Ladungsträgerbasierte Modellierung von Teilentladungsprozessen in Runddrahtwicklungen umrichtergespeister Niederspannungsmaschinen

Bei einem Gasentladeprozess steigt die Leitfähigkeit eines Gasvolumens, sodass sich die Elektroden über die Gasstrecke entladen können. Die Leitfähigkeit eines Gases wird durch Stoß- und Photoionisationen erhöht, bei denen neutrale Gasmoleküle zu negativen und positiven Ladungsträgern aufgespalten werden. Diese Prozesse finden sowohl im Gas als auch an den Elektrodenoberflächen statt. Nach dem Generationsmechanismus nach Townsend kann jedes freie Elektron im Gas einen Entladeprozess auslösen. Bei ausreichender Feldstärke ionisiert dieses Elektron während der Beschleunigung in Richtung Anode weitere Gasmoleküle und es kommt zu einem lawinenartigen Wachstum an freien Ladungsträgern. Abbildung 2 veranschaulicht diesen Prozess. Die dabei entstandenen positiven Ionen bewegen sich in Richtung Kathode. An der Kathodenoberfläche können Sekundärelektronen herausgelöst werden. Diese können sowohl durch den Aufprall positiver Ionen als auch durch Photonen entstehen. Sekundärelektronen stoßen als Startelektronen auf dem Weg zur Anode ebenfalls Folgelawinen an. Dieser Vorgang wird Generationsmechanismus genannt. Sobald von jeder Lawine mindestens eine weitere Lawine ausgelöst wird, steigt die Anzahl der freien Ladungsträger im Gasraum und die Townsend’sche Zündbedingung ist erfüllt [12]:

Die mathematische Formulierung der Townsend’schen Zündbedingung für eine inhomogene Feldverteilung ist durch den Zusammenhang in (1) gegeben. Der Ionisierungskoeffizient \(\alpha \) gibt die mittlere Anzahl der Ionisierungen an, die ein Elektron entlang einer Strecke hervorruft. Der Sekundärkoeffizient beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das Herauslösen eines Sekundärelektrons je auftreffendem Ion oder Photon. Durch Multiplikation des Sekundärkoeffizienten \(\gamma \) mit der je Lawine netto erzeugten Elektronenanzahl errechnet sich die Anzahl an neuen Startelektronen an der Kathode. Anode und Kathode befinden sich analog zur Abb. 2 bei \(x = d\) und \(x = 0\). In Anwendung auf die Feldverteilung der Ersatzanordnung für die Windungsisolierung einer Niederspannungsmaschine lässt sich mit dem Townsend-Kriterium die Teilentladungseinsetzspannung des Statorisoliersystems abschätzen. Dabei wird die Spannung berechnet, ab der die Bedingung in (1) entlang mindestens einer Feldlinie im Gasraum der Ersatzanordnung erfüllt ist. Die Abschätzung der Teilentladungseinsetzspannung mit dem Townsend-Kriterium erlaubt ausschließlich statische Betrachtungen des Entladegeschehens, da sowohl transiente Spannungsverläufe als auch die Ansammlung von Ladungsträgern nicht berücksichtigt werden können.

Eine umfassendere Modellbildung erfolgt nach dem Ansatz der Plasmamodelle. Der Plasma-Ansatz beruht auf der Beschreibung der Ladungsbewegungen durch ein System aus Fluss-Kontinuitätsgleichungen jeder Ladungsträgerart. Die Ladungsbewegung in der gasgefüllten Entladestrecke steht im direkten Zusammenhang mit dem Entladestrom und wird zeit-diskret berechnet. Ursprünglich wurde dieser Ansatz entwickelt, um Entladungen zwischen metallischen Elektroden mit elektrischer Spannungsdifferenz zu modellieren [14]. Unter Berücksichtigung der sich an den Barrieren ansammelnden Flächenladung und deren Einfluss auf die Feldverteilung kann dieser Ansatz jedoch auch zur Modellierung von Gasentladungen zwischen dielektrisch beschichteten Elektroden (Barriereentladung) verwendet werden.

Optische Untersuchungen von dielektrischen Barriereentladungen aus der Literatur weisen darauf hin, dass sich Teilentladungen im Gasraum zwischen isolierten Elektroden in Form einzelner räumlich abgegrenzter Entladekanäle ausbilden. Es wird die vereinfachende Annahme getroffen, dass die Dichten der geladenen Teilchen und die elektrische Feldstärke über dem Querschnitt des zylinderförmigen Entladekanals konstant sind. Die elektrische Feldstärke entspricht dabei dem Wert auf der Kanalachse [15]. Abbildung 3 zeigt die schematische Darstellung eines Entladekanals zwischen zwei isolierten Platten mit konstanter Spannungsdifferenz. Die Achse des Kanals ist parallel zur x-Achse, sodass die Teilchendichten und die elektrischen Felder nur eine Abhängigkeit von der x-Koordinate besitzen. Unter Anwendung der sogenannten Local-Field-Approximation (LFA) lässt sich für jede zeit- und raumabhängige Teilchendichte \(n_{i}\) mit der Driftgeschwindigkeit \(v_{i}\), der Diffusionskonstanten \(D_{i}\) und dem Quellterm \(S_{i}\) die allgemeine Kontinuitätsgleichung formulieren [19]: Die Variable \(i\) steht als Platzhalter für die verschiedenen Ladungsträgerarten. Die Variablen \(x\) und \(t\) bezeichnen die Ortskoordinate bzw. den Zeitpunkt. Die auf eine Dimension reduzierten Kontinuitätsgleichungen für Elektronen \(e\), positive Ionen \(p\) und negative Ionen \(n\) mit eingesetzten Quelltermen sind in den Gleichungen (3) bis (5) zusammengefasst. Auf den Diffusionsterm wird dabei verzichtet, da er einen geringen Einfluss auf das Berechnungsergebnis hat [14]. Die Bewegungs- und Generationsprozesse sind vorwiegend durch die sogenannten Schwarmparameter bestimmt. Sie umfassen die Driftgeschwindigkeiten der Elektronen, positiven Ionen und negativen Ionen \(v_{\mathrm{e}}\), \(v_{\mathrm{p}}\) und \(v_{\mathrm{n}}\) und die Koeffizienten für Ionisation, Anlagerung, und Rekombination \(\alpha \), \(\eta \) und \(\beta \). Der Quellterm \(S_{\mathrm{e}}\) beinhaltet alle zusätzlichen Generationsprozesse von Elektronen, die nicht durch Stoßprozesse im Gas bedingt sind, wie z. B. die Sekundäremission.

Die Kontinuitätsgleichungen stellen einen Zusammenhang zwischen zeitlicher Änderung der Teilchendichte, Divergenz der Strömung und Generationsprozessen her. Mithilfe eines Fluss-Korrigierten-Transportalgorithmus nach [16, 17] kann das Differentialgleichungssystem iterativ gelöst werden und die zeit- und raumabhängigen Ladungsträgerdichten bestimmt werden. Die Schwarmparameter sind abhängig von der lokalen reduzierten Feldstärke \(E/n\), die dem Quotienten aus elektrischer Feldstärke \(E\) und neutraler Teilchendichte \(n\) entspricht. Da sich die Ladungsträger nicht ungehindert durch die dielektrische Schicht an Kathode und Anode bewegen können, müssen Ladungsträgeransammlungen berücksichtigt werden. An der Kathode sammeln sich positive Ionen und an der Anode Elektronen in Form einer Oberflächenladung an. Wie in den Gleichungen (6) und (7) formuliert, entspricht die zeitliche Änderung der Flächenladungsdichte \(\sigma \) dem Teilchenfluss an der Grenze zwischen Gas und Isolierung multipliziert mit der Elementarladung \(e\) [18]. Die Grenzen des Gasraums befinden sich bei \(x = 0\) und \(x = d\). Bei der Modellierung des Elektronenquellterms \(S_{\mathrm{e}}\) werden mehrere Mechanismen an der Oberfläche des Kathodenmaterials berücksichtigt. Abbildung 4 veranschaulicht die unterschiedlichen Prozesse, auf welche im Folgenden näher eingegangen wird.

Grundsätzlich wird davon ausgegangen, dass die Flächenladungen ohne feldbedingte Krafteinwirkung im Zeitbereich einiger Millisekunden unverändert auf den Oberflächen verbleiben [19]. Wechselt die Spannung jedoch das Vorzeichen, sodass die Kathode eine negative Flächenladung aufweist, können dort angelagerte Elektronen abgelöst werden und freie Startelektronen bilden. Dieser Prozess wird im Teilentladungsmodell durch thermische Adsorption berücksichtigt, bei der sich die Elektronen mit einer temperaturabhängigen Desorptionsfrequenz \(f_{ \mathrm{Des}}(T)\) ablösen [20]. Der momentane Elektronenfluss \(n^{ \mathrm{Des}}_{\mathrm{e}}(0,t)\cdot v_{\mathrm{e}}(0,t)\) unmittelbar an der Kathodenbarriere ergibt sich durch Desorption zu Gleichung (8). Die Desorptionsfrequenz berechnet sich nach [20] in Abhängigkeit der Adsorptionsenergie \(\varPhi _{\mathrm{\sigma }}\), welche im Bereich von 1 eV liegt, und der Fluchtfrequenz der angesammelten Elektronen \(f_{\mathrm{esc}}\). Neben den Ionisations- und Anlagerungsprozessen im Gas werden ebenfalls die Generationsprozesse an der Kathodenoberfläche modelliert. Bei den betrachteten Primärteilchen, die Sekundärelektronen herauslösen, handelt es sich ausschließlich um positive Ionen oder Photonen. Der Sekundärelektronenfluss entspricht dabei jeweils dem momentanen Primärteilchenfluss an der Kathode multipliziert mit dem Sekundärkoeffizienten \(\gamma \). Dividiert durch die Elektronengeschwindigkeit \(v_{\mathrm{e}}(0,t)\) an der Kathode ergibt sich die entsprechende Elektronendichte \(n_{\mathrm{e}}(0,t)\). Für positive Ionen formuliert sich die Sekundärelektronendichte an der Kathode \(n_{\mathrm{e}}^{\mathrm{Ion}}\) unter Berücksichtigung des spezifischen Sekundärkoeffizienten \(\gamma _{\mathrm{Ion}}\) zu Gleichung (9) [19]: Die durch auftreffende Photonen herausgelösten Elektronen werden mit Gleichung (10) berechnet [21]. Der Photonenfluss an der Kathode ist abhängig von der Ionisationsrate \(\alpha \cdot n_{\mathrm{e}} \cdot v_{\mathrm{e}}\). Integriert über den gesamten Entladekanal ergibt sich der gesamte momentane Photonenfluss der Einzelentladung. Mit dem geometrischen Faktor \(\varOmega (x)\) wird berücksichtigt, dass sich nicht alle Photonen in Richtung der Kathode bewegen.

Die Raumladungsdichte an einem Ort \(x\) zum Zeitpunkt \(t\) im Entladekanal entspricht der Netto-Ladungsträgerdichte multipliziert mit der Elementarladung. Sowohl die angesammelte Flächenladung als auch die Raumladung im Entladekanal beeinflussen die lokale elektrische Feldstärke und damit die Schwarmparameter. Dynamisch werden die Feldbeiträge der Flächen- und Raumladungen bestimmt und in der lokalen reduzierten Feldstärke entlang des Entladekanals berücksichtigt. Durch die vereinfachende Annahme, dass sich die Flächenladungen homogen im Radius des Entladekanals auf den dielektrischen Oberflächen verteilen, kann das Feld aus Flächenladungen analog zum Feld einer geladenen Scheibe analytisch bestimmt werden. Das Raumladungsfeld auf der Entladekanalachse wird nach dem selben Ansatz mit der sogenannten Scheiben-Methode berechnet. Abbildung 5 verdeutlicht die Unterteilung des Entladekanals in Scheiben mit dem Kanalradius \(r\) und endlicher Dicke \(\mathrm{d}x\). Es werden die Feldbeiträge infinitesimal dünner Schreiben mit gleichen homogen verteilten Ladungsmengen bestimmt. Durch Superposition der Feldbeiträge aller Scheiben an den Raumpunkten \(x'\) kann das Feld \(E_{ \mathrm{\rho }}\) an einem Punkt \(x\) auf der Kanalachse durch Gleichung (12) berechnet werden [18]. Während der gesamten Entladung muss das Integral über die elektrische Feldstärke von der metallischen Anode zur metallischen Kathode der Elektrodenspannung entsprechen. Bedingt durch die zwingende Konsistenz zwischen elektrischer Feldstärke und Spannung kann die Kompensationsladung \(Q_{ \mathrm{Komp}}\) auf den metallischen Elektroden bestimmt werden. Durch die zeitliche Ableitung der Kompensationsladung kann die messbare Stromstärke \(I_{ \mathrm{Mess}}\) bestimmt werden, die bedingt durch den Entladeprozess in die Anordnung hineinfließt. Der Entladestrom, der innerhalb eines Entladekanals im Gasraum fließt, ist der sogenannten Sato-Strom. Dieser trägt maßgeblich zur chemischen Zersetzung der Isoliermaterialien bei. Der zeitabhängige Entladestrom errechnet sich nach Gleichung (14). Dabei wird die mittlere Ladungsträgerverschiebung aus Ionen und Elektronen bestimmt und mit der Elementarladung \(e\) und der Querschnittsfläche \(\pi \cdot r^{2}\) des Entladekanals multipliziert. Je höher die Dichten der Ladungsträger \(n_{i}\) und je größer die Geschwindigkeiten \(v_{i}\), desto größer der Sato-Strom \(I_{\mathrm{Sato}}\). Der Gesamtentladestrom entspricht der Summe aller Strombeiträge der einzelnen Kanäle. Wie viele Entladekanäle in der Gesamtanordnung entstehen ist dabei geometrieabhängig.

Die Teilentladungs-Simulation für die Ersatzanordnung der Wicklungsisolierung einer Niederspannungsmaschine basiert auf der Berechnung des statischen Laplace-Feldes im Luftraum. Mit Kenntnis der materialabhängigen Sekundärkoeffizienten kann aus der Feldlösung unter Anwendung des Townsend-Kriteriums die kritische Feldlinie bestimmt werden, um welche sich der Entladekanal mit hoher Wahrscheinlichkeit ausbilden wird. Die kritische Feldlinie ist dadurch bestimmt, dass entlang ihres Verlaufs für die geringste Elektrodenspannung die Zündbedingung erfüllt ist. Die Entladekanallänge entspricht dann der Länge der Feldlinie. In Abb. 6 ist ein exemplarischer Entladekanal dargestellt. Die meist leichte Krümmung der Feldlinie wird begradigt, um die Feldberechnung mit der Scheiben-Methode anwenden zu können. Der Kanalradius \(r\) kann durch einen experimentell bestimmten Zusammenhang aus der Literatur in Abhängigkeit der Kanallänge \(d\) und der neutralen Teilchendichte \(n\) nach Gleichung (15) bestimmt werden [21].

Mit Kenntnis der Kanalgeometrie und der Modellparameter kann der Teilentladungsprozess mithilfe des Plasma-Ansatzes für einen repräsentativen Entladekanal simuliert werden. Transiente Spannungsverläufe zwischen den Elektroden werden modelliert, indem die raum- und flächenladungsfreie Feldkomponente variiert wird. Um die Simulationsergebnisse mit Messergebnissen an verdrillten Prüflingen vergleichen zu können, muss der je Entladekanal messbare Strom, der sich durch die Konsistenz zwischen Elektrodenspannung und elektrischer Feldstärke ergibt, mit der Anzahl der Entladekanäle multipliziert werden. In der zweidimensionalen Betrachtung entsteht ober- und unterhalb des Berührungspunktes der Drähte jeweils nur ein Kanal. Es wird die vereinfachende Annahme getroffen, dass die Entladekanäle gleichmäßig entlang der Verdrillung auftreten und direkt aneinander angrenzen. Die Anzahl der Entladekanäle \(N_{\mathrm{Kanal}}\) ergibt sich analog zu Abb. 7 in Abhängigkeit der Länge der Verdrillung \(l_{\mathrm{Verdrillt}}\) zu:

Die kritische Feldlinie wird entsprechend der in Abschn. 2 vorgestellten Methodik berechnet. Dies bedeutet, dass das Townsend-Kriterium nach (1) für genau eine Feldlinie erfüllt ist. In Abb. 11 ist die berechnete Anzahl an Sekundärelektronen je Lawine für verschiedene Spannungen und Feldlinien zu sehen. Bei einer Spannung von 1040 V ist die berechnete Lawinenrückwirkung nur für eine Feldlinie größer gleich eins und somit das Townsend-Kriterium erfüllt.

In Abb. 12 (a) sind die Feldlinienverläufe im Luftbereich exemplarisch dargestellt und die kritische Feldlinie hervorgehoben. Es wird deutlich, dass die kritische Feldlinie nicht im Bereich des geringsten Abstandes zwischen den Leitern zu erwarten ist, sondern in etwa 1,7 mm oberhalb des Berührpunktes. Die Anordnung ist spiegelsymmetrisch zur x-Achse, somit gibt es immer zwei kritische Feldlinien. Wird die Spannung der Anordnung weiter erhöht, vergrößert sich entlang der Oberfläche der Isolierung der Bereich, an dem die Zündbedingung erfüllt ist. Wie bereits in Abschn. 2.3 erläutert, ist durch die Begradigung der kritischen Feldlinie kein signifikanter Fehler zu erwarten, da diese nur einen schwach inhomogenen Verlauf aufweist, wie in Abb. 12 (b) zu sehen ist.

Für die Simulation des zeitlichen Verlaufs der Oberflächenladungen und Ladungsträgerströme werden die mit dem Oszilloskop aufgenommenen Spannungsimpulse als Eingangsdaten verwendet. Die unipolare und bipolare Testspannung ist in normierter Form in Abb. 13 dargestellt. Die Testspannung wird in ihrer Amplitude skaliert. Der Überschwingfaktor beträgt für beide Spannungsformen circa 1,09 bei einer Spannungsanstiegszeit von etwa 80 ns. Das entspricht einem  von 30  .

Beobachtungen der Teilentladungs-Charakteristiken zeigen, dass Teilentladungen überwiegend an den steigenden und fallenden Flanken der Spannungspulse auftreten, sofern der Prüfkörper zuvor keinen Alterungsprozessen ausgesetzt wurde [25]. Zur Verringerung der Rechenzeit des Simulationsmodells wird die Pulsweite des Spannungspulses gegenüber der tatsächlichen gemessenen Spannung verringert. Der Berechnungszeitraum ist ausreichend, um für die Ladungsträgeransammlungen einen stationären Zustand zu erreichen.

Zur Verifikation der Simulationsergebnisse wird die PDIV für zehn Prüflinge bei bipolarer Impulsspannung ermittelt. Darüber hinaus wird der durch die Simulation berechnete Strompuls mit dem gemessenen Signal bei einer Teilentladung verglichen. Für unipolare Impulsspannung können keine TE-Messungen durchgeführt werden, da vor Überschreiten der Sperrspannung der Halbleiter von 1200 V keine wiederkehrenden TE aufgetreten sind. Die gemessenen Werte für die PDIV beziehen sich auf den Scheitelwert \(U_{\mathrm{p}}\) der angelegten Prüfspannung. Durch den Vergleich der Mess- mit den Simulationsergebnissen in Abb. 16 wird deutlich, dass eine gute Übereinstimmung mit den gemessenen Werten erreicht wird. Der simulierte Wert von 1090 V liegt zwischen dem gemessenen Minimum von 1043 V und dem Maximum von 1106 V.

In Abb. 17 werden die simulierten und gemessenen TE-Impulse verglichen. Der Vergleich lässt erkennen, dass der Scheitelwert von 2,35 A des simulierten Stroms in derselben Größenordnung des gemessenen Stroms von 2,16 A liegt. Das zeitliche Auftreten liegt jeweils im Bereich des ersten Maximums der Spannung. Die gemessenen, starken Oszillationen im Stromverlauf haben ihren Ursprung aus Resonanzen im Prüfkreis. Der hier betrachtete Messaufbau besteht aus dem untersuchten Drilleiter-Prüfling, Zuleitungen und einer leistungselektronischen Schaltung zur Bereitstellung der Impulsspannung. Diese Komponenten besitzen unterschiedliche resistive, kapazitive und induktive Leitungsbeläge. Durch den Teilentladungsimpuls und den damit verbundenen schnellen Stromanstieg entsteht eine Rückwirkung auf den Spannungsverlauf. Das hat zur Folge, dass ein verstärktes Schwingungsverhalten der Spannung auftritt und der Spannungsverlauf durch ein hochfrequentes Überschwingen überlagert wird. Diese Effekte werden in der Simulation nicht abgebildet. Durch Integration des Stromverlaufs des TE-Impulses kann die freigesetzte Ladung bestimmt werden. Es ist zu erkennen, dass die freigesetzte Ladung nach Abklingen der Oszillation für beide Verläufe in derselben Größenordnung liegen. Der vergleichende zeitliche Verlauf der simulierten und gemessenen Ladung ist in Abb. 18 dargestellt. Der erreichte Endwert der simulierten und gemessenen Ladung beträgt circa 11,3 nC bzw. 12,5 nC.