Lineare und nichtlineare FEM

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

Mit dem Schlagwort Industrie 4.0 wird eine Zukunftstechnologie bezeichnet, die die Produktion und Entwicklung in vielen Wirtschaftsbereichen durch Digitalisierung und Vernetzung verändern wird, um Effizienzpotenziale zu heben. Einen wesentlichen Beitrag zur Erfüllung dieser Anforderungen im Entwicklungsprozess leisten Methoden, die basierend auf Computersimulation (häufig vereinfachend als Berechnung bezeichnet), eine Prognose der realen technischen Vorgänge liefern. Diese Methoden werden unter dem Begriff Computer-Aided-Engineering (CAE) zusammengefasst. Eine Übersicht über den Einsatz in der Industrie, v. a. der Fahrzeugtechnik, findet sich bei Meywerk [6].

Marcus Wagner

2. Einführung in die lineare FEM

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die einzelnen Schritte einer Finite-Elemente-Berechnung detailliert am einfachst möglichen Beispiel eines mechanischen Fachwerks aus Stäben erklärt. Es wird sich zeigen, dass bereits alle für die FEM wichtigen Begriffe und Konzepte auftreten.

Marcus Wagner

3. Mechanische Größen der Strukturmechanik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Begriffe der Elastizitätslehre bei infinitesimal kleinen Verzerrungen eingeführt. Für umfassende Darstellungen sei auf die Standardliteratur der technischen Mechanik verwiesen, z. B. Gross et al. [3, Kap. 2]. Zur Vereinfachung wird in diesem Kapitel angenommen, dass alle Vorgänge linear sind, d. h. Verschiebungen von Punkten lassen sich durch lineare Funktionen beschreiben und vor allem das Materialverhalten wird als linear angenommen. Die nichtlineare Erweiterung folgt in Kap. 9.

Marcus Wagner

4. Mathematische Modellierung über Energieprinzipien

Zusammenfassung

Die in Kap. 3 hergeleiteten Gleichungen, v. a. die Gleichgewichtsbedingung in Gl. (3.13), gelten punktuell für ein Kontinuum und sind als partielle Differenzialgleichungen formuliert. Eine solche Beschreibung wird als synthetische Mechanik bezeichnet, in der vektorielle Größen wie Kraft, Impuls und Drall zur Beschreibung des Zustands eines mechanischen Systems in Verbindung mit dem Schnittprinzip genutzt werden. Es ist allerdings im Allgemeinen schwierig, Lösungen über das räumliche Volumen eines Körpers zu finden, die diese Gleichungen punktuell exakt erfüllen.

Marcus Wagner

5. Diskretisierung mit finiten Elementen

Zusammenfassung

Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Diskretisierung wurde in Kap. 2 eingeführt. In diesem Kapitel werden die Lösungsansätze nun auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall erweitert, s.Abb. 5.1. Weiterhin wird die Steifigkeitsgleichung der FEM nicht mehr aus der Betrachtung vektorieller Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet, sondern aus dem allgemeineren Ansatz der Energieprinzipien aus Kap. 4.

Marcus Wagner

6. Finite-Elemente-Klassen

Zusammenfassung

Dieses Kapitel beinhaltet eine Übersicht der in der FEM für die Strukturmechanik eingesetzten Elemente. Ziel des Kapitels ist, dem Anwender die häufigsten Elementtypen vorzustellen, mit den dafür notwendigen Eigenschaften und Parametern.

Marcus Wagner

7. Mathematische und numerische Aspekte der FEM

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Eigenschaften der FEM mathematischer und numerischer Art eingeführt sowie einige Benutzungshinweise für die praktische Arbeit mit FE-Programmen gegeben.

Marcus Wagner

8. Lineare zeitabhängige FEM

Zusammenfassung

Ist der Einfluss von Trägheits- oder Dämpfungseffekten in der Analyse zu berücksichtigen bzw. sind zeitlich veränderliche Belastungen vorzugeben, muss das zeitabhängige Verhalten des Systems berechnet werden. Dazu sind analog zu den Impuls- und Drallbilanzen dynamische Energieprinzipien zu formulieren.

Marcus Wagner

9. Geometrische Nichtlinearität

Zusammenfassung

In Kap. 3.1 sind die grundlegenden Bestandteile zur Beschreibung eines strukturmechanischen Problems aufgelistet: die kinematischen Beziehungen, das Materialgesetz, die Gleichgewichtsbedingung sowie die Randbedingungen. Bisher wurde für alle Beziehungen davon ausgegangen, dass sie linear sind. Nichtlineares Verhalten erhält man, wenn die Annahme der Linearität für eine der Beziehungen nicht mehr ausreichend ist, um das physikalische Problem vollständig zu beschreiben, s.Abb. 9.1.

Marcus Wagner

10. Materielle Nichtlinearität

Zusammenfassung

Neben den kinematischen Beziehungen und den Bilanzgleichungen ist die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Verzerrungen und Spannungen zur numerischen Modellierung eines strukturmechanischen Problems notwendig. Dies wird als Materialmodellierung bezeichnet. Für technisch relevante Problemstellungen wird üblicherweise das makroskopische Verhalten von Werkstoffen über Experimente beschrieben, man nennt dies phänomenologische Materialbeschreibung.

Marcus Wagner

11. Kontaktmodellierung

Zusammenfassung

Bisher wurde immer von einem zu berechnenden Körper ausgegangen. In den meisten technisch relevanten Fragestellungen sind aber mehrere Bauteile enthalten, die miteinander in Kontakt kommen.

Marcus Wagner

12. Gleichungslösung bei nichtlinearen statischen Problemen

Zusammenfassung

Nach der Aufstellung der FE-Gleichungen sind die Unbekannten zu berechnen. In diesem Kapitel wird das statische, zeitunabhängige Problem betrachtet. Ist die Berechnungsaufgabe geometrisch oder materiell nichtlinear, resultieren auch nichtlineare Gleichungssysteme, die zu lösen sind.

Marcus Wagner

13. Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen

Zusammenfassung

Generell werden zeitabhängige technische Fragestellungen durch partielle Differenzialgleichungen beschrieben, wobei die Ableitungen der Unbekannten u(x,t sowohl nach der Zeit t, als auch nach den räumlichen Koordinaten x erfolgen. Ein Beispiel ist die Impulsbilanz in Gl. (3.4).

Marcus Wagner

14. Blechumformsimulation

Zusammenfassung

Die bisher vorgestellten Inhalte sollen in diesem Kapitel mit dem Programmsystem LSDYNA auf die Blechumformsimulation und eine Aufsprungsimulation angewendet werden, sodass der Leser den Zusammenhang zwischen bisher vorgestellter Theorie und praktischer Anwendung erkennt. Dazu wird, wo möglich, auf die Gleichungen der vorherigen Kapitel verwiesen. Die Blechumformung als Beispiel bietet sich an, da sie alle nichtlinearen Effekte, die bisher vorgestellt wurden, enthält. Daneben müssen sowohl dynamischexplizite Zeitintegrations-, als auch statisch-nichtlineare Verfahren genutzt werden.

Marcus Wagner

Backmatter