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2021 | OriginalPaper | Chapter

4. Integrale der Fourier-Entwicklung

Author: Prof. Dr. Jochen Balla

Published in: Integralrechnung leicht gemacht!

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird mit der Fourier-Entwicklung ein wichtiges Beispiel zur Anwendung von Integralen entwickelt. Allerdings werden seine Ergebnisse im weiteren Verlauf des Buchs nicht benötigt. Sofern die Fourier-Entwicklung für dich nicht von Interesse ist, kannst du direkt zu Kap. 5 übergehen.

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Footnotes
1
Tatsächlich handelt es sich hier um eine „Kreisfrequenz“. Eine Frequenz \(f=1/T\) entspricht der Kreisfrequenz \(\omega=2\pi f=2\pi/T\). Wir wollen trotzdem etwas ungenau \(\omega\) einfach als „Frequenz“ ansprechen.
 
2
Die Bezeichnung „trigonometrisches Polynom“ hat ihren Ursprung in der komplexen Version trigonometrischer Polynome. Siehe die Lesehilfe zu Definition (4.2.2).
 
3
Lässt man im Polynom (4.7) auch komplexwertige Koeffizienten \(a_{k}\) und \(b_{k}\) zu, so kann ein komplexwertiges Polynom \(f\) auch in dieser Form dargestellt werden. Der soeben ermittelte Zusammenhang mit den \(c_{k}\) bleibt gültig.
 
4
Benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Joseph Fourier, 1768–1830.
 
5
Zur Formulierung der Fourier-Reihe für beliebige Periodenlänge \(2L\) siehe Abschn. 4.4.1.
 
6
Dass diese Funktion \(f\) im Inneren des Intervalls durch eine unendliche Reihe von Sinusfunktionen dargestellt werden kann, ist aus anderen Teilgebieten der Analysis bekannt. Sie kann daher als „Prototyp“ oder „Test“ für die Fourier-Entwicklung verwendet werden.
 
7
Benannt nach dem amerikanischen Physiker Josiah Willard Gibbs, 1839–1903.
 
8
Wir verzichten hier vereinfachend auf die Unterscheidung zwischen der Funktion \(f\) und ihrer Fourier-Reihe \({\cal F}[f]\).
 
Metadata
Title
Integrale der Fourier-Entwicklung
Author
Prof. Dr. Jochen Balla
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63586-5_4

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