basisregion gemischt. Das bringt höhere Geschwindigkeiten und auch eine bessere Stromverstärkung. Einen guten Übersichtsartikel zu diesem Thema finden Sie bei Arthur 2002.

In der Halbleiterei hat man öfters einige Differentialgleichungen (DGLs) am Hals, die dann für diese oder jene Anwendung gebraucht oder manchmal auch missbraucht werden. Das Problem ist dann, dass der arme Elektrotechnikstudent und seine vielleicht zukünftige Freundin am Nachbartisch mangels Vorbildung im dritten Semester die Differentialgleichung weder verstehen, noch mit der speziellen Rechnung, die damit durchgezogen werden soll, irgend etwas anfangen können. Es kann also nicht schaden, sich einige dieser DGLs vorher, am besten gemeinsam, mal in Ruhe anzuschauen. Wie an vielen Stellen dieses Buches, bleiben wir dabei absichtlich wieder auf Biertischniveau und suchen eher die Übersicht über die Problematik und nicht ein Detailverständnis. Das Wichtigste vorweg: Man muss unbedingt einsehen, dass man als Elektrotechniker irgendwelche Differentialgleichungen fast niemals selbst lösen kann. Man braucht immer einen allgemeinen Lösungsansatz, den man sich beim Mathematiker holt. So ein Lösungsansatz besteht dabei immer aus unendlich vielen Lösungen, und Ihr Job ist es, sich die richtigen Lösungen über die Auswahl der Anfangs- oder Randbedingungen herauszupicken.