Lineare Algebra und Geometrie

Frontmatter

Kapitel 1. Allgemeine Grundbegriffe

Zusammenfassung

Wir betrachten Mengen A, B, C,.... Ohne auf eine formallogische Begründung einzugehen, soll es für uns genügen, eine Menge A als eine Zusammenfassung von Objekten x,y,z,... zu betrachten. Ein Objekt x der Menge A heißt Element, und wir bezeichnen mit x ∊ A, daß x zu der Menge A gehört. Gelegentlich beschreiben wir eine Menge A auch in der Form {x, y, z,...}, d. h., wir führen die Elemente in A explizit auf.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 2. Vektorräume

Zusammenfassung

Nachdem wir in Kapitel 1 Gruppen und Ringe sowie Körper eingeführt haben, kommen wir jetzt zu einem Begriff, der für die gesamte Analytische Geometrie von grundlegender Bedeutung ist.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 3. Matrizen

Zusammenfassung

Von jetzt an betrachten wir nur noch Vektorräume über kommutativen Körpern K. Wir sahen bereits in 2.1.2, 3., daß die Menge K ^M der Abbildungen f: M → K einen K-Vektorraum bildet. Dieses Beispiel läßt sich unmittelbar verallgemeinern auf die Mengen W ^M der Abbildungen f: M → W, wo W ein K-Vektorraum ist. Von besonderem Interesse ist der Fall M = V und f: V →W linear.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 4. Lineare Gleichungen und Determinanten

Zusammenfassung

Wir kommen nun zu einem besonders wichtigen Gegenstand der Linearen Algebra. Historisch gesehen hat die gesamte Theorie hier ihren Ursprung.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 5. Eigenwerte und Normalformen

Zusammenfassung

Wir kommen nun zu einer weiteren Invarianten einer linearen Abbildung. Allerdings muß uns hierbei der Körper gewisse Eigenschaften erfüllen. Wir werden uns daher im Laufe unseres Buches mehr und mehr auf den Körper ℝ der reellen und den Körper ℂ der komplexen Zahlen beschränken. Für letzteren existieren die in Rede stehenden Invarianten stets.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 6. Metrische Vektorräume

Zusammenfassung

Wir betrachten jetzt auf Vektorräumen V über ℝ oder ℂ eine zusätzliche Struktur, ein Skalarprodukt. In diesem Abschnitt werden wir vornehmlich den Fall dim V < ∞ betrachten. Gerade für die Anwendungen sind jedoch gewisse unendlichdimensionale Vektorräume von Bedeutung; hierauf werden wir in den nächsten Abschnitten eingehen.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 7. Affine Geometrie

Zusammenfassung

Wir erklären den Begriff des affinen Raumes 𝒜 = 𝒜(V) über einem Vektorraum V. Die Elemente von 𝒜 und V entsprechen sich eineindeutig. Im wesentlichen handelt es sich bei dieser Konstruktion um ein Verfahren, dem Nullelement 0 ∈ V seine ausgezeichnete Rolle zu nehmen und alle Elemente von V gleichwertig zu machen. 𝒜 wird dadurch zu einem homogenen Raum, auf dem die additive Gruppe V einfach-transitiv operiert. Die uszeichnung eines Punktes o ∈𝒜 als Ursprung stiftet einen strukturerhaltenden Isomorphismus mit V.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 8. Euklidische Geometrie

Zusammenfassung

Wir betrachten jetzt affine Räume über einem unitären Vektorraum V, die wir auch affin-unitäre Räume nennen. Das Skalarprodukt auf V gestattet es, solche Begriffe wie Abstand und Orthogonalität zu erklären.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 9. Projektive Geometrie

Zusammenfassung

Wir konstruieren zu einem Vektorraum V der Dimension ≥ 1 den projektiven Raum 𝑃 = 𝑃(V). Die (linearen) Unterräume U von V induzieren in 𝑃(V) die projektiven Unterräume 𝑃(U), und die lineare Gruppe GL(V) induziert die Gruppe Pro(𝑃) der Projektivitäten von 𝑃.

Wilhelm Klingenberg

Kapitel 10. Nichteuklidische Geometrie

Zusammenfassung

Als Gegenstück zur euklidischen Geometrie gibt es zwei sogenannte nichteuklidische Geometrien, die hyperbolische und die elliptische.

Wilhelm Klingenberg

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