Integralgeometrie

Als Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitstheorie werden häufig Pascals Betrachtungen über Glücksspiele angesehen. Die Anfänge der Integralgeometrie und Geometrischen Wahrscheinlichkeiten lassen sich auf eine geometrische Variante solcher Glücksspiele zurückführen, die der Naturforscher G.L.L. Comte de Buffon 1733 in einem Vortrag vor der Académie Française vorstellte: Eine Münze wird in zufälliger Weise auf einen Fußboden geworfen, der nach Art eines regelmäßigen Mosaiks unterteilt ist, z.B. in Dreiecke, Quadrate, Sechsecke. Der eine Spieler wettet, daß die Münze ganz innerhalb eines Mosaiksteins liegt, der andere hält dagegen, daß eine Kante getroffen wird. Wie sind die Chancen verteilt? Buffon hat solche Wahrscheinlichkeiten berechnet und im Rahmen einer größeren Arbeit veröffentlicht, die erst 1777 erschien (Buffon [1777]).

Das Lebesgue-Maß auf dem R ⁿ ändert sich nicht bei Translationen, also bei den Abbildungen, die durch die Gruppenverknüpfung der additiven Gruppe R ⁿ definiert werden. Es ist auch invariant unter Drehungen und daher unter allen Bewegungen des R ⁿ . Damit ist das Lebesgue-Maß in zweierlei Hinsicht ein wichtiges Beispiel für einen allgemeinen Sachverhalt.

Integralgeometrische Formelsysteme, wie sie in der Einleitung angesprochen wurden und im folgenden allgemein behandelt werden sollen, beziehen sich auf geometrische Funktionale von gewissen Punktmengen. Als Mengenklasse im euklidischen Raum, die für Anwendungen hinreichend allgemein ist und doch eine relativ elementare Behandlung gestattet, wählen wir den Konvexring. Die Elemente des Konvexringes sind endliche Vereinigungen von konvexen Körpern. Demgemäß legen wir den integralgeometrischen Untersuchungen zunächst die Klasse der konvexen Körper zugrunde und dehnen die Ergebnisse dann, soweit möglich, auf den Konvexring aus. Diese Mengenklassen werden im folgenden untersucht. Als Funktionale konvexer Körper führen wir die Quermaßintegrale ein und ihre lokalen Verallgemeinerungen, die Krümmungsmaße. Die Ausdehnung auf den Konvexring geschieht durch additive Fortsetzung.

In diesem Kapitel werden die wichtigsten integralgeometrischen Formeln, die kinematische Hauptformel und die Crofton-Formel, behandelt. Wir beweisen sie in einer allgemeinen Fassung für Krümmungsmaße und die Mengen des Konvexringes.

Mittelwertformeln bezüglich invarianter Maße, wie sie Gegenstand des dritten und vierten Kapitels waren (kinematische Hauptformel, Croftonsche Schnittformel, Drehsummen- und Projektionsformel), sind nicht die einzige Art von Relationen, die in der Integralgeometrie typischerweise behandelt werden. Ein anderes wichtiges Teilgebiet sind Transformationsformeln für die in der Integralgeometrie auftretenden invarianten Maße auf Räumen geometrischer Objekte. Solche Formeln sind bei verschiedenen Berechnungen der Stochastischen Geometrie von Nutzen. Sie werden beispielshalber benötigt, wenn man die Verteilungen von zufälligen Unterräumen bestimmen will, die durch geometrische Konstruktionen wie Schneiden oder Verbinden aus unabhängigen isotropen, uniformen Unterräumen erzeugt werden. Zur Erläuterung wollen wir hier an zwei im fünften Kapitel gestreifte Fragestellungen anknüpfen, uns dabei aber der Anschaulichkeit halber auf den R³ beschränken.

Im folgenden werden einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der konvexen Mengen zusammengestellt, die in früheren Kapiteln ohne weitere Erläuterung benutzt wurden. Es handelt sich dabei zumeist um Standard-Stoff, der etwa in den Büchern von Bonnesen & Fenchel [1934], Eggleston [1958], Valentine [1964], Rockafellar [1970], Leichtweiß [1980] nachgelesen werden kann und hier ohne Beweis wiedergegeben wird.