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2016 | OriginalPaper | Chapter

Historical Face of Number Theory(ists) at the Turn of the 19th Century

Author : Nicola Oswald

Published in: Diophantine Analysis

Publisher: Springer International Publishing

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Abstract

The contents of this course were developed simultaneously to the completion of my dissertation Oswald (Hurwitz’s Complex Continued Fractions, 2014, [36]), in which I combined elements from number theory and history of mathematics. On the basis of my research work I want to devote these notes to the idea of doing mathematics on the foundation and with a certain understanding of its historical background. We shall focus on two main topics: firstly, the interrelation of the three mathematicians Julius Hurwitz, Adolf Hurwitz, David Hilbert and, secondly, a complex continued fraction expansion which appears in the dissertation of Julius Hurwitz from 1895 Hurwitz (Ueber eine besondere Art der Kettenbruchent-wicklung complexer Grössen, Dissertation, University of Halle, 1895, [30]) as well as its modern reappearance in a paper of Shigeru Tanaka from 1985 Tanaka (A complex continued fraction transformation and its ergodic properties. Tokyo J Math 8:191–214, 1985, [46]).

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Appendix
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Footnotes
1
“Ueber eine besondere Art der Kettenbruch-Entwickelung complexer Grössen”.
 
2
At that time this was a new kind of highschool with a focus on mathematics and natural sciences.
 
3
“Max und Julius mussten sich, nach Absolvierung der Ober-Secunda, dem Kaufmannsstand widmen. Sowohl die pekunäre Lage, wie auch die Zukunftspläne des Vaters für seine Söhne liessen einen gelehrten Beruf gar nicht in Frage kommen.”
 
4
For a more detailed biography see [38].
 
5
Side remark: Nordhausen was also the place where the first congress of vegetarians had taken place in 1869.
 
6
Archive of Halle University, Rep. 21 Nr. 162.
 
7
“von Dr. Hilbert durchgesehen u. mit eigenhändigen Randbemerkungen versehen.”, archive ETH, HS 582: 154.
 
8
For more information see [43, 44].
 
10
“Hurwitz hat seit seiner Habilitation 1882 in ununterbrochenender Regelmäßigkeit von allem, was ihn wissenschaftlich beschäftigte, Aufzeichnungen gemacht und auf diese Weise eine Serie von 31 Tagebüchern hinterlassen, die ein getreues Bild seiner beständig fortschreitenden Entwicklung geben und zugleich eine reiche Fundgrube für interessante und zur weiteren Bearbeitung geeignete Gedanken und Probleme sind.”
 
11
“Die Arbeit schliesst sich, nach Ziel und Methode, eng an die nachstehend genannten zwei Abhandlungen des Herrn A. Hurwitz an, dem ich auch die Anregung zu dieser Untersuchung verdanke.”
 
12
“Die complexe Zahlenebene werde durch die Geraden \(x+y=v, x-y=v\), wo ? alle positiven und negativen ungeraden ganzen Zahlen durchläuft, in unendlich viele Quadrate eingeteilt. Die Mittelpunkte dieser Quadrate werden durch die durch 1+i teilbaren ganzen complexen Zahlen besetzt. Wenn nun x eine beliebige complexe Zahl ist, so bilde man die Gleichungskette:
$$ (1)\qquad \qquad x=a-{1\over x_1},\qquad x_1=a_1-{1\over x_2},\quad \ldots ,\quad x_n=a_n-{1\over x_{n+1}},\quad \ldots $$
nach der Massgabe, dass allgemein \(a_i\) den Mittelpunkt desjenigen Quadrates bezeichnet, in welches der Punkt \(x_i\) hineinfällt. Dabei sind noch bezüglich des Falles, wo \(x_i\) auf den Rand eines Quadrates fällt, besondere Festsetzungen getroffen, die wir der Kürze halber übergehen. Durch die Gleichungskette (1) wird nun für x eine bestimmte Kettenbruchentwickelung \(x=(a,a_1,\ldots ,a_n,x_{n+1})\) gegeben, deren nähere Untersuchung der Gegenstand der Arbeit ist.”
 
13
“Sein freundliches und offenes Wesen gewann ihm, als er nach Königsberg kam, rasch die Herzen aller, die ihn dort kennenlernten [...]”.
 
14
With the exception of one year, 1881, at the University of Heidelberg (see [40]).
 
15
In particular concerning both faces of complex analysis [3, p. 390].
 
16
“Hier wurde ich, damals noch Student, bald von Hurwitz zu wissenschaftlichem Verkehr herangezogen und hatte das Glück, durch das Zusammensein mit ihm in der mühelosesten und interessantesten Art die Gedankenrichtungen der beiden sich damals gegenüberstehenden und doch einander so vortrefflich ergänzenden Schulen, der geometrischen Schule von Klein und der algebraisch-analytischen Berliner Schule kennenzulernen. [...] Auf zahllosen, zeitweise Tag für Tag unternommenen Spaziergängen haben wir damals während acht Jahren wohl alle Winkel mathematischen Wissens durchstöbert, und Hurwitz mit seinen ebenso ausgedehnten und vielseitigen wie festbegründeten und wohlgeordneten Kenntnissen war uns dabei immer der Führer.”
 
17
Hilbert’s first doctoral student (in 1898).
 
18
“Wir, Minkowski und ich, waren ganz erschlagen von seinem Wissen und glaubten nicht, dass wir es jemals so weit bringen würden.”
 
19
“In den Übungen war er ständig darauf bedacht, durch anregende Aufgaben zur Mitarbeit heranzuziehen, und es war charakteristisch, wie oft man ihn in seinen Gedanken auf der Suche nach geeigneten Aufgaben und Problemstellungen für Schüler antraf.”
 
20
“Anregungen vermittelten das Mathematische Kolloquium [...], vor allem aber die Spaziergänge mit Hurwitz “nachmittags präzise 5 Uhr nach dem Apfelbaum””.
 
21
In view of the growth of the mathematical community and its insights around the turn to the twentieth century, Hilbert and Henri Poincaré are said to be the last knowing almost everything about the whole developments in mathematics.
 
22
“gewöhnte sich daran, ein berühmter Mann zu sein”.
 
23
“Mied jedes persönliche Hervortreten im akademischen und öffentlichen Leben”.
 
24
“Es soll schon hier vorgreifend über das selten harmonische und fruchtbare Zusammenarbeiten dieser drei Mathematiker berichtet werden.”
 
25
From 1888 IV. to 1889 XI.
 
26
“Der Nöther’sche Satz (nach einer Mitteilung von Hilbert)”.
 
27
“Hilberts Fundamentalsatz”.
 
28
“On generating invariants by integration.”
 
29
“Neues Erzeugungsprinzip für algebraische Invarianten, das es ihm ermöglicht, ein [von Hilbert] eingeschlagenes Verfahren [...] anzuwenden.”
 
30
From 1896 I.1. to 1897 II.1.
 
31
We may assume that Hurwitz had meant “algebraic” instead of “finite”.
 
32
“daß eine gewisse, eine Anzahl Parameter enthaltende irreduzible ternäre Form auch für allgemeine ganzzahlige Werte dieser Parameter irreduzibel bleibt.”
 
33
In the German system habilitation granted the “venia legendi”, i.e., the permission to lecture as Privatdozent which at that time meant to collectcourse fees from the students without any payment from the university.
 
34
“Einer nahm den Kroneckersches Beweis für die eindeutige Zerlegung in Primideale vor, der andere den Dedekindschen, und beide fanden wir scheußlich.”
 
35
“Two new proofs of the decomposability of numbers of a number field in prime ideals”, given in September 1893 at the meeting of the “Deutsche Mathematiker Vereinigung” in Munich.
 
36
“The Euclidean division theorem in a finite algebraic number field.”.
 
37
“bemerkenswert durch die Analogie mit dem Euklidischen Algorithmus in der elementaren Zahlentheorie”.
 
38
Actually Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, report of algebraic number theory.
 
39
From 1897 II.1. to 1898 III.19.
 
40
From 1898 III.20. to 1899 II.23.
 
41
“Zu Hilbert’s “Körperbericht””.
 
42
Hilbert characterized with his symbol so-called “Normenreste” respectively “Normennichtreste” [20, vl. I, p. 164] of a number field. Today the symbol is known as “Hilbert symbol”.
 
43
“Es gilt nun der Satz
$$\left( \frac{n\cdot N(\alpha ),m}{\omega }\right) = \left( \frac{n,m}{\omega }\right) ,$$
wenn \(\alpha \) eine beliebige ganze Zahl im Körper \((\sqrt{m})\).”
 
44
We may assume that an algebraic number field \(K(\sqrt{m})\) was meant here.
 
45
“Hierfür fehlt Hilbert der Beweis.”
 
46
From 1901 XI.1. to 1904 III.16.
 
47
Due to inspirations of various mathematicians his attitude was in a steadily evolvement. For more information we refer to [47].
 
48
From 1906 II.1. to 1906 XII.8.
 
49
“D. Hilbert (Integralgl. V. Gött. Nachr. 1906)”.
 
50
Hilbert’s term “Kern” became internationally used, in English it was transformed to “kernel”.
 
51
“Segments”, “convolution”, “eigenvalue”, “spectrum”, “resolvent”.
 
52
“Die Werte [...] sind wesentlich durch den Kern (s,t) bestimmt; ich habe sie Eigenwerte bez. Eigenfunktionen [...] genannt.” In English these objects are now called eigenvalues and eigenfunctions.
 
53
Which was published three years later in 1910.
 
54
From 1900 XII. to 1901 X.
 
55
“mit seiner Theorie der Kugelfunktionen [...], hatte aber nur einen Teilerfolg erzielt. Hilbert, im Besitze der mächtigen Hilfsmittel der Integralgleichungen, ersetzt die Kugelfunktionen durch allgemeinere, und kommt durch.”
 
56
Firstly, it is remarkable that Hurwitz, studying Hilbert’s supplements, did not apply the integral equation method. Secondly, notice that Hilbert’s dissertation thesis was about spherical functions. Interestingly, the thesis is dedicated to Hurwitz.
 
57
“Ist die n-te Potenz von \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\) identisch gleich einer Summe (2n)-ter Potenzen linearer rationaler Formen der \(x_1, x_2, x_3, x_4\), und gilt die Waringsche Behauptung für n, so gilt sie auch für 2n.”
 
58
“Dieser Satz gab Hilbert die Anregung und Richtung zu seinen Untersuchungen. Er fand nämlich einen ungeahnten Weg, um für beliebige n eine Identität der von Hurwitz geforderten Art aufzustellen.”
 
59
“aus einem allgemeinen Prinzip, das Hurwitz 1897 in der Invariantentheorie benutzt hatte, eine Formel [...]”.
 
60
“den durch die Integration geforderten Grenzübergang in die Koeffizienten der Summe zu verlegen und schließlich durch einen weiteren Kunstgriff diese Koeffizienten durch positive rationale zu ersetzen. Damit ist die Grundlage für den Beweis des Waringschen Satzes gelegt.”
 
61
“Denn er kämpfte zusammen mit einem Meister von dem hohem Range Hurwitz’s und siegte mit den Waffen aus Hurwitz’s Rüstkammer an einem Punkte, wo dieser keine Aussicht auf Erfolg gesehen hatte.”
 
62
“[...] gern bereit zur Anerkennung der Leistungen anderer und von aufrichtiger Freude erfüllt über jeden wissenschaftlichen Fortschritt an sich: ein Idealist im guten altmodischen Sinne des Wortes.”
 
63
Under the directory HS 583: 52,53 and 57.
 
64
“Herzliche Grüße sendend, gute Erholung wünschend und baldiges Wiedersehen auf länger, wie das letzte Mal erhoffend. Hilbert”.
 
65
Under the directory HS 582: 154.
 
66
Which is stored in the archive of Göttingen.
 
67
In HS 582: 32.
 
68
“die ersten 9 Bände und Inhaltsverzeichnis sind zwecks Bearbeitung vorderhand bei Prof. Hilbert in Göttingen”.
 
69
Under the directory HS 583: 28.
 
70
“Angelegenheit der Herausgabe der Abhandlungen von Hurwitz [ist] unsere wichtigste Sorge”.
 
71
Pólya himself remembered, “I played a large role in editing his collected works.” [39, p. 25].
 
72
“Die Verhandlungen könnte ich durch einen hiesigen sehr gewandten math. Kollegen mündlich mit Springer führen lassen.”
 
73
Probably, Hilbert meant Richard Courant, his former student and at that time professor in Göttingen, with whom he had created the “Gelbe Buchreihe” with publisher Springer.
 
74
For a comprehensive version see [7].
 
75
Once more we refer to [7, p. 20].
 
76
Discovered by Carl Friedrich Gauss.
 
77
In [46] a more exact, more finely, tiling of X resp. Y was given on behalf of sets U and V. For our needs, it is sufficient to consider the whole sets X and Y.
 
Literature
1.
2.
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W. Burau, B. Renschuch, Ergänzungen zur Biographie von Hermann Schubert. Mitt. Math. Ges. Hamb. 13, 63–65 (1993)MathSciNetMATH
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D. Hilbert, Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Sechste Mitteilung. Gött. Nachr. 1910, 355–417 (1910)
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M. Riesz, Acta mathematica, 1882-1912. Table générale des tomes 1–35 (Almqvist and Wiksells, Uppsala, 1913)
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H. von Mangoldt, Briefe von Hans von Mangoldt an Adolf Hurwitz. Correspondence of Adolf Hurwitz, Cod Ms Math Arch 78, letter 124, Niedersächsische tSaats- und Universitätsbibliothek Göttingen (1884)
49.
A. Wangerin, Gutachten Julius Hurwitz. Universitätsarchiv Halle, Rep. 21 Nr. 162 (1895)
Metadata
Title
Historical Face of Number Theory(ists) at the Turn of the 19th Century
Author
Nicola Oswald
Copyright Year
2016
Book
Diophantine Analysis

Print ISBN: 978-3-319-48816-5

Electronic ISBN: 978-3-319-48817-2

Copyright Year: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-48817-2_4

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