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Langfrist-Prognosen sind typischerweise problematischer als Kurzfrist-Prognosen. Im Kapitalmarktkontext ist die Sachlage jedoch umgekehrt, da verlässliche Kurzfrist-Prognosen durch Arbitrageure sofort zunichte gemacht würden. Ex ante ist der Performance-Index am Prognosehorizont eine extrem rechtsschief verteilte Zufallsvariable. Prognosen, die auf dessen Modalwert abzielen, sind daher viel zu pessimistisch. Prognosen, die auf den Erwartungswert abzielen, sind dagegen zu optimistisch. Von den drei prominenten Lagemaßen ist nur der Median in der Lage, als Basis für eine verlässliche Prognose zu dienen. Es werden einige Praktiker-Verfahren untereinander und mit einem neuen Prognoseverfahren verglichen, welches auf der erwartungstreuen Schätzung des Medians beruht. Zur Illustration der Verfahren und der resultierenden Prognosen werden Daten des DAX bis 2022 verwendet. Es zeigt sich unter anderem, dass der erwartungstreue Median-Schätzer bessere Prognosen als das beste ‚Praktiker-Verfahren‘ liefert.
Der Verlag bleibt in Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutsadressen neutral.
1 Einführung
Ende 2017 wurde der DAX dreißig Jahre alt. Anlässlich dieses Geburtstages stellten Journalisten zahlreichen Kapitalmarktexperten die Frage: „Wo wird der DAX in 30 Jahren stehen?“, so zum Beispiel Eckert und Zschäpitz (2018) in einem in der Tageszeitung „Die Welt“ am 01.01.2018 veröffentlichten Artikel. Zur Erinnerung: Ende 1987 wurde der DAX auf den Wert 1000 normiert; Ende 2017 stand er bei etwa 13 000 Punkten. Im erwähnten „Welt“-Artikel prognostizierte kaum ein Experte für Ende 2047 einen DAX-Stand von über 100 000. Die pessimistischste Prognose lag bei 36 000 Punkten (Privatbank Safra Sarasin) und die mit Abstand optimistischste bei 185 000 Punkten (Lothar Koch, Leiter Portfoliomanagement GSAM + Spee Asset Management in Düsseldorf). Die meisten Prognosen bewegten sich zwischen 60 000 Punkten (DekaBank) und 100 000 Punkten (Deutsche Bank sowie Berenberg Bank). Der Durchschnitt lag bei 74 375 Punkten.
Eine simple Trendextrapolation würde den Prognosewert \(13\cdot 13\,000=169\,000\) liefern, welcher von fast allen befragten Experten als zu hoch empfunden wurde. Es ist nicht bekannt, ob die Experten-Prognosewerte aus Methoden oder aus reinem ‚Bauchgefühl‘ resultierten. Im Folgenden geht es natürlich nur um wohldefinierte Prognosemethoden sowie um ihre Begründung und ihren (theoretischen und numerischen) Vergleich. Die Verwendung von Kovariaten erscheint in diesem Kontext als wenig aussichtsreich. Eine bedingte Prognose würde letztlich die Prognose der Kovariaten-Werte erfordern, was die Praktikabilität zunichte machen würde. Insofern kommt nur eine autoprojektive Prozedur infrage. Die klassische Vorgehensweise besteht darin, ein mehrparametrisches Modell, z. B. ein ARIMA-Modell, zu schätzen und daraus die optimale Prognose als bedingten Erwartungswert am Prognosehorizont zu berechnen.
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Aus folgenden Gründen weichen wir auch von dieser klassischen Vorgehensweise ab: Die im Abschn. 2 genauer diskutierte rechtsschiefe Verteilung der Targetvariablen \(Y\) bewirkt, dass die Realisation von \(Y\) den Erwartungswert bei großem Prognosehorizont nahezu mit Wahrscheinlichkeit eins unterschreitet; der Erwartungswert liefert also eine zu optimistische Prognose. Analog liefert der Modalwert eine viel zu pessimistische Prognose. Auch eine Intervallprognose erscheint wenig sinnvoll, da eine Intervallprognose gegebener Länge (etwa 1000 DAX-Punkte) unweigerlich dazu führen würde, dass sie im Bereich der maximalen Dichte, also nahe am Modalwert, lokalisiert sein müsste; demnach würde sie ebenfalls zu pessimistisch ausfallen. Deshalb streben wir zur Lösung von Prognoseproblemen, die dem in der Eingangsfrage ähneln, eine unbedingte Punktprognose an.
Die Targetvariable \(Y\) ist entweder ein Performance-Index oder ein darauf aufbauendes Alterssicherungs-Instrument, wie z. B. ein ETF-Portfolio von Performance-Indizes. Wir verwenden folgende Notation:
ist der Performance-Index zum Zeitpunkt \(n+T\) gegeben die Historie \(t=1,\dots,n\) und den resultierenden (bekannten) Index-Stand \(Y_{n}\). Die Zeit wird in Jahren gemessen, sodass der Prognosehorizont \(T\) Jahre beträgt. \(1+R_{t}\) ist die Bruttorendite für das Jahr \(t\); infolgedessen ist \(R_{t}\) die gewöhnliche (oder Netto‑)Rendite für das Jahr \(t\).
Unter Verwendung von Logrenditen \(r_{t}=\ln(1+R_{t})\) wird aus (1)
Geht man von i. i. d. Logrenditen aus, so stellt (2) (bei festem \(n\) als Funktion des Prognosehorizonts \(T\) betrachtet) einen geometrischen Random Walk mit Drift \(\mu=\mathrm{E}(r_{t})\) dar.
Der Aufsatz ist wie folgt aufgebaut: Nach der Erörterung der Rechtsschiefe der \(Y\)-Verteilung in Abschn. 2 werden in Abschn. 3 zwei bekannte Praktiker-Verfahren diskutiert. In Abschn. 4 gehen wir von normalverteilten Logrenditen aus; dort entwickeln wir das von uns präferierte Prognoseverfahren, welches auf der erwartungstreuen Schätzung des Medians von \(Y\) beruht. In Abschn. 5 werden die Verfahren und ihre Prognosegüte anhand von Daten des DAX verglichen sowie analytisch geklärt, bis zu welchen Prognosehorizonten das von uns präferierte Verfahren sinnvoll einsetzbar ist. Abschn. 6 schließt mit einer kritischen Würdigung der Ergebnisse.
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2 Verteilung des Index-Stands
Bei Hochfrequenzdaten sind die Logrenditen im Allgemeinen nicht i. i. d. Im vorliegenden Fall haben wir es aber mit Jahresdaten zu tun. Durch dieses längere Zeitintervall reduzieren sich ARCH- und GARCH-Effekte, vgl. hierzu Kirchgässner et al. (2014), die eine Vergrößerung der Abtastperiode studieren. Wenn wiederkehrend nur die \(m\)-te Beobachtung verwendet wird, so verschwinden im Limes (\(m\to\infty\)) ARCH- und GARCH-Effekte vollständig, ansonsten schwächen sie sich nur in Abhängigkeit von \(m\) ab.
Wir nehmen an, dass die Jahres-Logrenditen i. i. d. sind. Für zukünftige Renditen kann dies natürlich nicht getestet werden. Hughson et al. (2006) haben gezeigt, dass bei \(r_{t}\sim\mathrm{i.\,i.\,d.}\) und finitem Erwartungswert \(\mu=\mathrm{E}(r_{t})\) die Verteilung von (1) bzw. (2) extrem rechtsschief ist, vgl. Abb. 1.
Fasst man (1) bzw. (2) als Vermögensentwicklung einer Buy-and-Hold-Strategie auf, bei der beispielsweise in eine Einzelaktie investiert wird, so gilt weder die Rechtsschiefe noch die Aussage (3). Denn eine Einzelaktie hat stets eine (möglicherweise äußerst kleine) Ausfallwahrscheinlichkeit, d. h.
$$P(1+R_{t}=0)> 0\,,$$
was für die Logrendite \(\mathrm{E}(r_{t})=-\infty\) bedeutet. Die Verteilung von \(Y_{n+T}\) strebt dann gegen eine Einpunktverteilung über den Punkt 0. Bei einem Aktienindex werden jedoch schlecht performende Aktien rechtzeitig ersetzt, sodass kein Survivorship-Risiko besteht1 und die Rechtsschiefe der Verteilungen von (1) bzw. (2) sowie die Aussage (3) zutreffen.
Für normalverteilte Logrenditen \(r_{t}\) lässt sich zudem zeigen (vgl. Anhang 1):
Aus (3) und (4) geht hervor, dass für Langfrist-Prognosen weder der Erwartungswert (E) noch der Modalwert (Mod) eine verlässliche Orientierung bieten.
3 Zwei traditionelle Prognoseverfahren
Das erste der in diesem Abschnitt vorgestellten Verfahren wird zur besseren notationellen Unterscheidung von den weiteren Verfahren mit \(f_{1}(n,T)\) bezeichnet; \(f\) steht dabei für „forecast“. Es ist in der englischsprachigen Literatur als „compounding the arithmetic mean rate of return“ bekannt. Die Prognose \(\hat{Y}_{n+T}\) errechnet sich dann gemäß:
Die korrekte Bezeichnung wäre demnach „compounding the arithmetic mean rate of gross return“. Für die DAX-Historie bis 2017 würde die eingangs von Abschn. 1 gestellte Frage wegen \(\overline{1+R}=1{,}117\) folgendermaßen beantwortet:
Offensichtlich hat sich keiner der befragten Experten an diesem Prognoseverfahren orientiert. Die Schwäche dieses Verfahrens besteht darin, dass es auf den Erwartungswert abzielt. Ersetzt man nämlich in
\(\mu_{R}=\mathrm{E}(R_{t})\) durch die erwartungstreue Schätzung \(\hat{\mu}_{R}=\bar{R}\), so erhält man die Prognose (5). Berücksichtigt man zudem den Stichprobencharakter von \(\bar{R}\), so ergibt sich auf Grund der Jensenschen Ungleichung eine Überschätzung des (ohnehin zu optimistischen) Erwartungswertes \(\mathrm{E}(Y_{n+T})\):
Insgesamt erscheint dieses Verfahren wenig empfehlenswert zu sein.
Das zweite traditionelle Prognoseverfahren \(f_{2}(n,T)\) ist unter dem Namen „compounding the geometric mean rate of return“ bekannt. Es prognostiziert gemäß
Korrekt wäre auch hier die Verwendung von „gross return“ an Stelle von „return“. Die Bezeichnung erklärt sich folgendermaßen: Für das geometrische Mittel GM der Brutto-Renditen
was \(\mathrm{GM}=\mathrm{e}^{\bar{r}}\) und somit \(\mathrm{GM}^{T}=\mathrm{e}^{T\bar{r}}\) impliziert. Da das geometrische Mittel kleiner als das arithmetische Mittel ist, gilt
Punkten eine deutlich moderatere Prognose als beim ersten Verfahren (mit \(\widehat{\mathrm{DAX}}_{2047}\approx 360\,000\)).
In (7) wurde gezeigt, dass \(\mathrm{E}[f_{1}(n,T)]\) den Erwartungswert \(\mathrm{E}(Y_{n+T})\) der Targetvariablen systematisch überschätzt. Bei \(f_{2}(n,T)\) hängt es vom Größenvergleich der Problemdaten \(n\) und \(T\) ab, ob \(\mathrm{E}[f_{2}(n,T)]\geq\mathrm{E}(Y_{n+T})\) oder \(\mathrm{E}[f_{2}(n,T)]\leq\mathrm{E}(Y_{n+T})\) gilt. Mithilfe der Jensenschen Ungleichung kann man jedoch zeigen, dass \(f_{2}(n,T)\) den Median (Med) systematisch überschätzt:
gezeigt wurde. Für große \(T\) gilt demnach die Approximation in (9) in sehr guter Annäherung.
Im nächsten Abschnitt werden wir normalverteilte Logrenditen betrachten. Die Approximation (9) wird dann zur Gleichheit. Die Überschätzung des Medians kann dann quantifiziert – und somit auch eliminiert – werden.
4 Normalverteilte Logrenditen
Wie behalten für die Logrenditen \(r_{t}\) die i. i. d.-Annahme bei und verschärfen sie zu \(r_{t}\sim N(\mu;\sigma^{2})\). Wir bewegen uns damit in der Black/Scholes-Welt, die seit Black und Scholes (1973) in zahlreichen Papers (z. B. Bamberg und Dorfleitner 1999) zu Grunde gelegt wurde und als Standardmodell zur Optionsbewertung in allen einschlägigen Lehrbüchern (z. B. Braun 2009; Franke et al. 2015; Hirsa und Neftci 2014; Rudolph und Schäfer 2010; Trautmann 2007) zu finden ist. Die Annahme i. i. d. normalverteilter Logrenditen ist natürlich heroisch und kann nur eine Approximation an den wahren (aber unbekannten) stochastischen Prozess für die \(r_{t}\) sein. Zweck dieser häufig geforderten Prämisse ist stets, an Stelle einer kompliziert anzuwendenden iterativen Prozedur eine einfach anwendbare explizite Lösung zu erhalten. Diese muss sich allerdings im Vergleich zu anderen Lösungen empirisch bewähren. Das Motto ist also: „Unter den Blinden ist der Einäugige König.“
Unter den getroffenen Annahmen ist \(Y_{n+T}\) lognormalverteilt, genauer:
Wir bleiben zunächst bei Prognoseverfahren \(f_{2}(n,T)\), dem besseren der beiden Praktiker-Verfahren aus Abschn. 3, und untersuchen dessen Eigenschaften: Wegen \(\bar{r}\sim N(\mu;\frac{1}{n}\sigma^{2})\) und \(T\bar{r}\sim N(T\mu;\frac{1}{n}T^{2}\sigma^{2})\) ist \(\mathrm{e}^{T\bar{r}}\) gemäß \(\mathit{LN}(T\mu;\frac{1}{n}T^{2}\sigma^{2})\) verteilt. Der Median der Prognosefunktion \(f_{2}(n,T)\) ist mit dem Median der Targetvariablen identisch:
Diese Mediantreue, auf die bereits Hughson et al. (2006) hingewiesen haben, ist allerdings keine besonders überzeugende Eigenschaft. Sie besagt nur, dass mit fifty-fifty-Wahrscheinlichkeit die Prognose über oder unter dem wahren Median liegt; dies kann mit einem relativ großen Schätz- bzw. Prognosefehler einhergehen. Überzeugender ist das Kriterium der Erwartungstreue, da dieses auf einer quadratischen Verlustfunktion bezüglich des Prognosefehlers beruht und somit größere Fehler stärker bestraft, als es die der Mediantreue zu Grunde liegende Betrags-Verlustfunktion vermag.
Erwartungstreu bezüglich des Medians ist \(f_{2}(n,T)\) jedoch nicht, denn es gilt:
Man sieht hier die bereits in Abschn. 3 festgestellte Überschätzung des Medians. Diese Überschätzung kann man nun quantifizieren: Sie besteht aus dem Faktor
Nun machen wir uns eine Besonderheit von Jahresrenditen zu Nutze. Der Parameter \(\sigma\), geschätzt durch die Stichproben-Standardabweichung, ist empirisch relativ stabil und pendelt um den Wert 0,20. Für die 30 DAX-Daten bis 2017 ergibt sich beispielsweise der Wert 0,23. Und für den S&P 500 von 1926 bis 2001 erhalten Jacquier et al. (2003) beispielsweise den Schätzwert 0,203.
Der Skalierungsfaktor (10) kann infolgedessen gut abgeschätzt werden, indem man beispielsweise \(\sigma=0{,}23\) setzt oder einen Schätzwert aus der eigenen Historie verwendet. Damit kann die Überschätzung vermieden werden. Man muss nur \(f_{2}(n,T)\) mit dem Kehrwert von (10) multiplizieren. Der erwartungstreue Schätzer für den Median von \(Y_{n+T}\) ist infolgedessen
erwartungstreu schätzen. Die Prognoseprozedur \(f_{5}(n,T)\) ist bei Jacquier et al. (2003) vorgeschlagen worden. Da der Erwartungswert von \(Y_{n+T}\) auf Grund der rechtsschiefen Verteilung auf lange Sicht mit Wahrscheinlichkeit 1 unterschritten wird, ist \(f_{5}(n,T)\) aber trotz der Erwartungstreue kein gutes Prognoseverfahren.
Vergleicht man die beiden Schätzverfahren für den Median, nämlich den mediantreuen Schätzer \(f_{2}(n,T)\) und den erwartungstreuen Schätzer \(f_{3}(n,T)\) hinsichtlich der mittleren quadratischen Abweichung (mean squared error, MSE) bezüglich des Medians, so stellt man fest (vgl. Anhang 2):
Offensichtlich geht das Schätzverfahren \(f_{3}(n,T)\) aus \(f_{2}(n,T)\) durch Multiplikation mit dem Schrumpfungsfaktor \(\mathrm{e}^{-\frac{1}{2n}T^{2}\sigma^{2}}\) hervor. Man kann sich natürlich fragen, ob dies der MSE-optimale Schrumpfungsfaktor ist. Im Anhang 3 wird gezeigt, dass der MSE-optimale Faktor noch kleiner ist, nämlich \(\mathrm{e}^{-\frac{3}{2n}T^{2}\sigma^{2}}\). Vergleicht man den daraus resultierenden (verzerrten) Schätzer \(Y_{n}\cdot\mathrm{e}^{T\bar{r}-\frac{3}{2n}T^{2}\sigma^{2}}\) aber mit dem Modalwert-Schätzer \(f_{4}(n,T)\), so erkennt man, dass eine zu pessimistische Prognose entsteht: Für \(T=n\) sind beide Schätzer identisch; für \(T> n\) liegt man noch unter dem pessimistischen Modalwert-Schätzer. Der beste Kompromiss ist demnach das Prognoseverfahren \(f_{3}(n,T)\), welches den Median \(\mathrm{Med}(Y_{n+T})\) erwartungstreu schätzt.
Die Prognosefunktion \(f_{3}(n,T)\) ist bereits bei Kan und Zhou (2009) zu finden. Primäre Zielsetzung bei Kan und Zhou ist jedoch die Berücksichtigung des Stichprobencharakters von \(\sigma\) in der jeweiligen Prognosefunktion für den Median und die Quantile. Die Komplexität wächst hierdurch beträchtlich. So tritt an die Stelle unseres Korrekturfaktors (10) eine (konvergente) unendliche Summe. Außerdem sind die Prognoseergebnisse von der Länge der Abtastperiode abhängig; die Verwendung von Monatsdaten an Stelle von Jahresdaten kann zu anderen Prognosewerten führen.
Da sich unsere Arbeit an praxisorientierte Anwender richtet, bleiben wir bei der Vereinfachung, \(\sigma\) konstant zu setzen, wobei der numerische Wert von \(\sigma\) empirisch begründet ist. Diese Vereinfachung ermöglicht es zudem, die Frage zu beantworten, bis zu welchem Prognosehorizont \(T\) (bei gegebener Historie der Länge \(n\)) Prognosen überhaupt sinnvoll sind. Diese Frage werden wir im nächsten Abschnitt (insbesondere in Abschn. 5.2) beantworten.
5 Evaluation der Prognosegüte
5.1 Ex-ante-Prognosen für den DAX
Die Praktiker-Verfahren \(f_{1}(n,T)\) und \(f_{2}(n,T)\) wurden in Abschn. 3 diskutiert, und das von uns präferierte für den Median (Med) erwartungstreue Prognoseverfahren \(f_{3}(n,T)\) wurde in Abschn. 4 begründet. Zu Vergleichszwecken wurden in der Tab. 1 noch drei weitere Prognoseverfahren berücksichtigt, nämlich der erwartungstreue Schätzer \(f_{4}(n,T)\) für den Modalwert (Mod), der erwartungstreue Schätzer \(f_{5}(n,T)\) für den Erwartungswert (E) sowie das von Jacquier et al. (2003) als „textbook rule“ bezeichnete Prognoseverfahren
welches aus \(f_{3}(n,T)\) hervorgeht, wenn man \(n\to\infty\) unterstellt und somit den Stichprobencharakter von \(\bar{r}\) ausblendet; der Anwender ist dann allwissend und kennt das ‚wahre \(\mu\)‘, welches er mit dem beobachteten \(\bar{r}\) gleichsetzt. Dann ist \(f_{6}(n,T)\) der Erwartungswert des lognormalverteilten \(Y_{n+T}\). Alle Prognoseverfahren haben die Form \(\hat{Y}_{n+T}=Y_{n}\cdot V\), also ein Produkt aus dem letzten Index-Stand \(Y_{n}\) und einem Veränderungsfaktor \(V\). Der Übersichtlichkeit halber sind in Tab. 1 nur die jeweiligen Prognosen dieses Veränderungsfaktors eingetragen worden.
Tab. 1
Prognosen des Veränderungsfaktors; \(n=30\); \(\bar{r}=0{,}085\); \(\bar{R}=0{,}117\); \(\sigma=0{,}23\)
Prognosen des Veränderungsfaktors
Erwartungstreue Schätzer
Praktiker-Verfahren
Lehrbuch-Regel
\(T\)
Mod
Med
E
\(\mathrm{e}^{T\bar{r}}\)
\((1+\bar{R})^{T}\)
\(\mathrm{e}^{T\bar{r}+\frac{1}{2}T\sigma^{2}}\)
10
1,26
2,14
2,79
2,34
3,01
3,05
20
1,34
3,85
6,53
5,47
9,08
9,29
30
1,19
5,79
12,81
12,81
27,35
27,94
Um ein Gefühl für die Größenordnung dieser Werte zu entwickeln, sei erwähnt, dass ein Veränderungsfaktor \(> 7{,}7\) bezüglich der Eingangsfrage in Abschn. 1 (unrealistische) Prognosewerte von über 100 000 bewirken würde. Dementsprechend kann man der letzten Zeile von Tab. 1 entnehmen, dass vier der konkurrierenden Verfahren bezüglich der Eingangsfrage viel zu optimistische Prognosen generieren und der erwartungstreue Schätzer für den Modalwert eine viel zu pessimistische Prognose. Ferner erkennt man aus der Tabelle, dass \(f_{3}(30,30)\) die Eingangsfrage folgendermaßen beantwortet:
Diese Prognose liegt sehr nahe an der von Eckert und Zschäpitz (2018) berichteten durchschnittlichen Experten-Erwartung in Höhe von 74 375 Punkten.
5.2 Zum Zusammenhang zwischen Prognosehorizont und Historie
Aus Anwendersicht ist natürlich die Frage bedeutsam, bis zu welchem Prognosehorizont \(T\) Prognosen überhaupt sinnvoll sind, d. h. ‚wie langfristig‘ Langfrist-Prognosen höchstens sein sollten. Ist andererseits \(T\) vorgegeben (wie in der Eingangsfrage in Abschn. 1, welche sich auf einen Prognosehorizont von 30 Jahren bezieht), wäre zu klären, wie viele Jahre \(n\) die vorliegende Historie zurückreichen muss, um für diesen Prognosehorizont sinnvoll Prognosen anstellen zu können. Diese Fragen wollen wir im Folgenden für den von uns präferierten und in (11) definierten Median-Schätzer \(f_{3}(n,T)\) klären.
Nahe liegende Antworten erhält man, wenn man die Aussage „Forecasts are useless whenever the forecast error variance fails to be smaller than the unconditional variance of the target variable“ von Breitung und Knüppel (2021) in unseren Kontext überträgt und fordert, dass die Streuung des Median-Schätzers \(f_{3}(n,T)\) kleiner als die der Targetvariablen \(Y_{n+T}\) sein soll.
Da hier der Median der Targetvariablen geschätzt werden soll und dieser nicht mit deren Erwartungswert übereinstimmt, ist die Varianz als Streuungsmaß für unsere Zwecke ungeeignet; stattdessen legen wir die mittlere quadratische Abweichung bezüglich des Medians zu Grunde.2 Für die Targetvariable \(Y_{n+T}\) ergibt sich dann (vgl. Anhang 4):
Eine Prognose mit \(f_{3}(n,T)\) ist dann nach dem obigen Kriterium sinnvoll, falls \(\mathrm{MSE}[f_{3}(n,T)]<\mathrm{MSE}(Y_{n+T})\) gilt, d. h. falls
zutrifft. Man beachte, dass die rechte Seite von (12) von \(n\) unabhängig ist. Wählt man, wie in der Eingangsfrage, einen Prognosehorizont \(T\) in Höhe von \(n\), so ist die Bedingung (12) unabhängig von den konkreten Zahlenwerten von \(T\) und \(\sigma\) stets erfüllt (vgl. Anhang 5). Für kürzere Prognosehorizonte \(T<n\) gilt (12) erst recht. Folglich erfüllt \(f_{3}(n,T)\) das obige Kriterium auf jeden Fall, sofern man nicht weiter in die Zukunft prognostizieren möchte als die vorliegende Historie in die Vergangenheit zurückreicht.
Anderenfalls, falls der Prognosehorizont \(T\) also größer als die Historie \(n\) ist, existieren Schwellenwerte für \(T\) (bei gegebenem \(n\)) bzw. für \(n\) (bei gegebenem \(T\)), mit denen sich die zu Beginn dieses Abschnittes aufgeworfenen Anwendungsfragen nach dem maximal sinnvollen Prognosehorizont bzw. nach der für einen bestimmten Prognosehorizont mindestens benötigten Historie beantworten lassen. Während die letztere Frage offenkundig durch
beantwortet wird, können exakte Schwellenwerte für \(T\) nur numerisch bestimmt werden. Tab. 2 berichtet einige dieser Schwellenwerte unter der Annahme der bereits für Tab. 1 verwendeten Parametrisierung \(\sigma=0{,}23\). Die Schwellenwerte wurden auf den jeweils nächsten ganzzahligen Wert abgerundet (im Falle von \(T\)) bzw. aufgerundet (im Falle von \(n\)). Tab. 2 kann beispielsweise entnommen werden, dass Prognosen mit \(f_{3}(30,T)\) für Prognosehorizonte von bis zu 59 Jahren sinnvoll im Sinne des obigen Kriteriums sind. Dies trifft insbesondere auch auf die für Tab. 1 gewählten Werte von \(T\) zu.
Tab. 2
Schwellenwerte für den Prognosehorizont bei gegebener Historie und vice versa; Prognose mit \(f_{3}(n,T)\); \(\sigma=0{,}23\)
Schwellenwerte für den Prognosehorizont \(T\)
Schwellenwerte für die Historie \(n\)
gegebenes \(n\)
maximales \(T\)
gegebenes \(T\)
minimales \(n\)
3
3
3
3
5
7
5
4
10
17
10
7
20
39
20
11
30
59
30
16
40
79
40
21
50
99
50
26
Des Weiteren legen die in Tab. 2 zusammengetragenen Schwellenwerte für längere Prognosehorizonte bzw. Historien (in der Tabelle jeweils ab 20 Jahren) die Faustregel nahe, dass der Prognosehorizont \(T\) das Doppelte der Historie \(n\) nicht übersteigen sollte. Diese Faustregel lässt sich folgendermaßen rechtfertigen: Für wachsende Werte von \(T\) (und festes \(\sigma\)) wird der Unterschied zwischen \(\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}+2\cdot(1-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}T\sigma^{2}})\) und \(\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}\) immer mehr vernachlässigbar. Anhang 6 belegt, dass das Verhältnis dieser beiden Terme bei \(T=\frac{2}{\sigma^{2}}\cdot\ln\frac{4}{3}\) einen Minimalwert in Höhe von ca. 0,8 erreicht und sodann für wachsendes \(T\) gegen den Grenzwert 1 strebt. Im Fall von DAX-Prognosen mit \(\sigma=0{,}23\) befindet sich dieses Minimum bei einem Prognosehorizont in Höhe von \(10{,}88\approx 11\) Jahren. Für Langfrist-Prognosen dürfte dies eine eher moderate Einschränkung darstellen, erklärt aber andererseits, wieso die Faustregel \(T<2n\) in den Fällen der ersten Zeilen von Tab. 2 noch keine überzeugenden Abschätzungen liefert.
Substituiert man nun \(\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}+2\cdot(1-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}T\sigma^{2}})\) in (13) unter Berufung auf obiges Resultat durch \(\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}\), so erhält man die Bedingung \(n> \frac{T}{2}\), welche natürlich genau der Faustregel
$$T<2n$$
(14)
entspricht. Diese gilt dann (sofern \(T> \frac{2}{\sigma^{2}}\cdot\ln\frac{4}{3}\) gewährleistet ist) unabhängig vom konkreten Wert des Parameters \(\sigma\).
Schließlich sei noch erwähnt, dass zum Zeitpunkt der Einreichung dieses Aufsatzes (im Jahr 2023) eine DAX-Zeitreihe der Länge \(n=35\) Jahre vorlag. Für diese erfüllt der Median-Schätzer \(f_{3}(n,T)\) (unter der Annahme \(\sigma=0{,}23\)) das an Breitung und Knüppel (2021) angelehnte Kriterium, falls \(T\leq 69\) Jahre gilt. Da sich die Eingangsfrage ‚nur‘ auf einen Prognosehorizont von 30 Jahren bezieht, erscheint der Median-Schätzer auch in dieser Hinsicht zur Beantwortung der Eingangsfrage geeignet zu sein.
5.3 Ex-post-Prognosen für den DAX
In den vorangegangenen Abschnitten wurde dargelegt, dass der erwartungstreue Median-Schätzer \(f_{3}(n,T)\) gemäß (11) dem besten ‚Praktiker-Verfahren‘ \(f_{2}(n,T)\) gemäß (8) aus methodischen Gründen vorzuziehen ist. Versucht man, eine solche methodische Präferenz ‚numerisch zu begründen‘, so ist die Versuchung groß, für sehr viele Szenarien Vergleiche durchzuführen, die ‚ungünstigen Ergebnisse‘ beiseite zu schieben und primär die ‚günstigen Ergebnisse‘ zu präsentieren. Gerade in unserem Kontext bietet das Datenmaterial beträchtlichen Spielraum hierfür: Man kann unter vielen Performance-Indizes auswählen, spezielle Zeitperioden betrachten, bestimmte Prognosehorizonte herauspicken, verschiedene Prognosefehler-Maße ausprobieren etc. Der Leser ist natürlich nicht in der Lage, dies zu erkennen. Wir versichern aber, dass wir keinerlei einschlägige Versuche unternommen haben und beschränken uns im Folgenden auf eine ‚anekdotische Evidenz‘. Wir betrachten lediglich den DAX und die zugehörige Zeitreihe von Jahresendkursen. Dies ist nahe liegend, da die vorliegende Arbeit durch den DAX und insbesondere durch die Eingangsfrage „Wo wird der DAX Ende 2047 stehen?“ motiviert wurde.
Wir berechnen Zehnjahres-Prognosen, setzen also \(T=10\). Gemäß Tab. 2 setzt dies eine Historie von mindestens \(n=7\) Jahren voraus. Diesen Schwellenwert überschreiten wir in Tab. 4, indem wir die DAX-Schlussstände von 1987 bis 1997 als ‚Vorlauf‘ nutzen und dann \(n\) von Jahr zu Jahr inkrementieren. Ebenso legitim im Sinne von Abschn. 5.2 sind die Prognosen in Tab. 5, in der wir \(n=10\) fixieren. In Tab. 6 berichten wir schließlich Prognosen unter Verwendung einer (im Sinne von Tab. 2 zu kurzen) Historie von \(n=5\) Jahren. In den Tab. 4 und 5 sind die ersten Zehnjahres-Prognosen \(\widehat{\mathrm{DAX}}\) für 2007 möglich. Aus Konsistenzgründen beginnen wir auch in Tab. 6 mit Ex-post-Prognosen für 2007. Zur besseren Nachvollziehbarkeit sind in Tab. 3 die DAX-Schlusskurse der Jahre 1987 bis 2006 zusammengestellt. Die späteren Schlusskurse sind in den Tab. 4 bis 6 zu finden.
Tab. 3
DAX-Schlusskurse für die Jahre 1987 bis 2006
Jahr
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
Kurs
1000,00
1327,87
1790,37
1398,23
1577,98
1545,05
2266,68
2106,58
2253,88
2888,69
Jahr
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Kurs
4249,69
5002,39
6958,14
6433,61
5160,10
2892,63
3965,16
4256,08
5408,26
6596,92
In Tab. 4 ist das Mittel \(\bar{r}\) der Logrenditen jeweils
wobei \(n\) die Anzahl Jahre nach Ultimo 1987 zählt. In Tab. 4 bzw. 5 ist \(n\) auf 10 bzw. 5 fixiert, und es werden für die Prognosen im Jahr \(t\) die Logrenditen \(\frac{1}{10}\cdot\ln(\mathrm{DAX}_{t}/\mathrm{DAX}_{t-10})\) bzw. \(\frac{1}{5}\cdot\ln(\mathrm{DAX}_{t}/\mathrm{DAX}_{t-5})\) verwendet. Für \(n=10\) erhält man beispielsweise \(\bar{r}=\frac{1}{10}\cdot\ln(4249{,}69/1000)\approx 0{,}145\) im Jahr 1997. Die Zehnjahres-Prognosen für 2007 sind dann (ohne Rundung von \(\bar{r}\))
Realisierte DAX-Schlusskurse und Ex-post-Prognosen mit inkrementellem \(n\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{2}(n,10)\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{3}(n,10)\)
Jahr
realisierter DAX-Schlusskurs
Prognose
absoluter Fehler
Prognose
absoluter Fehler
bessere Prognose
2007
8 067,32
18 060
9 993
13 863
5 796
\(f_{3}\)
2008
4 810,20
21 617
16 807
16 997
12 187
\(f_{3}\)
2009
5 957,43
35 041
29 084
28 109
22 152
\(f_{3}\)
2010
6 914,19
26 937
20 023
21 978
15 064
\(f_{3}\)
2011
5 898,35
16 661
10 763
13 793
7 895
\(f_{3}\)
2012
7 612,39
5 872
1 740
4 923
2 689
\(f_{2}\)
2013
9 552,16
9 379
173
7 950
1 602
\(f_{2}\)
2014
9 805,55
9 977
171
8 540
1 266
\(f_{2}\)
2015
10 743,01
13 814
3 071
11 926
1 183
\(f_{3}\)
2016
11 481,06
17 806
6 325
15 492
4 011
\(f_{3}\)
2017
12 917,64
22 914
9 996
20 075
7 157
\(f_{3}\)
2018
10 558,96
10 163
396
8 960
1 599
\(f_{2}\)
2019
13 249,01
13 408
159
11 889
1 360
\(f_{2}\)
2020
13 718,78
16 027
2 308
14 286
567
\(f_{3}\)
2021
15 884,86
12 356
3 529
11 066
4 819
\(f_{2}\)
2022
13 923,59
17 145
3 221
15 423
1 499
\(f_{3}\)
mittlerer absoluter Fehler
7 360
5 678
\(f_{3}\)
Tab. 5
Realisierte DAX-Schlusskurse und Ex-post-Prognosen mit \(n=10\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{2}(10,10)\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{3}(10,10)\)
Jahr
realisierter DAX-Schlusskurs
Prognose
absoluter Fehler
Prognose
absoluter Fehler
bessere Prognose
2007
8 067,32
18 060
9 993
13 863
5 796
\(f_{3}\)
2008
4 810,20
18 845
14 035
14 465
9 655
\(f_{3}\)
2009
5 957,43
27 042
21 085
20 757
14 800
\(f_{3}\)
2010
6 914,19
29 603
22 689
22 723
15 809
\(f_{3}\)
2011
5 898,35
16 874
10 976
12 952
7 054
\(f_{3}\)
2012
7 612,39
5 416
2 196
4 157
3 455
\(f_{2}\)
2013
9 552,16
6 936
2 616
5 324
4 228
\(f_{2}\)
2014
9 805,55
8 599
1 207
6 600
3 206
\(f_{2}\)
2015
10 743,01
12 977
2 234
9 961
782
\(f_{3}\)
2016
11 481,06
15 065
3 584
11 564
83
\(f_{3}\)
2017
12 917,64
15 314
2 396
11 755
1 163
\(f_{3}\)
2018
10 558,96
4 625
5 934
3 550
7 009
\(f_{2}\)
2019
13 249,01
5 101
8 148
3 915
9 334
\(f_{2}\)
2020
13 718,78
7 431
6 288
5 704
8 015
\(f_{2}\)
2021
15 884,86
6 742
9 143
5 175
10 710
\(f_{2}\)
2022
13 923,59
20 033
6 109
15 377
1 453
\(f_{3}\)
mittlerer absoluter Fehler
8 040
6 410
\(f_{3}\)
Tab. 6
Realisierte DAX-Schlusskurse und Ex-post-Prognosen mit \(n=5\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{2}(5,10)\)
Ex-post-Prognose mittels \(f_{3}(5,10)\)
Jahr
realisierter DAX-Schlusskurs
Prognose
absoluter Fehler
Prognose
absoluter Fehler
bessere Prognose
2007
8 067,32
32 150
24 083
18 943
10 876
\(f_{3}\)
2008
4 810,20
24 364
19 554
14 355
9 545
\(f_{3}\)
2009
5 957,43
75 914
69 957
44 728
38 771
\(f_{3}\)
2010
6 914,19
52 421
45 507
30 886
23 972
\(f_{3}\)
2011
5 898,35
16 465
10 567
9 701
3 803
\(f_{3}\)
2012
7 612,39
1 340
6 272
790
6 822
\(f_{2}\)
2013
9 552,16
2 491
7 061
1 468
8 084
\(f_{2}\)
2014
9 805,55
1 592
8 214
938
8 868
\(f_{2}\)
2015
10 743,01
3 822
6 921
2 252
8 491
\(f_{2}\)
2016
11 481,06
10 782
699
6 353
5 128
\(f_{2}\)
2017
12 917,64
62 748
49 830
36 971
24 053
\(f_{3}\)
2018
10 558,96
7 079
3 480
4 171
6 388
\(f_{2}\)
2019
13 249,01
11 672
1 577
6 877
6 372
\(f_{2}\)
2020
13 718,78
11 301
2 418
6 658
7 061
\(f_{2}\)
2021
15 884,86
4 715
11 170
2 778
13 107
\(f_{2}\)
2022
13 923,59
6 778
7 146
3 994
9 930
\(f_{2}\)
mittlerer absoluter Fehler
17 154
11 954
\(f_{3}\)
Als Maße für den Prognosefehler verwenden wir nur das binäre Maß („Welche Prognose ist näher an der Realität?“, vgl. die jeweils letzten Spalten der Tab. 4 bis 6) sowie den mittleren absoluten Fehler, nicht jedoch komplexere Maße, welche z. B. auf quadratischen Prognosefehlern (wie die Theilschen Maße) basieren.
In Tab. 4 generierte für insgesamt zehn der 16 betrachteten Jahre der erwartungstreue Median-Schätzer \(f_{3}\) Prognosen, die näher an den realisierten Schlusskursen lagen, während das beste ‚Praktiker-Verfahren‘ \(f_{2}\) nur in sechs Fällen die bessere Prognose lieferte. Auch der vergleichsweise deutlich kleinere mittlere absolute Prognosefehler in Höhe von 5678 bei \(f_{3}\) im Vergleich zu 7360 bei \(f_{2}\) spricht unseres Erachtens für den erwartungstreuen Median-Schätzer. Ähnlich vorteilhaft stellt sich \(f_{3}\) auch in Tab. 5 dar. Hier lieferte der erwartungstreue Median-Schätzer für neun der 16 betrachteten Jahre bessere Ex-post-Prognosen, und sein mittlerer absoluter Prognosefehler ist gegenüber \(f_{2}\) um fast den gleichen Betrag kleiner wie im Szenario aus Tab. 4. Im Vergleich zu jenem Szenario fallen allerdings bei der hier auf \(n=10\) Jahre fixierten Historie die mittleren Prognosefehler beider Schätzer größer aus. Dies deutet darauf hin, dass die Einbeziehung auch älterer Werte – zumindest im hier betrachteten Anwendungskontext – zu verlässlicheren Prognosen führen kann. Dementsprechend schlägt sich die Halbierung der Historie in Tab. 6 gegenüber Tab. 5 in drastisch höheren Prognosefehlern nieder. Die Beurteilung, ob die in Tab. 6 berichteten Prognosen noch praktisch zu gebrauchen sind, überlassen wir gerne dem Leser. Jedenfalls wird hier sowohl die Empfehlung gemäß Tab. 2 als auch die Faustregel (14) verletzt. Möchte man trotzdem mit einer Historie von nur fünf Jahren eine Zehnjahres-Prognose anstellen, so deuten die Ergebnisse in Tab. 6 darauf hin, dass auch dies mit dem erwartungstreuen Median-Schätzer \(f_{3}\) besser als mit dem besten ‚Praktiker-Verfahren‘ \(f_{2}\) gelingen dürfte.
6 Zusammenfassung und Ausblick
Zur Beantwortung der eingangs gestellten Frage: „Wo wird der DAX in 30 Jahren stehen?“ haben wir sechs Prognoseverfahren diskutiert, darunter drei erwartungstreue Schätzer (für den Modalwert, den Median und den Erwartungswert) sowie zwei ‚Praktiker-Verfahren‘. Es zeigt sich, dass Prognosen, die auf den Modalwert der Targetvariablen abzielen, viel zu pessimistisch sind, wenn letztere extrem rechtsschief verteilt ist, was insbesondere auf Performance-Indizes am Prognosehorizont zutrifft. Dagegen sind Prognosen, die auf den Erwartungswert abzielen, dann zu optimistisch. Deshalb plädieren wir für den Median als Basis für die Prognose. Die beiden ‚Praktiker-Verfahren‘ \(f_{1}(n,T)\) bzw. \(f_{2}(n,T)\) überschätzen systematisch den Median (\(f_{2}(n,T)\)) bzw. gar den Erwartungswert (\(f_{1}(n,T)\)) und sind insofern aus unserer Sicht für die Beantwortung der Eingangsfrage weniger geeignet.
Als Alternative schlagen wir mit \(f_{3}(n,T)\) ein Prognoseverfahren vor, welches unter der Annahme normalverteilter Logrenditen erwartungstreu für den Median der Targetvariablen ist. Es zeigt sich, dass die mittlere quadratische Abweichung bezüglich des Medians im Fall von \(f_{3}(n,T)\) geringer als die von \(f_{2}(n,T)\) ist und dass \(f_{3}(n,T)\) im Hinblick auf die Eingangsfrage, wo der DAX Ende 2047 stehen wird, der durchschnittlichen Experten-Erwartung sehr nahe kommt. Dieser Schätzer scheint insofern für Langfrist-Prognosen geeignet(er) zu sein, was die Frage aufwirft, bis zu welchen Prognosehorizonten er sinnvoll eingesetzt werden kann. Zu deren Beantwortung fordern wir in Anlehnung an Breitung und Knüppel (2021), dass die Streuung des Schätzers die der Targetvariablen unterschreitet. Letztere Forderung mündet für \(f_{3}(n,T)\) in der Faustregel, dass der Prognosehorizont das Doppelte der Historie nicht übersteigen sollte.
Zur Illustration vergleichen wir das von uns präferierte Verfahren \(f_{3}(n,T)\) mit dem besten ‚Praktiker-Verfahren‘ \(f_{2}(n,T)\) unter Verwendung von DAX-Daten bis 2022. Es zeigt sich, dass der erwartungstreue Median-Schätzer im Allgemeinen bessere Prognosen liefert. Insbesondere ist sein mittlerer absoluter Prognosefehler in allen untersuchten Szenarien kleiner als der des besten ‚Praktiker-Verfahrens‘ – selbst wenn die Faustregel, dass der Prognosehorizont das Doppelte der Historie nicht übersteigen sollte, verletzt ist.
Wie die meisten Analysen ist auch die vorliegende nicht frei von Angriffspunkten bzw. Erweiterungsmöglichkeiten. So haben wir die Aussagen über die Eigenschaften des von uns präferierten Prognoseverfahrens \(f_{3}(n,T)\) unter der Annahme normalverteilter Logrenditen getroffen. Weicht man von dieser Annahme ab, insbesondere von der damit verbundenen Rechtsschiefe, wird man zu anderen Schlussfolgerungen gelangen. Somit stellt sich die Frage nach der empfehlenswerten Schätzprozedur, wenn man sich nicht in der Lage sieht, Verteilungsaussagen bezüglich der Targetvariablen zu treffen. Zudem basiert unser Vergleich der beiden Prognoseverfahren \(f_{2}(n,T)\) und \(f_{3}(n,T)\) ausschließlich auf der realisierten DAX-Historie. Man könnte die Untersuchung durch Sensitivitätsanalysen ergänzen, etwa indem man beliebige Renditezeitreihen oder durch Resampling gewonnene Zeitreihen verwendet. Diese Punkte stehen auf unserer Forschungsagenda.
Danksagung
Wir danken dem Herausgeber und zwei anonymen Gutachtern für zahlreiche wertvolle Hinweise.
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wobei \(\Phi\) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Also überschreitet die Targetvariable \(Y_{n+T}\) ihren Modalwert asymptotisch mit Wahrscheinlichkeit 1. □
Das Prognoseverfahren \(f_{3}(n,T)\) hat einen geringeren MSE bezüglich des Medians als das Prognoseverfahren \(f_{2}(n,T)\)
Also ist die mittlere quadratische Abweichung des erwartungstreuen Schätzers \(f_{3}(n,T)\) bezüglich des Medians geringer als die des mediantreuen Schätzers \(f_{2}(n,T)\).□
Der MSE-optimale Schrumpfungsfaktor ist \(\mathrm{e}^{-\frac{3}{2n}T^{2}\sigma^{2}}\)
Beweis
Lassen wir den für die Minimierung irrelevanten positiven Faktor \(Y_{n}\) weg, so ist
bezüglich \(\beta\) zu minimieren. Da diese mittlere quadratische Abweichung konvex in \(\beta\) ist, genügt die Auswertung folgender Bedingung erster Ordnung:
Für \(T=n\) vereinfacht sich die linke Seite von (12) zu \(\mathrm{e}^{T\sigma^{2}}\). Kürzt man diesen Term mit \(x\) ab, so wird die Bedingung (12) zu:
Da die einzige Nullstelle der Funktion \(f(x)=x^{2}-x+2\cdot(1-\sqrt{x})\) bei \(x=1\) (und damit wegen \(x=\mathrm{e}^{T\sigma^{2}}> 1\) außerhalb des Definitionsbereichs) liegt und für \(x> 1\) zudem
gilt, folgt offenkundig \(f(x)> 0\) für alle \(x> 1\) und mithin die Gültigkeit von (12).
□
\(\left[\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}+2\cdot\left(1-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}T\sigma^{2}}\right)\right]:\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}\) erreicht bei \(T=\frac{2}{\sigma^{2}}\cdot\ln\frac{4}{3}\) ein globales Minimum und strebt sodann für wachsendes \(T\) gegen eins
Beweis
Substitutiert man \(\mathrm{e}^{T\sigma^{2}}\) wieder (wie im Anhang 5) durch \(x\), so kann man das Verhältnis \([\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}+2\cdot(1-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}T\sigma^{2}})]:\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}\) als Funktion vom Typ
$$f(x)=1+\frac{2\cdot(1-\sqrt{x})}{x^{2}}$$
darstellen. Dass \(f(x)\) für \(T\to\infty\) (und somit auch \(x\to\infty\)) gegen den Grenzwert 1 strebt, ist offenkundig. Allerdings interessiert hier insbesondere, ab welchem Wert von \(T\) man \(x^{2}\) als brauchbare Annäherung an \(x^{2}+2\cdot(1-\sqrt{x})\) ansehen kann, wann also \(f(x)\) dem Grenzwert ‚nahe genug‘ kommt. Um dies zu klären, sei zunächst festgehalten, dass \(f(x)\) wegen \(x> 1\) und somit
in Verbindung mit \(f^{\prime\prime}(\frac{16}{9})\approx 0{,}2> 0\) an der Stelle \(x=\frac{16}{9}\) ein einziges (und damit globales) Minimum besitzt. Während \(f(x)\) für \(x<\frac{16}{9}\) streng monoton fällt, strebt \(f(x)\) für \(x> \frac{16}{9}\) streng monoton wachsend gegen den Grenzwert 1. Der Wert von \(f(x)\) beträgt an der Minimalstelle bereits \(f(\frac{16}{9})\approx 0{,}79\). Für \(x> \frac{16}{9}\) bewegt sich demnach das interessierende Verhältnis \([\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}+2\cdot(1-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}T\sigma^{2}})]:\mathrm{e}^{2T\sigma^{2}}\) (streng monoton wachsend) zwischen ca. 80 und 100 Prozent. Wegen \(x=\mathrm{e}^{T\sigma^{2}}\) entspricht \(x> \frac{16}{9}\) der Bedingung \(T> \frac{2}{\sigma^{2}}\cdot\ln\frac{4}{3}\) bezüglich des Prognosehorizonts.□
Streng genommen existiert ein Restrisiko, wenn der Aktienindex ein Länderindex (und kein Weltindex) ist. Und selbst bei einem Weltindex ist ein Restrisiko denkbar, wenn der Index in Form eines handelbaren Produkts (z. B. ETF) gekauft wird. Auch von diesem Emittentenrisiko wollen wir hier absehen.
Da der Median die erwartete absolute Abweichung minimiert, ist alternativ zur mittleren quadratischen Abweichung die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians ein nahe liegendes Streuungsmaß. Wir haben deshalb auch für dieses Streungsmaß den Zusammenhang zwischen Prognosehorizont und Historie untersucht und konnten viele der im Folgenden berichteten Ergebnisse reproduzieren. So etwa, dass das an Breitung und Knüppel (2021) angelehnte Kriterium für Prognosehorizonte \(T\leq n\) unabhängig von der konkreten Parametrisierung stets erfüllt ist. Allerdings gestaltete sich die zugehörige Analyse formal deutlich aufwändiger. Weil wir die Arbeit nicht technisch überfrachten und zudem möglichst nahe bei dem durch Breitung und Knüppel (2021) inspirierten Kriterium bleiben wollen, beschränken wir uns im Folgenden darauf, die für die mittlere quadratische Abweichung gewonnenen Ergebnisse zu berichten.
Bamberg G, Dorfleitner G (1999) Ein Modell zur Analyse des Limitorder-Tradings in Index-Futures-Märkten. Oper Res Spectr 21:239–257CrossRefMATH
Black F, Scholes M (1973) The pricing of options and corporate liabilities. J Polit Econ 81:637–654MathSciNetCrossRefMATH
Braun T (2009) Investition und Finanzierung. Springer, Berlin, Heidelberg
Breitung J, Knüppel M (2021) How far can we forecast? Statistical tests of the predictive content. J Appl Econometrics 36:369–392MathSciNetCrossRef
