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2018 | OriginalPaper | Chapter

2. Inhaltsbereiche des Mathematikunterrichts

Author : Günter Krauthausen

Published in: Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Das folgende Kapitel behandelt nun also die Inhalte, wobei deren didaktische Zielrichtung natürlich im Vordergrund steht. Die Aufklärung der fachlichen Grundlagen eines Unterrichts versetzt Lehrpersonen erst in die Lage, gehaltvolle Lernumgebungen sachgerecht zu konzipieren und auszuschöpfen sowie die nicht selten recht kreativen und für Erwachsene nicht immer unmittelbar einleuchtenden Beiträge der Schülerinnen und Schüler (vgl. Selter und Spiegel 1997) zu verstehen, einzuordnen und für die ganze Lerngruppe fruchtbar zu machen. Damit soll zu strukturgenetischen didaktischen Analysen (vgl. Wittmann 2015) bei der Unterrichtsplanung und für die Lehrerausbildung angeregt werden, welche »die Genese des Wissens im Verlauf der Schulzeit und Lernprozesse unter Bezug auf unterschiedliche Lernvoraussetzungen« (Wittmann 2015, S. 250; Hervorh. im Orig.) in den Vordergrund stellen.

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Footnotes
1
Auf Entsprechungen zu den Leitideen der Bildungsstandards wird jeweils eingangs verwiesen, wobei die Konkretisierung nur bis zur 1. Ebene ausgewiesen wird (für weitere s. KMK 2005a).
 
2
Vgl. dazu aber die grundschulgemäße Praxis für eine Vorzeichenumkehrung in der Klammer bei einem Minuszeichen vor der Klammer in Abb. 4.​23, Abschn. 4.​7.​4!
 
3
Die Fachbegriffe ›Zahlbereich‹ und ›Zahlenraum‹ werden nicht selten verwechselt, sollten aber der begrifflichen Klarheit wegen auseinandergehalten werden, da sie in der Tat ganz Unterschiedliches bedeuten!
 
4
In dieser Trivialisierung – sowohl der Sache als auch der eigentlichen Anforderungen und Schwierigkeiten des Mathematiklernens wie ‐lehrens – liegt, sofern sie gar von (angehenden) Lehrerinnen selbst adaptiert und vertreten wird, die Ursache für manche Probleme des mathematischen Anfangsunterrichts.
 
5
Beobachten Sie einmal Grundschulkinder daraufhin!
 
6
V = Vierer, VV = Vierer‐Vierer, VVV = Vierer‐Vierer‐Vierer, …
 
7
Das bedeutet nicht, dass Grundschulkinder dazu nicht in der Lage wären, wie ein Unterrichtsversuch zeigte, in dessen Rahmen Grundschulkinder Zahlnotationen und ‐vergleiche innerhalb und zwischen dem 3er‑, 4er‐ und 5er‐System vornahmen (vgl. Krauthausen 1985).
 
8
Für die Lehrerbildung ist es aber ein ausgesprochen sinnvolles Erfahrungsfeld; vgl. Ende dieses Abschnitts.
 
9
Hier wird leider häufig statt des Stellenwertprinzips bzw. der Stellentafel die fatale »Fehlstrategie« angewandt (Steinbring 1997a, S. 287): ›Das Komma trennt Euro und Cent‹ (vgl. Abschn. 2.3.5).
 
10
Für eine Begriffsbildung wäre es ja notwendig, von irrelevanten Aspekten, die für den Begriff also nicht konstituierend sind (wie die Basis für ein ›Stellenwertsystem‹ oder die Farbe/Lage für ein ›Quadrat‹), absehen und auch entsprechende Variationen handhaben zu können.
 
11
Im Rahmen der Beschäftigung mit halbschriftlichen Strategien (Abschn. 2.1.7) kann es erneut eine wertvolle Selbsterfahrung bedeuten, auch die dort beschriebenen Hauptstrategien in einem nichtdezimalen Stellenwertsystem zu denken und durchzuführen.
 
12
Es handelt sich zwar um die multiplikative Schreibweise, gleichwohl aber um eine Division.
 
13
Zum Aspekt der Verfremdung als sinnvolle Methode für die Lehrerbildung und ein entsprechendes Beispiel zur Einspluseinstafel vgl. auch Gellert (2000).
 
14
Grundsätzlich können die meisten der hier oder auch in der Literatur vorgeschlagenen Übungen ebenfalls mit anderen isomorphen, also strukturgleichen Materialien durchgeführt werden. Zur Auswahl und spezifischen Eignung alternativer Arbeitsmittel vgl. Abschn. 4.​7.
 
15
1. Faktor = Anzahl der Zeilen; 2. Faktor = Anzahl der Spalten (Objekte einer Zeile).
 
16
Es geht also hier weniger um Realitätsnähe, sondern um ein Verständnis der Modellvorstellung des kartesischen Produktes bzw. kombinatorischer Fragestellungen. Manchmal kann ein abstrakt‐struktureller Zugang einem allzu realistisch‐alltagsnahen überlegen sein, und das (entgegen mancher Erwartungen) auch und gerade bei Kindern mit Lernschwierigkeiten (vgl. Hasemann und Stern 2002 sowie Abschn. 5.​1).
 
17
In den Schulen wird heute nur noch der Doppelpunkt (:) benutzt – außer im englischen Sprachraum; dort findet man i. d. R. das auch auf den meisten Taschenrechnern verbreitete Zeichen mit dem mittigen Querstrich (÷).
 
18
Die große Bedeutung des Verdoppelns und Halbierens spiegelt sich nicht zuletzt darin wider, dass beide in früheren Zeiten eigenständige Grundrechenarten neben den uns heute bekannten (Addition/Subtraktion/Multiplikation/Division) waren.
 
19
Auf der anderen Seite wäre es hilfreich, wenn Autoren auch die Bezüge zu jenen Materialien, Darstellungen oder Vorgehensweisen häufiger explizieren würden, die ihren eigenen Vorschlägen im genannten Sinne ähneln. Nicht selten liegt eine mehr oder weniger andersartige Darstellung auch einfach in Fragen des Copyrights begründet.
 
20
»Nur der lernt vorteilhaft rechnen, der diesen Zahlenblick entwickelt« (Menninger 1992, S. 18; Hervorh. i. Orig.).
 
21
Das ist natürlich eine gedankliche Hilfskonstruktion, die sich nur mental, nicht aber direkt mit konkretem Material vollziehen lässt. Ein Beispiel dafür, dass es nicht nur auf das Handeln als konkretes Tun ankommt (es gibt auch ›blindes‹ Handeln), sondern auf die Verinnerlichung von Handlungen zu Vorstellungen (vgl. Aebli 1985).
 
22
Auf die spezifischen Bedingungen, die gegeben sein müssen, wenn man in N o arbeitet, wird hier nicht eingegangen.
 
23
Vgl. das sogenannte Mini‐Einmaleins (Aufgaben von 1 · 1 bis 5 · 5), das bereits Ende des 1. Schuljahres thematisiert werden kann (vgl. Tab. 2.6 in Abschn. 2.1.7, 10. Blitzrechnen‐Übung).
 
24
Die Gottschalks, Pilawas und Jauchs der Fernsehlandschaft führen das immer wieder vor; nur ein Beispiel unter vielen: »John Kennedy jr. wurde im November 1995 in einer Talkshow von dem bekannten Journalisten Larry King interviewt. ›Wie alt wäre Ihr Vater jetzt eigentlich?‹ fragte King. John jr.: ›Uh, er ist 1917 geboren, also wäre er jetzt … uh … uh … naja …Im Subtrahieren war ich noch nie besonders gut.‹ Daraufhin sagte King ebenfalls, dass er die Aufgabe 95 − 17 nicht lösen könne – vielleicht aus purer Höflichkeit« (Treffers und de Moor 1996, S. 17).
 
25
Für die (auch schulbuchunabhängige) unterrichtliche Umsetzung wurde eine Karteikarten‐Variante entwickelt (Basiskurs Zahlen; Wittmann und Müller 2006). Für die digitale Nutzung in der Automatisierungsphase gibt es neben einer CD‐ROM‐Version (Wittmann und Müller 2007a/b) inzwischen auch entsprechende Apps für iOS‐ und Android‐Smartphones bzw. ‐Tablets (Wittmann und Müller 2016b).
 
26
Natürlich ist auch damit allein noch keine Handlungskompetenz oder Performanz zu erzielen, sodass Sie jede Gelegenheit nutzen sollten, eine entsprechende Geläufigkeit und Flexibilität im Gebrauch der Strategien zu erwerben.
 
27
Die schriftliche Multiplikation war noch nicht eingeführt, und Erfahrungen mit einer Vielfalt an halbschriftlichen Strategien lagen in dieser Klasse auch nicht vor.
 
28
Auch digitale Versionen (Tablet‐Apps) sind erhältlich (z. B. MLC 2015; Ventura 2012a). Diese sind aber als lediglich digitalisierte Pendants nicht unbedingt dasselbe: Die Digitalisierung bringt u. U. neue Optionen oder andere Handlungsweisen mit sich, die man als ›Mehrwert‹ betrachten kann, die aber nicht zwingend auf den gleichen fachlichen/fachdidaktischen Ideen oder Konzepten beruhen (am analogen Geobrett kann man ein gespanntes Dreieck nicht in gleicher Weise drehen oder spiegeln). Hier ist also jeweils eine differenzierte Analyse und Bewertung erforderlich.
 
29
Handelsübliche transparente und damit für den OHP geeignete Plastikversionen des Geobrettes haben diese Buchstaben u. U. bereits aufgedruckt. Bei einer digitalen App können sie wahlweise ein‐ oder ausgeblendet werden.
 
30
Dass es sich hierbei nicht um eine Trivialität handelt, lässt sich u. a. daran ersehen, dass auch nicht wenige Studierende häufiger die Begriffe horizontal und vertikal verwechseln (ebenso wie die Begriffe Zeile, Spalte, Diagonale – z. B. bei Beschreibungen an der Einmaleinstafel).
 
31
Unter der Maßgabe, dass es sich um wesentlich verschiedene Dreiecke handeln soll, dürften seine abgebildeten vier Dreiecke natürlich nur als eines gezählt werden, da ›wesentlich‹ verschieden meint: dem Wesen nach anders. Demnach würden alle durch Drehung, Spiegelung oder Verschiebung erzeugten Dreiecke als gleich gelten.
 
32
Zur Herstellung der Platonischen Körper bieten sich verschiedene, auch für Grundschulkinder geeignete Möglichkeiten und Materialien an, z. B. das Effektsystem (Maier 1999; Haupt 2014).
 
33
Platonische Körper sind Polyeder (Vielflächner) mit Seitenflächen aus regelmäßigen n‐Ecken gleichen Typs und gleicher Größe (regelmäßige oder reguläre Polyeder). Werden zwei verschiedene Arten von regelmäßigen n‐Ecken als Seitenflächen zugelassen, dann handelt es sich um halbreguläre oder archimedische Polyeder, wobei das wohl bekannteste Beispiel der sogenannte Europa‐Fußball ist (bestehend aus 12 regulären Fünfecken und 20 regulären Sechsecken; vgl. Gerecke 1984; Haupt 2014; Herfort 1986; Ludwig 2014; Wittmann 1987; Beutelspacher 1996, S. 71 ff., wo sich auch ein entsprechender Bastelbogen findet).
 
34
Eine Figur ist dann konvex, wenn für je zwei beliebig anzunehmende Punkte der Figur auch alle Punkte ihrer kürzesten Verbindungslinie Element der Figur sind. Anders ausgedrückt: Ein konvexes Vieleck kann man auf jede seiner Seiten stellen, einen konvexen Polyeder auf jede seiner Seitenflächen (es gibt also keine einspringenden Ecken wie etwa bei dem oberen roten Dreieck in Abb. 1.​4). Für einen grundschulgemäßen Zugang zum Begriff der Konvexität vgl. Müller und Wittmann (1984, S. 99–105).
 
35
Die Methode mag sehr aufwendig anmuten, gleichwohl gibt es im Grunde keine Alternative, denn bis heute ist keine allgemeine Formel bekannt, mit deren Hilfe man für beliebige n‐linge (n‐ominos) durch Einsetzen von n ihre Anzahl berechnen könnte. Die hier gesuchte Anzahl der Sechslinge ist aber noch recht überschaubar (zur Orientierung: Die korrekte Anzahl liegt zwischen 30 und 40.).
 
36
Mögliche Wege in diesem Netz laufen über die schwarzen Linien, also nicht diagonal.
 
37
Stichwort: Pascal’sches Dreieck (vgl. Enzensberger 1997; Gerdiken 2000; Jäger 1985; Schönwald 1986; Schupp 1985; Selter 1985).
 
38
Wer mag, wird auch mit dem Suchbegriff Tangram in einschlägigen App Stores zahlreiche digitale Varianten für Tablets finden – je nach Einsatzort möglicherweise hilfreich (vgl. Becker 2017); das eigenhändige Herstellen der Formen sollte dadurch aber nicht ersetzt werden, da es in vielerlei Hinsicht einen Eigenwert besitzt und wertvolle Lernchancen bereithält.
 
39
Vgl. Fußnote 34.
 
40
S. o. zur 4. Grundidee ›Auslegen von Flächen mit Teilflächen‹ (Abb. 2.34).
 
41
Selbst der sogenannte Präzisionswürfel (perfect dice), der in Spielcasinos zum Einsatz kommt und dessen Ecken deutlich weniger abgerundet sind als bei einem ›normalen‹ Spielwürfel, ist kein geometrisch idealer Würfel. Dies und sehr viel mehr Spannendes (auch für den Unterricht) rund um den Würfel findet sich bei Vogt 2012.
 
42
In der Umwelt entspricht kein Objekt wirklich den mathematischen Begriffsdefinitionen, was ja auch in diesen Zusammenhängen gar nicht von Bedeutung ist. Ein jeder wird die beiden äußeren Verkehrszeichen in der 1. Reihe von Abb. 2.40 auch trotz der abgerundeten Ecken als ›Dreieck‹ benennen und akzeptieren können. Lässt man Kinder geometrische Formen in der Umwelt aufsuchen – eine Standardaktivität in diesem Zusammenhang –, dann sollten solche Aspekte aber durchaus in Betracht gezogen werden.
 
43
Die Testpiloten äußerten sich enthusiastisch über das Flugverhalten: »Ich habe keine Ahnung, wie ein so ungefüges Flugzeug so gefügig fliegen kann. […] Ob mit einem oder zwei Motoren – es fliegt immer geradeaus« (Testpilot Mike Melvill in DER SPIEGEL 13/1997, S. 196).
 
44
Er wird hier wie an anderen Stellen nicht zuletzt auch deshalb zitiert, weil er in der Vergangenheit wegweisend war und »dank Heinrich Winter schon 1985 die Forderungen realisiert hat, die heute aus den Ergebnissen von TIMSS gezogen worden sind« (Wittmann 1999a, S. 3).
 
45
Der Abschn. 4.​3 wird auf mögliche Schwierigkeiten beim Lösen solcher Aufgaben noch eingehen.
 
46
In der Literatur finden sich, je nach Erkenntnisinteresse, vereinfachte, aber auch differenziertere Varianten des Modellbildungskreislaufs. Welches man auch zugrunde legt: Oftmals wird der Prozess von Schülerinnen und Schülern nicht vollständig durchlaufen. Sie sind bspw. vorrangig auf das Finden/Lösen einer Rechnung fixiert. Dies zeigt sich insbesondere beim mechanischen Bearbeiten von sogenannten Kapitänsaufgaben (Kapitänssyndrom; vgl. Hollenstein 1996a). Hollenstein und Eggenberg (1998, S. 120) nennen diesen unvollständigen Modellbildungsprozess »kurzgeschlossenes Schema«.
 
47
Man beachte: Eine vorschnelle ›rechnerische‹ Abarbeitung ohne adäquate Berücksichtigung der Modellierung kann sogar zu falschen Ergebnissen führen: 8 − 1 → 7 Tage; 31 − 23 → 8 Tage, also zusammen 15 Tage (vgl. hierzu Spiegel 1989).
 
48
Im Unterricht wird man natürlich auf aktuelle Ferienpläne zurückgreifen und die Kinder prüfen lassen, wie üblicherweise Ferienanfang und ‐ende angegeben werden, wenn ein Wochenende Start‐ oder Endpunkt ist.
 
49
Solche Darstellungen sollen den Kindern natürlich nicht isoliert vorgelegt werden; sie wollen zu einer handlungsorientierten Einführung anregen, z. B. über Nachspielen der Situation. Denn es scheint doch »weitverbreitete Praxis […], die Bilder in Schulbüchern nur anzusehen und über sie zu sprechen, statt sie als Anregungen für konkrete Handlungen der Kinder zu nehmen. […] Das Wechselspiel zwischen Handlung, Bild und Symbol ist für den Lernprozess konstitutiv. Allerdings darf dieser Prozess weder als Einbahnstraße von der Handlung über das Bild zum Symbol gesehen werden, noch reicht ein einmaliger Durchlauf aus« (Radatz et al. 1996, S. 62 f.).
 
50
Das schließt nicht aus, dass die Kinder im Alltag die gleiche Situation möglicherweise problemlos bewältigen (zur ›Straßenmathematik‹ vgl. Nuñes 1993).
 
51
An dieser Stelle sei deutlich angemerkt, dass allein die Verwendung realistischen Materials ohne Beachtung der Frage, ob die zu bearbeitenden Problemstellungen überhaupt sinnvoll sind, sicherlich noch keine gute Sachrechenpraxis darstellt.
 
52
Ein Leser hat seinerzeit nach Erscheinen der 3. Auflage in einer Mail seiner Verwunderung darüber Ausdruck gegeben, dass in der Tabelle unter der Überschrift ›Vergleich verschiedener Säugetiere‹ die Riesenschildkröte aufgeführt sei. »Meine Befürchtung war, dass irgendein junger motivierter Lehramtsstudent die Tabelle tatsächlich als Vorlage nimmt und dann anschließend dem fragenden Kind wirklich erklärt, dass es säugende Schildkröten gibt. ;‐)« (Christian S. aus Vlotho). Der Hinweis auf diesen Fehler in der Tabelle ist natürlich vollkommen berechtigt – vielen Dank dafür! –, er findet sich so aber leider im Original, das hier zitiert wird und dann auch [sic!] wiedergegeben werden muss. Möge also diese Fußnote der formulierten Befürchtung entgegenwirken.
 
53
Eine gute Datensammlung zu derartigen Fragestellungen bieten Flindt 2000 (Daten über Tiere und Pflanzen) sowie Kunsch und Kunsch 2000 (Daten über den Menschen), vgl. auch Hack und Ruwisch (2004). Und gewiss hält auch Google zahllose derartige Informationen bereit.
 
54
Vgl. zu sachstrukturierten und/oder auch immanenten Übungen die Übungssystematik bei Wittmann (1992) bzw. in Abschn. 3.​1.​2.
 
55
Man sollte allerdings nicht davon ausgehen, dass Lehrerinnen und Lehrer während ihrer alltäglichen Unterrichtspraxis regelmäßig eigene Sachtexte erstellen könnten. Die Studierenden haben im Rahmen dieser Veranstaltung sehr viel Zeit und Mühen aufgewendet. Auf der anderen Seite sind die Erfahrungen mit einer solchen Aktivität bezogen auf ein angemessenes Schwierigkeitsniveau der Texte sowie die Interessen und vermuteten Lernprozesse der Kinder durchaus lohnenswert, was die Studierenden auch ausdrücklich betonten.
 
56
Weitere Beispiele u. a. in Franke 1995/1996; Igl und Senftleben 1999; Müller und Wittmann 1984, S. 115 ff.
 
57
Zu historischen Maßen vgl. bspw. Kurzweil 1999; Seleschnikow 1981; Wesseling 2010; Winter 1986a.
 
58
Die Temperatur hat in der Grundschule keinen hohen Stellenwert: Zwar sind die Grundbegriffe recht einfach, Messungen jedoch sehr komplex. Zudem ist die Temperatur keine dauerhafte, feste Eigenschaft eines Gegenstandes (vgl. Lorenz 1992b, S. 14).
 
59
Natürlich könnten Sie die Fläche der Alster auch im Internet recherchieren. Es geht hier aber um die Tätigkeit des Schätzens, die als solche einen Eigenwert hat, weshalb das so selbstverständlich erscheinende Googeln der Fläche in diesem Fall eine verpasste Lernchance wäre. Und natürlich können Sie nach dem gleichen Prinzip auch Einwohner anderer Städte bzw. die Erdbevölkerung anderenorts platzieren. Staunen werden Sie vermutlich in jedem Fall …
 
60
Für den Unterricht bieten sich auch einmal historische Betrachtungen der Größen an oder bspw. ein Vergleich mit anderen Ländern, immer natürlich mit Bezug zur aktuellen Lebenswelt der Kinder (vgl. z. B. Kurzweil 1999; Seleschnikow 1981; Winter 1986a).
 
61
Generell bieten Tageszeitungen allgemein eine reichhaltige Quelle für Aufgabenmaterial (vgl. z. B. Herget 2003; Herget und Scholz 1998).
 
62
Zu fachlichen Hintergründen vgl. etwa Eichler und Vogel (2009) oder Kütting und Sauer (2011).
 
63
Digitale Applikationen zur Diagrammerstellung nutzen häufig sogar dreidimensionale Darstellungen und verschärfen dann das Problem insofern, als eine doppelte Kantenlänge eine Verachtfachung des Volumens bedeutet (vgl. auch Ruwisch 2009c, S. 42 f.). »Kinder können gar nicht früh genug dazu angehalten werden, lieber klare und einfache Diagramme zu verwenden als die durch einen einfachen Knopfdruck zu erzeugenden dreidimensionalen ›Spielereien‹ ohne größere Aussagekraft« (Ruwisch 2009c, S. 43).
 
64
Die Werte in Klammern sollen die Prozesse bzw. Stufen für Tab. 2.11 sowie für die weiter unten folgende Aufgabe kodieren (vgl. Tab. 2.11 und Abb. 2.57).
 
65
Geometrisches und harmonisches Mittel werden im Folgenden außer Acht gelassen, da sie in der Grundschule keine Rolle spielen.
 
66
In Spielwarengeschäften gibt es z. B. Oktaeder‑, Dodekaeder‐ und Ikosaeder‐Würfel (mit den Zahlen von 1–8, 1–12 und 1–20).
 
Metadata
Title
Inhaltsbereiche des Mathematikunterrichts
Author
Günter Krauthausen
Copyright Year
2018
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54692-5_2

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