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Published in:
2018 | OriginalPaper | Chapter
11. Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren
Authors : Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel
Published in: Mathematik
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Die Rekonstruktion der Größe einer Population aus der Geburten- und Sterberate, der Flächeninhalt krumm begrenzter Flächen, das Volumen von beliebig geformten Körpern, die Länge von Kurven, die bei Bewegung in einem Kraftfeld geleistete Arbeit, der Fluss einer Strömung durch ein Flächenstück – all diese Dinge lassen sich mit einem Konzept beschreiben und berechnen: dem Integral.
Neben der Differenzialrechnung ist die Integralrechnung die zweite tragende Säule der Analysis. Während sich die Differenzialrechnung in erster Linie mit dem lokalen Änderungsverhalten von Funktionen, also dem Verhalten im Kleinen befasst, macht die Integralrechnung globale Aussagen, behandelt also Aspekte im Großen. Es ist das Werkzeug, um zu bilanzieren, also aus Veränderungen, die im Lauf der Zeit passieren, einen Gesamtstand zu ermitteln. Entscheidend ist der enge Zusammenhang zwischen beiden Konzepten. Das Integrieren lässt sich als Umkehrung des Differenzierens auffassen.
Der Ansatzpunkt für den Integralbegriff ist das Problem der Fläche unter einem Graphen. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, sinnvoll zu einem Integralbegriff zu gelangen, wobei verschiedene Definitionen durchaus subtile Unterschiede aufweisen können. Diese Unterschiede sollen uns aber weniger kümmern. Deshalb wird ein Integralbegriff vorgestellt, der nach dem französischen Mathematiker Henri Leon Lebesgue (1875–1941) benannt ist. Dieser liefert relativ anschaulich die passende theoretische Grundlage für die vielfältigen Anwendungen der Integralrechnung.