In diesem Kapitel wird mit der Fourier-Entwicklung ein wichtiges Beispiel zur Anwendung von Integralen entwickelt. Allerdings werden seine Ergebnisse im weiteren Verlauf des Buchs nicht benötigt. Sofern die Fourier-Entwicklung für dich nicht von Interesse ist, kannst du direkt zu Kap. 5 übergehen.
Tatsächlich handelt es sich hier um eine „Kreisfrequenz“. Eine Frequenz \(f=1/T\) entspricht der Kreisfrequenz \(\omega=2\pi f=2\pi/T\). Wir wollen trotzdem etwas ungenau \(\omega\) einfach als „Frequenz“ ansprechen.
Die Bezeichnung „trigonometrisches Polynom“ hat ihren Ursprung in der komplexen Version trigonometrischer Polynome. Siehe die Lesehilfe zu Definition (4.2.2).
Lässt man im Polynom (4.7) auch komplexwertige Koeffizienten \(a_{k}\) und \(b_{k}\) zu, so kann ein komplexwertiges Polynom \(f\) auch in dieser Form dargestellt werden. Der soeben ermittelte Zusammenhang mit den \(c_{k}\) bleibt gültig.
Dass diese Funktion \(f\) im Inneren des Intervalls durch eine unendliche Reihe von Sinusfunktionen dargestellt werden kann, ist aus anderen Teilgebieten der Analysis bekannt. Sie kann daher als „Prototyp“ oder „Test“ für die Fourier-Entwicklung verwendet werden.
