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2025 | Book

Grundzüge der Kategorientheorie

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About this book

Das Buch soll Mathematik-Studierenden eine Einführung in die Kategorientheorie geben. Nach einem einführenden Kapitel, in dem alle Grundbegriffe der Kategorientheorie definiert und erklärt werden, wird das Konzept der adjungierten Funktoren vorgestellt und gezeigt, was sie mit Lösungen universeller Probleme zu tun haben. Es folgt ein Kapitel über Limites, die sich als spezielle Adjunktionen entpuppen. In den letzten drei Kapiteln werden spezielle Kategorien vorstellt: Abelsche Kategorien, Monaden und elementare Topoi.

Die Produktfamilie WissensExpress bietet Ihnen Lehr- und Lernbücher in kompakter Form. Die Bücher liefern schnell und verständlich fundiertes Wissen.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Universelle Abbildungsprobleme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir eine Reihe von klassischen Konstruktionen vor, die jeweils bis auf Isomorphie die gleichen Objekte liefern. Isomorphismen sind dabei jeweils strukturverträgliche bijektive Abbildungen mit strukturverträglichen Inversen. Bei geordneten Mengen sind das isotone Abbildungen, bei Verbänden, Gruppen, Ringen, Moduln über einem Ring und Vektorräumen sind das die jeweiligen Isomorphismen; bei metrischen Räumen sind das Isometrien und bei topologischen Räumen bijektive stetige Abbildungen mit stetiger Umkehrabbildung.
Christian Maurer
Kapitel 2. Kategorien und Funktoren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel definieren wir die grundlegenden Begriffe dieses Buchs.
Christian Maurer
Kapitel 3. Adjungierte Funktoren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel zeigen wir, dass das gemeinsame Muster für die Konstruktionen aus dem ersten Kapitel zu gewissen Paaren von Funktoren zwischen zwei Kategorien führt, „adjungierten Funktoren“. Wir entwickeln dieses Konzept und zeigen diverse Beispiele.
Christian Maurer
Kapitel 4. Limites und Co
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschreiben wir die Konstruktionen aus den Abschn. 2.1.6 bis 2.1.11 durch Adjunktionen, entwickeln ein allgemeines Konzept für diese Konstruktionen und untersuchen, wann sie durch Funktoren bewahrt werden.
Christian Maurer
Kapitel 5. Abelsche Kategorien
Zusammenfassung
In diesem Kapitel führen wir die abelschen Kategorien ein – eine Abstraktion der Kategorie \({{{\underline{\boldsymbol{Mod}}}}}_A\) von Moduln über einem kommutativen Ring A und zeigen einige typische Eigenschaften dieser Kategorien.
Christian Maurer
Kapitel 6. Monaden
Zusammenfassung
In diesem Kapitel definieren wir Monaden und zeigen den Zusammenhang zwischen ihnen und Adjunktionen. Für Monaden M betrachten wir die zugehörigen M-Algebren.
Christian Maurer
Kapitel 7. Elementare Topoi
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir elementare Topoi vor, den Knüller, der von Lawvere und Tierney in der Sektion über Kategorientheorie beim mathematischen Weltkongress 1970 in Nizza vorgestellt wurde. Wir zeigen diverse Eigenschaften von Topoi, befassen uns mit Komma-Kategorien und logischen Aspekten in Topoi, betrachten Topologien auf Topoi und Garben für diese Topologien und definieren Funktoren zwischen Topoi.
Christian Maurer
Backmatter
Metadata
Title
Grundzüge der Kategorientheorie
Author
Christian Maurer
Copyright Year
2025
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-70987-0
Print ISBN
978-3-662-70986-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-70987-0

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