Instrument: Generieren II — Fraktale

Die fraktale Geometrie erlaubt es, natürliche Formen mathematisch zu beschreiben und chaotische Systeme bildlich zu veranschaulichen. Ein bekanntes Fraktal ist jede Küstenlinie. Betrachtet man einen immer kleineren Ausschnitt der Küste, zeigen sich mit jedem Schritt mehr Buchten und Halbinseln. Mit jedem Fels oder Sandkorn wiederholen sich dieselben, selbstähnlichen Muster, und die Gesamtlänge wächst gegen Unendlich. Neben der Selbstähnlichkeit haben Fraktale die Eigenschaft der Nichtlinearität: Eine Küstenlinie kann nicht mit den Elementen der euklidischen Geometrie, der eindimensionalen Geraden oder der zweidimensionalen Fläche beschrieben werden. Die Dimension der Küstenlinie ist größer als eins, aber kleiner als zwei. Sie entspricht damit einer gebrochener Zahl zwischen eins und zwei, daher der Name Fraktal. Fraktale sind durch die fraktale Dimension vergleichbar. So unterscheiden sich etwa Bäume durch ihre Dimension zwischen zwei und drei. Man kann Fraktale als Untermenge (Subset) der Formengrammatiken betrachten, denn es genügt eine rekursiv angewendete Formenregel, um komplexe Gebilde zu generieren [Peitgen 1986, Peitgen 1988].