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2021 | OriginalPaper | Chapter

3. Integration zusammengesetzter Funktionen

Author: Prof. Dr. Jochen Balla

Published in: Integralrechnung leicht gemacht!

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Bei einfachen Funktionen kann eine Stammfunktion praktisch „erraten“ werden, indem man die Differenziationsregel umkehrt. Bei zusammengesetzten Funktionen, also etwa bei Verkettungen oder Produkten von Grundfunktionen, ist das nicht mehr ohne Weiteres möglich. Hier helfen Integrationsregeln weiter, die wir uns nun ansehen wollen.

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Footnotes
1
Es ist auch möglich, \(x\) zu ersetzen durch \(x=\tilde{g}(t)\). Auch dann kann das Differenzial wie in Schritt (2) ersetzt werden, jetzt mit der Ableitung \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\).
 
2
Eine ausführliche Integraltafel findet sich beispielsweise im „Bronstein“, einem klassischen Nachschlagewerk der Mathematik (Bronstein et al., Taschenbuch der Mathematik).
 
3
Einen solchen Umstand, dass das ursprüngliche Integral reproduziert wird und somit „wieder erscheint“, nennt man manchmal den „Phönix-Effekt“.
 
4
Für Skalarprodukte in Funktionenräumen ist die Schreibweise \(\langle f,g\rangle\) anstelle von \(f\cdot g\) gebräuchlich, weil Letzteres mit dem normalen Produkt der Funktionen verwechselt werden kann.
 
5
Es sollen also keine systematischen Abweichungen vorliegen, die aus einer fehlerhaften Messmethode entstehen und die Messwerte in systematischer Weise beeinflussen.
 
6
Man könnte auch an die Summe der Beträge, also eine „mittlere Abweichung“ \(|s|=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-x_{\mathrm{w}}|\) denken, was aber aufgrund der Beträge rechentechnisch unvorteilhafter ist.
 
7
Die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist definiert als \(\sigma^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}\,g(x)\,\mathrm{d}x\). Für die Normalverteilung (3.76) ergibt dieses Integral den Wert \(\sigma^{2}\). (Das Integral kann durch partielle Integration, wobei der Integrand in „\(x\cdot x\mathrm{e}^{-x^{2}}\)“ aufgeteilt wird, und unter Verwendung der Normierung berechnet werden.)
 
Metadata
Title
Integration zusammengesetzter Funktionen
Author
Prof. Dr. Jochen Balla
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63586-5_3

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