Lehrbuch der Algebra

Frontmatter

I. Grundbegriffe der Mengenlehre

Zusammenfassung

In diesem Kapitel über Mengenlehre sollen einige Grundbegriffe und Schreibweisen angeführt und einige einfache Sätze bewiesen werden, soweit sie im weiteren benutzt werden. Mehr als ein naives Verständnis der Anfänge der Mengenlehre brauchen wir nicht. Für genauere Auskünfte sei auf P. R. Halmos [16] sowie auf J. Schmidt [32] und die dort angegebene Grundlagenliteratur aufmerksam gemacht.

Günter Scheja, Uwe Storch

II. Gruppen und Ringe

Zusammenfassung

Grundaufgabe der Algebra ist die Untersuchung von Mengen mit Verknüpfungen.

Günter Scheja, Uwe Storch

III. Moduln und Algebren

Zusammenfassung

Sei A ein Ring. Eine große Rolle spielen Operationen von A auf abelschen Gruppen V, die mit den Verknüpfungen von A und V verträglich sind. Wir beginnen mit der folgenden allgemeinen Definition.

Günter Scheja, Uwe Storch

IV. Homomorphismen von Gruppen und Ringen

Zusammenfassung

In der Algebra kommt es wesentlich auf die Struktur von Verknüpfungen an; man abstrahiert mit Vorteil von den speziellen Eigenschaften der Elemente der zugrunde liegenden Mengen. Die Strukturgleichheit von Verknüpfungen wird dabei mit dem Begriff der Isomorphie präzisiert.

Günter Scheja, Uwe Storch

V. Homomorphismen von Moduln

Zusammenfassung

Sei A ein Ring. Wir betrachten Moduln über A und Abbildungen, die die A-Modul-Strukturen respektieren.

Günter Scheja, Uwe Storch

VI. Determinanten

Zusammenfassung

Sei M eine endliche Menge mit n:= |M| Elementen und sei \( \mathfrak{S} = \mathfrak{S}(M) \) die Gruppe der Permutationen von M, d.h. die Gruppe der bijektiven Abbildungen von M auf sich mit der Komposition als Verknüpfung. Wir bezeichnen die Elemente von G mit kleinen griechischen Buchstaben: σ, τ,…. Die Menge Fix _σ M der Fixpunkte von \( \sigma \in \mathfrak{S} \) bezeichnen wir hier mit M ^σ , also

$$ {{M}^{\sigma }} = :\left\{ {a \in M:\sigma a = a} \right\}. $$

Günter Scheja, Uwe Storch

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