Lineare und nichtlineare FEM

In zunehmendem Maße werden bei der Entwicklung von Produkten die Zeiten für den Entwurf verkürzt. Darüber hinaus sollen die Kosten für die Entwicklung und Produktion von Produkten ständig gesenkt werden. Einen wesentlichen Beitrag zur Erfüllung dieser Anforderungen im Entwicklungsprozess leisten Methoden, die basierend auf Computersimulation, eine Prognose der realen technischen Vorgänge liefern. Diese Methoden werden unter dem Begriff Computer-Aided-Engineering (CAE) zusammengefasst. Das Verfahren, das sich in den letzten Jahrzehnten im Ingenieurbereich als das am meisten eingesetzte herausstellt, ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Zur Einleitung wird in diesem Kapitel eine Übersicht über CAE-Methoden und Einsatzbereiche der FEM sowie verfügbare kommerzielle Software gegeben.

In diesem Kapitel werden die einzelnen Schritte einer Finite-Elemente-Berechnung detailliert am einfachst möglichen Beispiel eines mechanischen Fachwerks aus Stäben erklärt. Es zeigt sich, dass bereits alle für die lineare, statische FEM wichtigen Begriffe und Konzepte auftreten. So lassen sich die Konzepte erschließen, ohne den für allgemeine Probleme notwendigen mathematischen Zusatzaufwand.

Für die Behandlung strukturmechanischer Fragestellungen sind mechanische Grundbegriffe notwendig. Um eine einheitliche Notation einzuführen, werden an dieser Stelle die wichtigsten Begriffe der Elastizitätslehre bei infinitesimal kleinen Verzerrungen eingeführt. Dazu zählen der Spannungs- und Verzerrungsbegriff, die Formulierung des mechanischen Grundproblems und der Gleichgewichtsbedingung sowie das linear-elastische Materialgesetz. Dabei werden sowohl die Tensor- als auch die Indexnotation nebeneinandergestellt. Zur Vorbereitung für eine FE-Formulierung wird weiterhin die Voigt-Notation erläutert.

Die Gleichgewichtsbedingung der Elastizitätslehre gilt punktuell in einem Kontinuum und ist als partielles Differenzialgleichungssystem formuliert. Eine solche Beschreibung wird als synthetische Mechanik bezeichnet, in der vektorielle Größen wie Kraft, Impuls und Drall zur Beschreibung des Zustands eines mechanischen Systems in Verbindung mit dem Schnittprinzip genutzt werden. Es ist allerdings im Allgemeinen schwierig, Lösungen über das räumliche Volumen eines Körpers zu finden, die diese Gleichungen punktuell exakt erfüllen. Neben dieser Vorgehensweise existiert noch eine weitere vollständig äquivalente Methode, die als analytische Mechanik bezeichnet wird. Ausgehend von den skalaren Größen Arbeit und Energie werden Energieprinzipien in Form von Integralgleichungen formuliert. Die Energieprinzipien eignen sich sehr gut als Ausgangspunkt für Näherungsverfahren wie die FEM, da durch die Integralformulierung direkt Funktionen, die über den Raum definiert sind, eingesetzt werden können. In diesem Kapitel werden die für die FEM wichtigsten Energieprinzipien eingeführt und am Stabbeispiel exemplarisch erläutert sowie auf den 3-D-Fall erweitert. Eine weitere allgemeine Herangehensweise, die Methode der gewichteten Residuen, wird ebenfalls an einem Beispiel vorgestellt.

Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Diskretisierung mit der FEM wurde in Kapitel 2 eingeführt. In diesem Kapitel werden die Lösungsansätze nun auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall erweitert und die Energieprinzipien direkt diskretisiert. Neben der Beschreibung des Aufbaus des Gesamtgleichungssystems werden verschiedene aktuelle Techniken zur Lösung des linearen Gleichungssystems erläutert. Abschließend wird auf Modellreduktionstechniken eingegangen.

Dieses Kapitel beinhaltet eine Übersicht der in der FEM für die Strukturmechanik eingesetzten Finiten Elemente. Ziel des Kapitels ist, dem Anwender die häufigsten Elementtypen vorzustellen, mit den dafür notwendigen Eigenschaften und Parametern. Es wird nicht angestrebt eine vertiefte Einführung in Elementtechnologie darzustellen. Hierzu wird an den entsprechenden Stellen auf die vielfältige Literatur verwiesen. Nach einer Klassifizierung wird zunächst das isoparametrische Konzept hergeleitet. Danach werden die wichtigsten Klassen von 1-D-, 2-D- und 3-D-Elementen diskutiert.

In diesem Kapitel werden Eigenschaften der FEM mathematischer und numerischer Art eingeführt sowie einige Benutzungshinweise für die praktische Arbeit mit FE-Programmen gegeben. Ausführlich wird auf die numerische Quadratur der Elementmatrizen eingegangen. Weiterhin wird der Effekt der Elementversteifung (Locking) beschrieben und Hinweise gegeben, wie diese Problematik behoben werden kann.

Ist der Einfluss von Trägheits- oder Dämpfungseffekten in der Analyse zu berücksichtigen bzw. sind zeitlich veränderliche Belastungen vorzugeben, muss das zeitabhängige Verhalten des Systems berechnet werden. Dazu sind analog zu den Impuls- und Drallbilanzen für eine FE-Formulierung dynamische Energieprinzipien zu formulieren. Darauf aufbauend wird eine kurze Einführung in die lineare Strukturdynamik angegeben. Beschrieben werden freie harmonische Schwingungen und die modale Transformation. Danach wird auf Reduktionstechniken und die näherungsweise Berechnung von Eigenformen eingegangen. Weiterhin wird die in der FEM übliche Behandlung von Dämpfungseffekten beschrieben. Abschließend wird die Frequenzganganalyse erzwungener harmonischer Schwingungen erläutert.

Dieses Kapitel umfasst den Einstieg in die nichtlineare FEM. Die grundlegenden Bestandteile zur Beschreibung eines strukturmechanischen Problems sind die kinematischen Beziehungen, das Materialgesetz, die Gleichgewichtsbedingung sowie Randbedingungen. Bisher wurde für alle Beziehungen davon ausgegangen, dass sie linear sind. Nichtlineares Verhalten erhält man, wenn diese Annahme nicht mehr ausreichend ist, um das physikalische Problem vollständig zu beschreiben. In diesem Kapitel wird zunächst die geometrische Nichtlinearität erläutert. Nach der nichtlinearen kinematischen Beschreibung werden die relevantesten Verzerrungs- und Spannungsmaße an einem 1-D-Beispiel eingeführt und danach allgemein formuliert. Damit werden die Energieprinzipien in nichtlinearer Form in den zwei bekanntesten Beschreibungsvarianten (Upgedatete- und Totale-Lagrange-Formulierung) angegeben und eine Übersicht zur Diskretisierung mit FEM gegeben.

Zur numerischen Modellierung eines strukturmechanischen Problems ist die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Verzerrungen und Spannungen notwendig. Die resultierenden Beziehungen werden konstitutive Gleichungen, Stoff- oder Materialgesetze genannt. Bisher wurde von einer rein linearen Beziehung zwischen Spannungen und Dehnungen in Form des Hooke'schen Gesetzes ausgegangen. Viele Werkstoffe zeigen dieses Verhalten allerdings nur für kleine Verzerrungen. Bei größeren Verzerrungen wird das Verhalten materiell nichtlinear. Die Spannungen ergeben sich in diesem Fall als nichtlineare Funktion der Verzerrungen, die wiederum nichtlinear von den Verschiebungen abhängen können, wenn geometrische Nichtlinearität berücksichtigt werden muss. Durch die Komplexität realen Materialverhaltens haben Materialmodelle für die numerische Behandlung in der Regel ein eingeschränktes Anwendungsspektrum und sind auf spezielle Problemfelder zugeschnitten. In diesem Kapitel wird deswegen exemplarisch die dehnratenunabhängige Elastoplastizität näher beschrieben, da sich damit große Bereiche technisch relevanter Werkstoffe charakterisieren lassen. Es wird ebenfalls auf die numerische Umsetzung in einem FE-Programm eingegangen.

Bisher wurde von einem zu berechnenden Körper ausgegangen. In den meisten technisch relevanten Fragestellungen sind aber mehrere Bauteile enthalten, die miteinander in Kontakt kommen. Für Festkörper gilt die Undurchdringlichkeitsbedingung, die das wechselseitige Durchdringen der Körper verbietet. Diese Bedingung ist in einem FE-Modell zunächst nicht vorhanden. Da dies nicht dem physikalischen Verhalten entspricht, müssen Kontaktmodelle in die FEM eingefügt werden. In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe und Klassifizierungen zur Kontaktmechanik eingeführt. Die für kommerzielle Anwendungen wichtigsten Kontaktformulierungen werden prinzipiell erläutert, und anwendungsrelevante Details zur Umsetzung eines Kontaktmodells in einem FE-Programm angesprochen.

Nach der Aufstellung der nichtlinearen FE-Gleichungen sind die Unbekannten zu berechnen. In diesem Kapitel wird das statische, zeitunabhängige Problem betrachtet. Ist die Berechnungsaufgabe geometrisch oder materiell nichtlinear, resultieren auch nichtlineare Gleichungssysteme, die zu lösen sind. Bei diesen nichtlinearen Systemen wird die Steifigkeitsmatrix aus den vorangegangenen Kapiteln durch den Vektor der inneren Kräfte ersetzt, der eine nichtlineare Funktion der Deformation ist. Die Schwierigkeit bei der Lösung besteht darin, dass die nichtlineare Beziehung nicht explizit in einem Schritt nach den Unbekannten aufgelöst werden kann, wie im linearen Fall. Eine übliche Lösungsmöglichkeit ist, den Lastpfad in kleinen Schritten zu verfolgen. Das bekannteste Verfahren ist das Newton-Raphson-Verfahren, das zunächst für den eindimensionalen Fall vorgestellt und dann auf die FEM angewendet wird. Neben Konvergenzbetrachtungen werden auch alternative Verfahren kurz vorgestellt.

Generell werden zeitabhängige technische Fragestellungen durch Systeme partieller Differenzialgleichungen beschrieben, wobei die Ableitungen der Unbekannten sowohl nach der Zeit als auch nach den räumlichen Koordinaten erfolgen. Die FEM ist ein Verfahren, um die räumliche Abhängigkeit in ein diskretes lineares Gleichungssystem zu überführen. Durch die räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen ist aus dem partiellen Differenzialgleichungssystem ein System von gewöhnlichen, rein zeitabhängigen Differenzialgleichungen geworden. In diesem Kapitel wird ein kurzer Überblick über die zwei in Verbindung mit der FEM am häufigsten eingesetzten Verfahren zur direkten Zeitintegration gegeben: das implizite Newmark-Verfahren und das explizite zentrale Differenzenverfahren.

Im abschließenden Kapitel werden die bisher vorgestellten Inhalte mit dem Programmsystem LS-DYNA auf die Blechumformsimulation eines einfachen Bauteils und eine Aufsprungsimulation angewendet, sodass der Leser den Zusammenhang zwischen bisher vorgestellter Theorie und praktischer Anwendung erkennt. Nach einer kurzen Einführung in die Grundbegriffe der Blechumformung wird ein vollständiges FE-Modell eines Tiefziehvorgangs mit expliziter Zeitintegration schrittweise erläutert und auch auf die Auswertung eingegangen. Danach wird die Modellierung und Analyse einer statisch-impliziten Aufsprungsimulation vorgestellt. Neben diesem Kapitel findet sich im Anhang eine kurze Einführung in LS-DYNA, sodass Vorkenntnisse nicht notwendig sind. Die lauffähigen Kommandodateien finden sich im elektronischen Zusatzmaterial des Buchs.

Im Folgenden werden einige grundlegende mathematische Hilfsmittel und Schreibweisen erläutert, die für das Verständnis der Inhalte der vorangegangenen Kapitel notwendig sind. Zunächst wird das Rechnen mit Matrizen vorgestellt und danach die verschiedenen Notationsformen für Tensoren.

Dieser Anhang soll als Kurzeinstieg in LS-DYNA dienen und bietet einen Überblick zu den wichtigsten Bestandteilen eines nichtlinearen, dynamischen Berechnungsmodells.