Lineare Algebra

Die Lineare Algebra ist eine grundlegende Disziplin der Mathematik. Sie stellt Hilfsmittel für die Beschreibung und Untersuchung von linearen Zusammenhängen bereit. Solche Zusammenhänge treten in vielen Gebieten und Anwendungen auf. Die Linearität eines Zusammenhangs erweist sich oft als sehr vorteilhaft, wenn es darum geht, Modelle zu analysieren oder ein Problem zu lösen. Außerdem können Probleme mit nichtlinearen Beziehungen oft nur dadurch erfolgreich behandelt werden, dass man diese durch lineare approximiert.

Die Anwendungen der Mathematik im Bereich von Wirtschaft, Naturwissenschaften und Technik betreffen oft — die Beispiele von Kapitel 1 haben es bereits gezeigt — die Analyse des Zusammenhangs von variablen Größen.

Das Rechnen mit Spalten— bzw. Zeilenvektoren und allgemeiner mit Matrizen gleichen Typs hat folgende Gemeinsamkeiten: Es ist eine Addition der jeweiligen Objekte sowie eine Multiplikation der Objekte mit reellen oder komplexen Zahlen definiert, und diese Operationen genügen gewissen Rechenregeln. Solche Strukturen sollen nun allgemein eingeführt und untersucht werden.

In Kapitel l wurde erläutert, dass die Linearität eine aus theoretischer und praktischer Sicht außerordentlich wichtige Eigenschaft ist. In diesem Kapitel werden Abbildungen mit dieser Eigenschaft systematisch studiert.

Für Vektoren a, b ∈ ℝ² bezeichnen wir das von ihnen aufgespannte Parallelogramm mit P (a, b). Das ist die Menge

In Anwendungen benötigt man oft eine sinnvolle Definition der Länge eines Vektors und des Winkels zwischen zwei Vektoren.

Zur Untersuchung der Eigenschaften einer linearen Abbildung L: V →V interessiert die Frage, ob es Vektoren v ∈ V gibt, deren Bild L(v) ein Vielfaches von v ist. Man sucht also nach Vektoren, die durch die Abbildung L nur in ihrer Länge verändert werden. Jeder solche Vektor v ∈ V muss dann offenbar der Gleichung mit einer Zahl λ ∈ K genügen. Zur Untersuchung, ob es solche Vektoren v gibt und wie man sie charakterisieren bzw. berechnen kann, benutzen wir ein wichtiges Hilfsmittel, nämlich die Matrixdarstellung linearer Abbildungen, siehe Abschnitt 4.3. Damit lässt sich durch Wahl einer Basis B in Urbild- und Bildraum (die ja hier dieselben Vektorräume sind) das Bild L(v) durch Ax beschreiben, wobei nun x der Koordinatenvektor von v bezüglich B und Ax der Koordinatenvektor von L(v) bezüglich B ist. Aus Gründen der allgemeineren Darstellung wählen wir C ⁿ als Vektorraum der Koordinatenvektoren. Die Forderung (7.1) wird damit zu Man sucht also einen Vektor x ∈ C ⁿ und eine Zahl λ ∈ C, so dass (7.2) erfüllt ist. Da diese Gleichung für x = o für jedes λ erfüllt ist, schließen wir x = o bei der Suche aus.

Es seien V ein ℝ -Vektorraum und A ein affiner Raum bezüglich V. Zu jedem Untervektorraum U von V und jedem p ∈ A heißt (nach Satz und Definition 3.4.3) die Punktmenge affiner Unterraum von A. Da wir insbesondere den Abstand zwischen affinen Unterräumen mit Hilfe eines in V bereitzustellenden Skalarproduktes untersuchen wollen, wird in diesem Kapitel der affine Raum A mit V identifiziert und als Operation ⊕: A × V → A die im Vektorraum V gegebene Addition +: V × V → V verwendet (vgl. auch Satz 3.4.1). Damit verstehen wir unter einem affinen Unterraum des Vektorraumes V nunmehr jede Menge, die durch mit einem a ∈ V und einem Untervektorraum U von V beschrieben werden kann. U heißt auch Richtungsraum von A. Ist k := U dim < ∞ und v₁..., v _k eine Basis von U, so gilt offenbar