Lösungen der Übungsaufgaben

11.

1. Bezeichnet R ₁ die Rendite von S ¹, R ₂ die Rendite von S ² und R die Portfoliorendite, so gilt

$$\displaystyle R=0{,}2\cdot R_{1}+0{,}8\cdot R_{2}.$$

Dann gilt für die erwartete Portfoliorendite μ

$$\displaystyle\mu=0{,}2\cdot\mu_{1}+0{,}8\cdot\mu_{2}=0{,}2\cdot 5\,{\%}+0{,}8\cdot 8\,{\%}=7{,}4\,{\%}$$

und für die Portfoliovarianz σ² gilt mit $\rho=0{,}3$

$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma^{2}&\displaystyle=\left(\alpha\sigma_{1}\right)^{2}+\left(\left(1-\alpha\right)\sigma_{2}\right)^{2}+2\alpha\left(1-\alpha\right)\sigma_{1}\sigma_{2}\rho\\ \displaystyle&\displaystyle=\left(\left(0{,}2\cdot 18\right)^{2}+\left(0{,}8\cdot 25\right)^{2}+2\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8\cdot 18\cdot 25\cdot 0{,}3\right)\%^{2}\\ \displaystyle&\displaystyle=0{,}0456,\end{aligned}$$

also

$$\displaystyle\sigma=21{,}36\,{\%}.$$

2. Es gilt

$$\displaystyle\sigma^{2}=\alpha^{2}\sigma_{1}^{2}+\left(1-\alpha\right)^{2}\sigma_{2}^{2}+2\alpha\left(1-\alpha\right)\sigma_{1}\sigma_{2}\rho.$$

Damit folgt

$$\displaystyle\frac{d\sigma^{2}}{d\alpha}=2\alpha\sigma_{1}^{2}-2\left(1-\alpha\right)\sigma_{2}^{2}+2\left(1-2\alpha\right)\sigma_{1}\sigma_{2}\rho.$$

Die Ableitung ist null, falls

$$\displaystyle\alpha\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}\rho\right)=\sigma_{2}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}\rho,$$

also für

$$\displaystyle\alpha=\frac{\sigma_{2}^{2}-\sigma_{1}\sigma_{2}\rho}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}\rho}.$$

Mit den Daten des Beispiels gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\alpha&\displaystyle=\frac{25^{2}-18\cdot 25\cdot 0{,}03}{18^{2}+25^{2}-18\cdot 25\cdot 0{,}03}=0{,}72\\ \displaystyle 1-\alpha&\displaystyle=0{,}28.\end{aligned}$$

3. Für diese Portfoliozusammensetzung folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle\mu&\displaystyle=0{,}72\cdot 5\,{\%}+0{,}28\cdot 8\,{\%}=5{,}84\,{\%}\\ \displaystyle\sigma^{2}&\displaystyle=\left(\left(0{,}72\cdot 18\right)^{2}+\left(0{,}28\cdot 25\right)^{2}+2\cdot 0{,}72\cdot 0{,}28\cdot 18\cdot 25\cdot 0{,}3\right)\%^{2}=271{,}4\,{\%}^{2}\\ \displaystyle\sigma&\displaystyle=16{,}5\,{\%}.\end{aligned}$$

12.

Wir betrachten ein Portfolio h, das aus n Wertpapieren besteht, die alle mit gleichem Gewicht $\alpha_{i}=1/n$ im Portfolio vertreten sind und die alle über die gleiche erwartete Rendite μ und über dasselbe Risiko σ > 0 verfügen. Dann gilt für die Portfoliorendite μ_h

$$\displaystyle\mu_{h}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\mu=\mu\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}=\mu.$$

1. Angenommen, die Wertpapiere sind paarweise unkorreliert. Dann gilt für die Portfoliovarianz $\sigma_{h}^{2}$ nach (1.16)

$$\displaystyle\sigma_{h}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}1=\frac{\sigma^{2}}{n}.$$

Also folgt

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_{h}^{2}=0,$$

das Portfoliorisiko lässt sich also bei paarweise unkorrelierten Wertpapieren durch Portfoliobildung beliebig reduzieren.

2. Angenommen, die Korrelation hat für alle Paare von Wertpapieren einen festen Wert 0 < ρ ≤ 1, dann gilt, wiederum nach (1.16),

$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{h}^{2}&\displaystyle=\mathbf{V}[R_{h}]=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{2}\mathbf{V}\left[R_{i}\right]+\sum_{\substack{i,j=1\\ \,i\neq j}}^{n}\alpha_{i}\alpha_{j}\,\mathbf{Cov}\left(R_{i},R_{j}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\sigma^{2}}{n}+\sum_{\substack{i,j=1\\ \,i\neq j}}^{n}\alpha^{2}\sigma^{2}\rho\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{\sigma^{2}}{n}+\frac{n^{2}-n}{n^{2}}\sigma^{2}\rho\\ \displaystyle&\displaystyle=\sigma^{2}\rho+\frac{\sigma^{2}}{n}\left(1-\rho\right).\end{aligned}$$

Daraus folgt

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_{h}^{2}=\sigma^{2}\rho,$$

also lässt sich bei paarweise positiv korrelierten Portfoliorenditen das Risiko durch Diversifikation nicht beliebig reduzieren.

13.

1. Mit der CAPM-Renditegleichung (1.49) und

$$\displaystyle\beta_{S}=\frac{\mathbf{Cov}\left(R_{S},R_{M}\right)}{\sigma_{M}^{2}}=\frac{\mathbf{Cov}\left(R_{S},R_{M}\right)}{\sigma_{M}\sigma_{S}}\frac{\sigma_{S}}{\sigma_{M}}=\rho\left(R_{S},R_{M}\right)\frac{\sigma_{S}}{\sigma_{M}}$$

folgt der Zusammenhang

$$\displaystyle\mu_{S}=r+\beta_{S}\left(\mu_{M}-r\right)=r+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}}\rho(R_{S},R_{M})\sigma_{S},$$

also

$$\displaystyle\mu_{S}=2\,{\%}+\frac{8-2}{20}\cdot 0{,}4\cdot 30\,{\%}=5{,}6\,{\%}.$$

Nach dem CAPM sollte die Investition also eine erwartete Rendite von $\mu_{S}=5{,}6\,{\%}$ besitzen.

2. Für den β-Faktor β_S von S gilt

$$\displaystyle\beta_{S}=\rho\left(R_{S},R_{M}\right)\frac{\sigma_{S}}{\sigma_{M}}=0{,}4\cdot\frac{30}{20}=0{,}6.$$

3. Die erwartete Rendite der Investition S beträgt nach 1. $\mu_{S}=5{,}6\,{\%}$. Hätte die Investition zum Zeitpunkt 1 den Wert $S_{1}=10.000$, dann wäre

$$\displaystyle 5{,}6\,{\%}=\frac{S_{1}-S_{0}}{S_{0}},$$

oder

$$\displaystyle S_{0}=\frac{1}{1+5{,}6\,{\%}}S_{1}=\frac{1}{1{,}056}\cdot 10.000=9470.$$

14.

Mit (1.49) gilt

$$\displaystyle\mu_{w}=r+\left(\mu_{M}-r\right)\beta_{w}$$

für

$$\displaystyle\beta_{w}=\frac{\mathbf{Cov}\left(R_{w},R_{M}\right)}{\sigma_{M}^{2}}.$$

Einsetzen von $R_{w}=wR_{P}+\left(1-w\right)r$ liefert

$$\displaystyle\mathbf{Cov}\left(R_{w},R_{M}\right)=\mathbf{Cov}\left(wR_{P}+\left(1-w\right)r,R_{M}\right)=w\mathbf{Cov}\left(R_{P},R_{M}\right),$$

also

$$\displaystyle\beta_{w}=w\beta_{P}.$$

15.

Der Investor setzt das Kapital K = 10.000 Euro ein und ist bereit, dabei das Risiko $\sigma_{I}=15\,{\%}$ einzugehen. Die risikolose Rendite beträgt laut Aufgabenstellung $r=2\,{\%}$, und für den DAX, der mit dem Marktportfolio identifiziert wird, werden $\mu=24\,{\%}$ und $\sigma=19\,{\%}$ angenommen. Dann gilt

$$\displaystyle\alpha_{M}=\frac{\sigma_{I}}{\sigma}=\frac{15}{19}=0{,}79.$$

Also sind 79 % von 10.000 Euro in ein DAX-Portfolio zu investieren und 21 % in Staatsanleihen, sodass gilt

$$\displaystyle P=\frac{2100}{B_{0}}B+\frac{7900}{M_{0}}M.$$

Kostet eine Staatsanleihe 100 Euro und hat das DAX-Portfolio aktuell einen Wert von $98{,}80$ Euro, dann sind also 2100 ∕ 100 = 21 Anleihen und $7900/98{,}80$ ≈80 DAX-Portfolio-Anteile zu kaufen.

16.

Die geschätzten und die aufgrund des CAPM ermittelten Renditen lauten:

Tab. 5.1

Geschätzte und mithilfe des CAPM ermittelte Rendite

Jahr	geschätzte Rendite $\hat{\mu}_{i}$ [%]	Rendite μ_i nach CAPM [%]
S ¹	$\frac{125-100}{100}=25$	$2+\left(20-2\right)\cdot 1=20$
S ²	$\frac{17-15}{15}=13{,}3$	$2+\left(20-2\right)\cdot 0{,}8=16{,}4$
S ³	$\frac{31-25}{31}=24$	$2+\left(20-2\right)\cdot 1{,}2=23{,}6$

Für S ¹ gilt also $\hat{\mu}_{1}> \mu_{1}$, also wird das Unternehmen vom Markt unterbewertet. Der Preis des Unternehmens ist daher zu gering, und S ¹ sollte gekauft werden. Dagegen gilt $\hat{\mu}_{2}<\mu_{2}$, sodass das zweite Unternehmen vom Markt überbewertet wird. Daher sollte S ², wenn es sich im Portfolio eines Investors befindet, verkauft werden. Beim dritten Unternehmen stimmen $\hat{\mu}_{3}$ und μ₃ ungefähr überein, und mithilfe des CAPM kann weder eine Kauf- noch eine Verkaufsempfehlung ausgesprochen werden.

Die Zahl $J=\hat{\mu}_{i}-\mu_{i}$ wird der Jensen-Index von S ⁱ genannt. Investitionen mit positivem Jensen-Index charakterisieren also unterbewertete Anlagealternativen, für die im Rahmen der vorliegenden Analyse eine Kaufempfehlung ausgesprochen wird.

17.

1. Für $\beta_{P}=0$ gilt $R_{P}=r$ nach (1.49), P ist in diesem Fall also das risikolose Portfolio.

2. Für $\beta_{P}<0$ gilt nach (1.49) $\mu_{P}<r$, also liegt P in diesem Fall unterhalb der Kapitalmarktlinie im μ-σ-Diagramm. Für ein Portfolio Q mit

$$\displaystyle R_{Q}=\left(1-\left|\beta_{P}\right|\right)r+\left|\beta_{P}\right|R_{M}$$

gilt jedoch

$$\displaystyle\mu_{Q}=r+\left|\beta_{P}\right|\left(\mu_{M}-r\right)> \mu_{P},\qquad\sigma_{Q}=\left|\beta_{P}\right|\sigma_{M},$$

sodass Q auf der Kapitalmarktlinie liegt, aber dasselbe Risiko wie P und eine höhere erwartete Rendite als P besitzt.

18.

Mit

$$\displaystyle 1=\sum_{j=1}^{K}q_{j}=\sum_{j=1}^{K}p_{j}$$

und $p_{j}> 0$ für alle j folgt

$$\displaystyle 1=\sum_{j=1}^{K}q_{j}=\sum_{j=1}^{K}\sqrt{p_{j}}\frac{q_{j}}{\sqrt{p_{j}}}\leq\left(\sum_{j=1}^{K}p_{j}\right)\left(\sum_{j=1}^{K}\frac{q_{j}^{2}}{p_{j}}\right)=\mathbf{E}^{Q}[\mathcal{L}],$$

was zu zeigen war.

19.

Zu zeigen ist, dass die theoretisch möglichen Werte für $\sqrt{\mathbf{V}\left[\mathcal{L}\right]}$, und damit die möglichen Werte für die relativen Risikoprämien in einem Marktmodell, alle Zahlen des Intervalls $[0,\infty)$ sind. Der minimale Wert 0 wird für P = Q erreicht. Wird andererseits für $0<\varepsilon<1$ das Wahrscheinlichkeitsmaß P so gewählt, dass $P_{1}=\varepsilon$ und $0<P_{j}=\frac{1}{K-1}\left(1-\varepsilon\right)$, $j=2,\ldots,K$, gilt, dann folgt mit 4. von Lemma 2.18

$$\displaystyle\mathbf{V}\left[\mathcal{L}\right]=\mathbf{E}^{Q}[\mathcal{L}]-1> \frac{Q_{1}^{2}}{\varepsilon}-1,$$

und dies strebt für $\varepsilon\rightarrow 0$ gegen $\infty$. Wegen (2.30) kann die Steigung der Kapitalmarktlinie also beliebig groß werden. Je größer die Varianz von $\mathcal{L}$ ist, desto größer ist die Steigung der Kapitalmarktlinie und damit auch der Öffnungswinkel des „Fächers“, welcher die realisierbaren Portfolios im μ-σ-Diagramm enthält.

20.

Zu gegebenem Risiko σ ist die zugehörige erwartete Rendite einer Auszahlung auf der Kapitalmarktlinie mit (2.30) gegeben durch

$$\displaystyle\mu=\sigma\sqrt{\mathbf{V}[\mathcal{L}]}+r,$$

und daher lautet die optimale Auszahlung für das Anfangskapital v mit (2.31)

$$\displaystyle M=v\left(1+r+\sigma\left(1+\sqrt{\mathbf{V}[\mathcal{L}]}-\mathcal{L}\right)\right).$$

21.

Wäre ein Marktmodell nicht arbitragefrei, dann wären Arbitragegelegenheiten Portfolios mit optimalen Eigenschaften, nämlich Portfolios, die ohne eigenen Kapitaleinsatz und ohne zukünftige Zahlungsverpflichtungen die Chance auf positive Gewinne bieten.

22.

Wir betrachten das Marktmodell

$$\displaystyle\left(b,D,P\right)=\left(\left(\begin{array}[]{r}19\\ 8\\ 33\end{array}\right),\left(\begin{array}[]{rrr}22&18&25\\ 9&11&7\\ 32&36&41\end{array}\right),\left(\begin{array}[]{r}0{,}2\\ 0{,}5\\ 0{,}3\end{array}\right)\right).$$

Das Modell ist arbitragefrei und vollständig, denn D ist regulär und die eindeutig bestimmte Lösung ψ von $D\psi=b$ lautet

$$\displaystyle\psi=\left(\begin{array}[]{r}0{,}15\\ 0{,}38\\ 0{,}36\end{array}\right)\gg 0.$$

Daraus ergibt sich der Diskontfaktor $d=0{,}88$, und das risikoneutrale Preismaß besitzt die Werte

$$\displaystyle Q=\frac{\psi}{d}=\left(\begin{array}[]{r}0{,}17\\ 0{,}43\\ 0{,}40\end{array}\right).$$

Daher lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte

$$\displaystyle\mathcal{L}=\frac{Q}{P}=\left(\begin{array}[]{r}0{,}85\\ 0{,}86\\ 1{,}34\end{array}\right),$$

und es gilt

$$\displaystyle\mathbf{E}^{Q}[\mathcal{L}]=\left\langle Q,\mathcal{L}\right\rangle=1{,}05> 1.$$

Ferner lautet die risikolose Rendite $r=\frac{1}{d}-1$ des Modells

$$\displaystyle r=\frac{31}{236}=13{,}14\,{\%}.$$

Da die Payoffmatrix D regulär ist, ist $\mathcal{L}$ replizierbar. Das Gleichungssystem $D^{\mathrm{t}}l=L$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung

$$\displaystyle l=\left(\begin{array}[]{r}0{,}007\\ -0{,}061\\ 0{,}039\end{array}\right)$$

Wiederum weil D regulär ist, enthält das Marktmodell festverzinsliche Portfolios. Das Gleichungssystem $D^{\mathrm{t}}\theta=\mathbf{1}$ besitzt die eindeutig bestimmte Lösung

$$\displaystyle\theta=\left(\begin{array}[]{r}0{,}024\\ 0{,}045\\ 0{,}002\end{array}\right).$$

Für den Preis von θ erhalten wir den Wert $\theta\cdot S_{0}=0{,}88$. Dies stimmt mit dem oben berechneten Diskontfaktor d überein, wie es sein sollte. Schließlich gilt

$$\displaystyle\mathcal{L}_{0}=\left\langle\psi,\mathcal{L}\right\rangle=0{,}92.$$

23.

Im Fall $\mathcal{L}_{\perp}=\mathcal{L}$ gilt $\mathcal{L}_{\|}=0$ und

$$\displaystyle\mathbf{Cov}\left(D^{\mathrm{t}}h,\mathcal{L}\right)=0$$

für alle $h\in\mathbb{R}^{N}$. Mit 3. aus Lemma 2.18 und $dQ=\psi\gg 0$ folgt

$$\displaystyle\mathbf{E}^{P}[D^{\mathrm{t}}h]=\mathbf{E}^{Q}[D^{\mathrm{t}}h]=\frac{1}{d}\left\langle\psi,D^{\mathrm{t}}h\right\rangle=\frac{1}{d}b\cdot h,$$

also

$$\displaystyle b\cdot h=d\mathbf{E}^{P}[D^{\mathrm{t}}h]$$

für alle $h\in\mathbb{R}^{N}$. Damit ist aber P ein Preismaß, bzw. $dP=\psi^{\prime}\gg 0$ ein Diskontvektor. Daher gilt

$$\displaystyle\psi^{\prime}=\psi+f$$

für ein $f\in\mathrm{Ker}D$. In diesem Fall gilt $\mu_{c}=\mathbf{E}^{P}\left[R_{c}\right]=r$ für jede replizierbare Auszahlung $c\in\mathbb{R}^{K}$ mit $c_{0}=d\mathbf{E}^{Q}[c]\neq 0$ und das risikolose Portfolio löst das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem.

24.

1. Zunächst ist $D^{\mathrm{t}}:\mathbb{R}^{N+1}\to\mathbb{R}^{N+1}$ surjektiv, da das Modell nach Voraussetzung vollständig ist. Also ist D ^t, und damit auch D, sogar ein Isomorphismus. Angenommen, C ist nicht positiv definit. Dann gibt es ein $x\in\mathbb{R}^{N}$ mit x ≠ 0 und $\left\langle x,Cx\right\rangle=0$.

a) Angenommen, es gilt $\sum_{j=1}^{N}x_{i}\neq 0$. In diesem Fall gibt es ein λ ≠ 0 mit $\sum_{i=1}^{N}w_{i}=1$ für $w_{i}=\lambda x_{i}$, und

$$\displaystyle R_{P}=w_{1}R_{1}+\cdots+w_{n}R_{n}$$

ist die Rendite eines Portfolios P, das nur aus risikobehafteten Wertpapieren besteht mit

$$\displaystyle\mathbf{V}\left[R_{P}\right]=\left\langle w,Cw\right\rangle=0,$$

also ist $R_{P}=\rho$ konstant. Für r ≠ ρ gibt es im Marktmodell Arbitragegelegenheiten, im Widerspruch zur Voraussetzung. Für r = ρ gibt es aber zwei verschiedene Replikationsportfolios für konstante Auszahlungen, im Widerspruch zur Injektivität von D ^t.

b) Angenommen, es gilt $\sum_{j=1}^{N}x_{i}=0$. Dann ist

$$\displaystyle R_{P}=w_{0}r+w_{1}R_{1}+\cdots+w_{n}R_{n},\,\,\,\,\,\,\left(w_{0}=1,\,\,\,w_{i}=x_{i}\right),$$

die Rendite eines Portfolios. Wieder gilt

$$\displaystyle\mathbf{V}\left[R_{P}\right]=\left\langle w,Cw\right\rangle=0$$

mit $w=\left(w_{1},\ldots,w_{N}\right)$, also sind R _P und damit auch $R=w_{1}R_{1}+\cdots+w_{n}R_{n}=\rho$ konstant. Im Falle von ρ ≠ 0 existieren Arbitragegelegenheiten, im Widerspruch zur Voraussetzung, und im Falle von ρ = 0 gibt es zwei verschiedene Replikationsportfolios für konstante Auszahlungen, im Widerspruch zur Injektivität von D ^t.

2. Nach (2.32) gilt für die Rendite des Marktportfolios

$$\displaystyle R_{M}=\mu_{M}+\frac{\mu_{M}-r}{\mathbf{V}[\mathcal{L}]}\left(1-\mathcal{L}\right),$$

also

$$\displaystyle\mathcal{L}=1+\mathbf{V}[\mathcal{L}]\frac{\mu_{M}-R_{M}}{\mu_{M}-r}.$$

Dabei sind die Gewichte w _M von R _M nach (1.45) gegeben durch

$$\displaystyle w_{M}=\frac{C^{-1}\left(\mu-r\right)}{\left\langle e,C^{-1}\left(\mu-r\right)\right\rangle}.$$

Mit $\mu_{i}=\mathbf{E}\left[R_{i}\right]$ für $i=1,\ldots,N$ ist $\mu=\left(\mu_{1},\ldots,\mu_{N}\right)$ der Vektor der erwarteten Renditen der riskanten Finanzinstrumente des Modells und $e=\left(1,\ldots,1\right)$. Nach (1.46) haben die erwartete Rendite und das Risiko des Marktportfolios M die Werte

$$\displaystyle\mu_{M}=\left\langle w_{M},\mu\right\rangle,\,\,\,\,\,\,\sigma_{M}=\left\langle w_{M},Cw_{M}\right\rangle^{\frac{1}{2}}.$$

Der Marktpreis des Risikos des Modells ist nach (2.30) gegeben durch

$$\displaystyle\sqrt{\mathbf{V}[\mathcal{L}]}=\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}}.$$

Damit folgt

$$\displaystyle\mathcal{L}=\frac{Q}{P}=1+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}}\frac{\mu_{M}-R_{M}}{\sigma_{M}},$$

und dies führt zur Darstellung (2.56) für das Martingalmaß Q.

3. Es gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\sum_{j=1}^{K}Q\left(\omega_{j}\right)&\displaystyle=\sum_{j=1}^{K}P\left(\omega_{j}\right)+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}^{2}}\sum_{j=1}^{K}\left(\mu_{M}-R_{M}\left(\omega_{j}\right)\right)P\left(\omega_{j}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=1+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}^{2}}\left(\mu_{M}\sum_{j=1}^{K}P\left(\omega_{j}\right)-\sum_{j=1}^{K}R_{M}\left(\omega_{j}\right)P\left(\omega_{j}\right)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=1+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}^{2}}\left(\mu_{M}-\mu_{M}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=1.\end{aligned}$$

4. Mit (1.45) lauten die Gewichte $w_{M}=\left(a,b,c\right)$ für die Darstellung der Rendite R _M des Marktportfolios mithilfe der Renditen der risikobehafteten Finanzinstrumente des Modells

$$\displaystyle w_{M}=\left(-1{,}1216238,\,\,\,1{,}711717,\,\,\,0{,}4099067\right),$$

sodass für die Rendite R _M des Marktportfolios in jedem der vier Zustände des Modells folgt

$$\displaystyle R_{M}=aR_{2}+bR_{3}+cR_{4}=\left(\begin{array}[]{r}0{,}018813\\ 0{,}0558819\\ -0{,}0145149\\ 0{,}0251128\end{array}\right).$$

Weiter gilt

$$\displaystyle\mu_{M}=\left\langle w_{M},\mu\right\rangle=0{,}0231767,\,\,\,\,\,\,\sigma_{M}=\left\langle w_{M},Cw_{M}\right\rangle^{\frac{1}{2}}=0{,}0260921$$

und, mit $r=1\,{\%}$, hat der Marktpreis des Risikos den Wert

$$\displaystyle\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}}=0{,}505005.$$

Werden diese Ergebnisse in (2.56) eingesetzt, also in

$$\displaystyle Q\left(\omega_{i}\right)=P\left(\omega_{i}\right)+\frac{\mu_{M}-r}{\sigma_{M}}\frac{\mu_{M}-R_{M}\left(\omega_{i}\right)}{\sigma_{M}}P\left(\omega_{i}\right)\,\,\,\,\,\,\left(i=1,\ldots,4\right),$$

dann ergeben sich für das Martingalmaß die Werte

$$\displaystyle Q=\left(\begin{array}[]{l}0{,}2168914\\ 0{,}1101\\ 0{,}4323771\\ 0{,}2406314\end{array}\right).$$

Dies stimmt mit (2.36) überein, was zu zeigen war.

25.

Es gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\left(\,\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(x\right)\,\mathrm{d}x\right)^{2}&\displaystyle=\left(\,\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(x\right)\,\mathrm{d}x\right)\left(\,\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(y\right)\,\mathrm{d}y\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(x\right)\varphi\left(y\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\alpha\\ \displaystyle&\displaystyle=\int_{0}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)r\,\mathrm{d}r\\ \displaystyle&\displaystyle=-\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)\,\mathrm{d}r\\ \displaystyle&\displaystyle=\left.-\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)\right|_{0}^{\infty}\\ \displaystyle&\displaystyle=1.\end{aligned}$$

Alle in dieser Rechnung auftretenden Grenzwertprozesse sind zulässig: Mit $I\left(R\right)=\int_{0}^{R}\exp\left(-\frac{1}{2}x^{2}\right)\,\mathrm{d}x$ gilt $\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\left(x\right)\,\mathrm{d}x=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\lim_{R\to\infty}I\left(R\right)$ sowie

$$\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R}\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\alpha&\displaystyle\leq\int_{0}^{R}\int_{0}^{R}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ \displaystyle&\displaystyle\leq\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2R}\exp\left(-\frac{1}{2}r^{2}\right)r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\alpha,\end{aligned}$$

also

$$\displaystyle\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-R^{2}}\right)\leq I\left(R\right)^{2}\leq\frac{\pi}{2}\left(1-e^{-2R^{2}}\right).$$

Für $R\to\infty$ folgt damit

$$\displaystyle\frac{2}{\pi}I\left(R\right)^{2}\to 1.$$

26.

1. Für die Standardnormalverteilung gilt

$$\displaystyle M\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\,\mathrm{d}x.$$

Zur Berechnung dieses Integrals wird der Exponent des Integranden zu einem Quadrat ergänzt,

$$\displaystyle\frac{1}{2}x^{2}-tx=\frac{1}{2}\left(x^{2}-2tx\right)=\frac{1}{2}\left(x^{2}-2tx+t^{2}\right)-\frac{1}{2}t^{2}=\frac{1}{2}\left(x-t\right)^{2}-\frac{1}{2}t^{2}.$$

Mit dem Ergebnis von Aufgabe 3.1 folgt

$$\displaystyle M\left(t\right)=e^{\frac{1}{2}t^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(x-t\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\right)=e^{\frac{1}{2}t^{2}}.$$

2. Mit der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion folgt

$$\displaystyle M\left(t\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2}t^{2}\right)^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{2k}}{2^{k}k!}=\sum_{\substack{n\in\mathbb{N}\\ n\text{ gerade}}}\frac{t^{n}}{\sqrt{2^{n}}\left(\frac{n}{2}\right)!}.$$

Daraus folgt, dass alle ungeraden Ableitungen von M an der Stelle 0 verschwinden, und für $n\in\mathbb{N}$, n gerade, gilt

$$\displaystyle M^{\left(n\right)}\left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2^{n}}\left(\frac{n}{2}\right)!}n!.$$

3. Aus der Formel für die Ableitungen von M an der Stelle 0 folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathbf{E}\left[X\right]&\displaystyle=M^{\prime}\left(0\right)=0,\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{2}\right]&\displaystyle=M^{\prime\prime}\left(0\right)=1,\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{3}\right]&\displaystyle=M^{\prime\prime\prime}\left(0\right)=0,\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{4}\right]&\displaystyle=M^{\left(4\right)}\left(0\right)=3.\end{aligned}$$

27.

1. Die Definition der momenterzeugenden Funktion der Zufallsvariablen Y = a + bX lautet

$$\begin{aligned}\displaystyle M_{Y}\left(t\right)&\displaystyle=\mathbf{E}\left[e^{tY}\right]\\ \displaystyle&\displaystyle=\mathbf{E}\left[e^{t\left(a+bX\right)}\right]\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{at}\mathbf{E}\left[e^{tbX}\right]\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{at}M_{X}\left(tb\right).\end{aligned}$$

2. Damit gilt für $Y\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^{2}\right)$, $Y=\mu+\sigma X$, $X\sim\mathcal{N}\left(0{,}1\right)$. Mit den Ergebnissen der Aufgabe 3.2 folgt für die momenterzeugende Funktion M von Y

$$\displaystyle M\left(t\right)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}}.$$

Daraus folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle M^{\prime}\left(t\right)&\displaystyle=\left(\mu+\sigma^{2}t\right)M\\ \displaystyle M^{\prime\prime}\left(t\right)&\displaystyle=\sigma^{2}M+\left(\mu+\sigma^{2}t\right)^{2}M\\ \displaystyle M^{\prime\prime\prime}\left(t\right)&\displaystyle=3\sigma^{2}\left(\mu+\sigma^{2}t\right)M+\left(\mu+\sigma^{2}t\right)^{3}M\\ \displaystyle M^{\left(4\right)}\left(t\right)&\displaystyle=3\sigma^{4}M+6\sigma^{2}\left(\mu+\sigma^{2}t\right)^{2}M+\left(\mu+\sigma^{2}t\right)^{4}M,\end{aligned}$$

also

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathbf{E}\left[Y\right]&\displaystyle=M^{\prime}\left(0\right)=\mu,\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{2}\right]&\displaystyle=M^{\prime\prime}\left(0\right)=\mu^{2}+\sigma^{2},\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{3}\right]&\displaystyle=M^{\prime\prime\prime}\left(0\right)=\mu^{3}+3\mu\sigma^{2},\\ \displaystyle\mathbf{E}\left[X^{4}\right]&\displaystyle=M^{\left(4\right)}\left(0\right)=\mu^{4}+6\mu^{2}\sigma^{2}+3\sigma^{4}.\end{aligned}$$

28.

Die Black-Scholes-Formeln für Call- und Put-Optionen lauten mit $F=\exp\left(rT\right)S$

$$c_{0} =e^{-rT}\left(F\Phi\left(d_{+}\right)-K\Phi\left(d_{-}\right)\right)$$

(5.1)

$$p_{0} =e^{-rT}\left(K\Phi\left(-d_{-}\right)-F\Phi\left(-d_{+}\right)\right).$$

Berechnung von Δ: Zunächst gilt $d_{\pm}=\frac{\ln\left(\frac{F}{K}\right)}{\sigma\sqrt{T}}\pm\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}$ und

$$\displaystyle d_{+}=d_{-}+\sigma\sqrt{T}.$$

Daher folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle d_{+}^{2}&\displaystyle=d_{-}^{2}+2d_{-}\sigma\sqrt{T}+\sigma^{2}T\\ \displaystyle&\displaystyle=d_{-}^{2}+2\ln\left(\frac{F}{K}\right).\end{aligned}$$

Weiter gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}d_{+}^{2}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}d_{-}^{2}-\ln\frac{F}{K}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{K}{F}\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right),\end{aligned}$$

also

$$F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)=K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right).$$

(5.2)

So erhalten wir wegen $\frac{\partial}{\partial S}\ln\left(\frac{F}{K}\right)=\frac{\partial}{\partial S}\ln\left(\frac{e^{rT}S}{K}\right)=\frac{1}{S}$

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial S}d_{\pm}=\frac{1}{\sigma\sqrt{T}}\frac{\partial}{\partial S}\ln\left(\frac{F}{K}\right)=\frac{1}{S\sigma\sqrt{T}}$$

und berechnen damit

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial}{\partial S}c_{0}&\displaystyle=\Phi\left(d_{+}\right)+e^{-rT}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)\frac{\partial d_{+}}{\partial S}-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)\frac{\partial d_{-}}{\partial S}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\Phi\left(d_{+}\right)+\frac{e^{-rT}}{S\sigma\sqrt{T}}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\Phi\left(d_{+}\right).\end{aligned}$$

Aus der Put-Call-Parität $p_{0}=c_{0}+Ke^{-rT}-S$ folgt

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial S}p_{0}=\frac{\partial}{\partial S}c_{0}-1=\Phi\left(d_{+}\right)-1=-\Phi\left(-d_{+}\right),$$

wobei in der letzten Gleichheit der Zusammenhang $\Phi\left(x\right)=1-\Phi\left(-x\right)$ verwendet wurde.

Berechnung von ρ: Aus $d_{\pm}=\frac{\ln\left(\frac{S}{K}\right)\pm\frac{1}{2}\sigma^{2}T}{\sigma\sqrt{T}}+r\frac{\sqrt{T}}{\sigma}$ folgt

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}d_{\pm}=\frac{\sqrt{T}}{\sigma}.$$

Damit erhalten wir

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}c_{0}&\displaystyle=\frac{\partial}{\partial r}\left(S\Phi\left(d_{+}\right)-e^{-rT}K\Phi\left(d_{-}\right)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=S\frac{\partial\Phi\left(d_{+}\right)}{\partial r}-e^{-rT}K\frac{\partial\Phi\left(d_{-}\right)}{\partial r}+e^{-rT}TK\Phi\left(d_{-}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{-rT}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)\right)\frac{\sqrt{T}}{\sigma}+e^{-rT}TK\Phi\left(d_{-}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{-rT}TK\Phi\left(d_{-}\right),\end{aligned}$$

wobei (5.2) verwendet wurde. Mit der Put-Call-Parität $p_{0}=c_{0}+Ke^{-rT}-S$ und wegen $\Phi\left(x\right)=1-\Phi\left(-x\right)$ folgt

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}p_{0}&\displaystyle=\frac{\partial}{\partial r}c_{0}-TKe^{-rT}\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{-rT}TK\left(\Phi\left(d_{-}\right)-1\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-e^{-rT}TK\Phi\left(-d_{-}\right).\end{aligned}$$

Berechnung von ν: Wir berechnen

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\partial d_{\pm}}{\partial\sigma}&\displaystyle=\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\frac{\ln\left(\frac{F}{K}\right)}{\sigma\sqrt{T}}\pm\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-\frac{1}{\sigma}\left(\frac{\ln\left(\frac{F}{K}\right)}{\sigma\sqrt{T}}\mp\frac{1}{2}\sigma\sqrt{T}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-\frac{1}{\sigma}d_{\mp}.\end{aligned}$$

Daraus folgt mit $d_{+}=d_{-}+\sigma\sqrt{T}$ und mit (5.2)

$$\begin{aligned}\displaystyle c_{0}&\displaystyle=e^{-rT}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)\frac{\partial d_{+}}{\partial\sigma}-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)\frac{\partial d_{-}}{\partial\sigma}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-\frac{1}{\sigma}e^{-rT}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)d_{-}-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)d_{+}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-\frac{1}{\sigma}e^{-rT}\left(F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)d_{+}-F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)\sigma\sqrt{T}-K\Phi^{\prime}\left(d_{-}\right)d_{+}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=e^{-rT}\sqrt{T}F\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=S\sqrt{T}\Phi^{\prime}\left(d_{+}\right).\end{aligned}$$

Aus der Put-Call-Parität folgt unmittelbar

$$\displaystyle\frac{\partial}{\partial\sigma}p_{0}=\frac{\partial}{\partial\sigma}c_{0}.$$

29.

1. Es sei $\alpha=1\,{\%}$. Mit $\mu=10\,{\%}$ und $\sigma=25\,{\%}$ gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(h\right)&\displaystyle=-V_{0}\left(h\right)\cdot\left(\frac{1}{25}\mu-\frac{2{,}326}{5}\sigma\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-1.000.000\cdot\left(\frac{1}{25}10\,{\%}-\frac{2{,}326}{5}25\,{\%}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=112.300.\end{aligned}$$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % verliert das Portfolio h nach 10 Tagen also nicht mehr als 112.300 Euro. Für den prozentualen Value at Risk folgt

$$\displaystyle\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(h\right)}{V_{0}\left(h\right)}=11{,}2\,{\%}.$$

2. Wird die erwartete Rendite bei der Berechnung des Value at Risk vernachlässigt, dann folgt

$$\displaystyle\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(h\right)\approx 1.000.000\cdot\frac{2{,}326}{5}25\,{\%}=116.300$$

und der prozentuale Value at Risk lautet

$$\displaystyle\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(h\right)}{V_{0}\left(h\right)}=11{,}6\,{\%}.$$

Der Fehler, der durch diese Vernachlässigung entsteht, liegt also in der Größenordnung von $0{,}5\,{\%}$.

30.

1. Das Anfangskapital des Portfolios beträgt $P_{0}=h_{S}S_{0}+h_{T}T_{0}=1002$. Dann gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle R_{P}&\displaystyle=\alpha_{S}R_{S}+\alpha_{T}R_{T}\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{600}{1002}R_{S}+\frac{402}{1002}R_{T}.\end{aligned}$$

Die modifizierten Sensitivitäten von P bezüglich S und T lauten

$$\displaystyle\pi\left(P,S\right)=\frac{\partial P}{\partial S}S=h_{S}S\text{ und }\pi\left(P,T\right)=h_{T}T,$$

und das bedeutet

$$\displaystyle\mathcal{R}_{P}=R_{P},$$

die Delta-Normal-Rendite stimmt also mit der gewöhnlichen Portfoliorendite überein. Daraus folgt bereits

$$\displaystyle\mathbf{V@R}_{\mathbf{DN}}^{\alpha}(P)=\mathbf{V@R}^{\alpha}(P).$$

Weiter gilt

$$\displaystyle\mu_{P}=E\left(R_{P}\right)=6{,}41\,{\%}.$$

Die Kovarianzmatrix lautet

$$\displaystyle C=\left(\begin{array}[]{ll}\sigma_{S}^{2}&\rho\sigma_{S}\sigma_{T}\\ \rho\sigma_{S}\sigma_{T}&\sigma_{T}^{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{ll}0{,}0081&0{,}0036\\ 0{,}0036&0{,}04\end{array}\right),$$

und daraus ergeben sich die Portfoliovarianz und das Risiko des Portfolios

$$\begin{aligned}\displaystyle\sigma_{P}^{2}&\displaystyle=\left\langle\alpha,C\alpha\right\rangle=1{,}1072\times 10^{-2}\\ \displaystyle\sigma_{P}&\displaystyle=\sqrt{V\left(R_{P}\right)}=10{,}52\,{\%}.\end{aligned}$$

Für den Value at Risk erhalten wir damit

$$\begin{aligned}\displaystyle V@R\left(P\right)&\displaystyle=-P_{0}\left(\frac{1}{25}\cdot\left\langle\alpha,\mu_{P}\right\rangle+\frac{1}{5}\sigma_{P}q^{1\,{\%}}\left(0{,}1\right)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-1002\cdot\left(\frac{1}{25}\cdot 6{,}41\,{\%}-\frac{1}{5}\cdot 10{,}52\,{\%}\cdot 2{,}326\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=46{,}48.\end{aligned}$$

2. Das Portfolio P werde ergänzt um 2 Stücke eines Derivats mit der Preisfunktion $X\left(S,T\right)=ST$. Es ist der Value at Risk dieses Portfolios Q = P + 2X nach der Delta-Normal-Methode zu berechnen. Zunächst gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathbf{d}X\left(S,T\right)&\displaystyle=\frac{\partial X}{\partial S}\left(S_{0},T_{0}\right)\mathbf{d}S+\frac{\partial X}{\partial T}\left(S_{0},T_{0}\right)+\mathbf{d}T=T_{0}\mathbf{d}S+S_{0}\mathbf{d}T,\\ \displaystyle\mathcal{R}_{X}&\displaystyle=\frac{\mathbf{d}f}{X_{0}}=S_{0}T_{0}\frac{\mathbf{d}S}{X_{0}}+S_{0}T_{0}\frac{\mathbf{d}T}{X_{0}}=\mathbf{d}S+\mathbf{d}T,\end{aligned}$$

und die Rendite des Portfolios lautet mit $Q_{0}=5S_{0}+67T_{0}+2X_{0}=2442$ zusammengefasst

$$\displaystyle R_{Q}=\frac{2040}{2442}R_{S}+\frac{1842}{2442}R_{T}.$$

Damit erhalten wir

$$\begin{aligned}\displaystyle\mu_{Q}&\displaystyle=E\left(R_{P}\right)=10{,}89\,{\%}\\ \displaystyle\sigma_{Q}^{2}&\displaystyle=\left\langle\alpha,C\alpha\right\rangle=3{,}29\times 10^{-2}\\ \displaystyle\sigma_{Q}&\displaystyle=\sqrt{\left\langle\alpha,C\alpha\right\rangle}=18{,}15\,{\%},\end{aligned}$$

und der Delta-Normal-Value at Risk ergibt sich zu

$$\begin{aligned}\displaystyle\mathbf{V@R}_{\mathbf{DN}}^{\alpha}(Q)&\displaystyle=-Q_{0}\left(\frac{1}{25}\cdot\left\langle\alpha,\mu_{Q}\right\rangle+\frac{1}{5}\sigma_{Q}q^{1\,{\%}}\left(0{,}1\right)\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=-2442\cdot\left(\frac{1}{25}\cdot 10{,}89\,{\%}-\frac{1}{5}\cdot 18{,}15\,{\%}\cdot 2{,}326\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=195{,}58.\end{aligned}$$

31.

1. Die Delta-Normal-Rendite $\mathcal{R}_{P}$ des Portfolios P ist nach (3.37) gegeben durch

$$\displaystyle\mathcal{R}_{P}=\frac{1}{P_{0}}\sum_{j=1}^{3}\pi\left(P,F^{j}\right)R_{j},$$

wobei $\pi\left(P,F^{j}\right)$ die modifizierten Sensitivitäten von P nach den Risikofaktoren bezeichnen. Mit (3.46) und (3.47) gilt

$$\begin{aligned}\displaystyle\pi\left(P,F^{1}\right)&\displaystyle=h^{1}S_{0}^{1}=20\cdot 100=2000,\\ \displaystyle\pi\left(P,F^{2}\right)&\displaystyle=h^{2}S_{0}^{2}=120\cdot 10=1200,\\ \displaystyle\pi\left(P,F^{3}\right)&\displaystyle=h^{3}\cdot\left(-T\frac{B_{0}}{1+r}\right)r=250\cdot\left(-\frac{1}{25}\frac{9800}{1{,}08}\right)\cdot 0{,}08=-7259{,}26.\end{aligned}$$

Aus den gegebenen Daten ergibt sich die Kovarianzmatrix der Renditen der Risikofaktoren zu

$$\begin{aligned}\displaystyle C&\displaystyle=\left(\begin{array}[]{lll}\sigma_{1}^{2}&\sigma_{1}\sigma_{2}\rho_{12}&\sigma_{1}\sigma_{3}\rho_{13}\\ \sigma_{2}\sigma_{1}\rho_{21}&\sigma_{2}^{2}&\sigma_{2}\sigma_{3}\rho_{23}\\ \sigma_{3}\sigma_{1}\rho_{31}&\sigma_{3}\sigma_{2}\rho_{32}&\sigma_{3}^{2}\end{array}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\left(\begin{array}[]{lll}\phantom{-}0{,}04&\phantom{-}0{,}01&-0{,}001\\ \phantom{-}0{,}01&\phantom{-}0{,}0625&-0{,}001875\\ -0{,}001&-0{,}001875&\phantom{-}0{,}0025\end{array}\right).\end{aligned}$$

Damit folgt mit (3.38) der Delta-Normal-Value at Risk für $\alpha=1\,{\%}$

$$\displaystyle\mathbf{V@R}_{\mathbf{DN}}^{\alpha}\left(P\right)=-T\left\langle\pi,\mu\right\rangle-z_{\alpha}\sqrt{T}\sqrt{\left\langle\pi,C\pi\right\rangle}=338{,}36.$$

2. Für die Risiken der Risikofaktorgruppen gilt:

Zerlegungen des Gesamtrisikos
Aktien		Zinsen
	2000		0
$P_{I}\pi$	1200	$P_{I}\pi$	0
	0		$-7259{,}26$
Gruppenrisiken
$\mathbf{V@R}_{I}^{\alpha}(P)=$	$237{,}15$	$\mathbf{V@R}_{I}^{\alpha}(P)=$	$197{,}89$	Summe	$435{,}04$
Component Value at Risk
$\mathbf{cV@R}_{I}^{\alpha}(P)=$	$201{,}42$	$\mathbf{cV@R}_{I}^{\alpha}(P)=$	$136{,}93$	Summe	$338{,}36$

Die Summe der mithilfe von (3.53) berechneten Teilrisiken in Höhe von $435{,}04$ ist größer als das in 1. berechnete Delta-Normal-Risiko des Portfolios in Höhe von $338{,}36$. Dagegen ergibt die Summe der beiden mit (3.54) berechneten Component Value at Risk-Werte genau den Delta-Normal-Value at Risk des Portfolios. Dies ist darauf zurückzuführen, dass beim Component Value at Risk in die Berechnung des Risikos einer Risikofaktorgruppe alle Risikofaktoren einbezogen werden, sodass Diversifikationseffekte, im Gegensatz zur Berechnung mithilfe von (3.53), berücksichtigt werden.

32.

Für X ≥ 0 gilt zunächst $X^{-}=0$ und damit $\mathbf{E}\left[X^{-}\right]=0$, also ist ρ monoton. Seien $X,Y\in V$ und $\omega\in\Omega$ beliebig. Wir betrachten folgende Fallunterscheidungen:

${X\left(\omega\right)}$	${Y\left(\omega\right)}$	${\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)}$	${X^{-}\left(\omega\right)}$	${Y^{-}\left(\omega\right)}$
${\leq 0}$	${\leq 0}$	${-X\left(\omega\right)-Y\left(\omega\right)}$	${-X\left(\omega\right)}$	${-Y\left(\omega\right)}$
${\leq 0}$	${\geq 0}$	${0\leq\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)\leq-X\left(\omega\right)}$	${-X\left(\omega\right)}$	0
${\geq 0}$	${\leq 0}$	${0\leq\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)\leq-Y\left(\omega\right)}$	0	${-Y\left(\omega\right)}$
${\geq 0}$	${\geq 0}$	0	0	0

In jedem Fall gilt also $\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)\leq X^{-}\left(\omega\right)+Y^{-}\left(\omega\right)$. Daraus folgt aber

$$\displaystyle\mathbf{E}\left[\left(X+Y\right)^{-}\right]\leq\mathbf{E}\left[X^{-}\right]+\mathbf{E}\left[Y^{-}\right],$$

also ist ρ subadditiv. Für λ > 0 gilt $\left(\lambda X\right)^{-}=\lambda X^{-}$, so dass aus der Linearität des Erwartungswerts die positive Homogenität von ρ folgt. Für a > 0 betrachten wir schließlich $X\left(\omega\right)=a$ für alle $\omega\in\Omega$. Dann gilt $X\in V$ sowie $\rho\left(X\right)=0$ aufgrund der Monotonie von ρ. Dann gilt

$$\displaystyle\rho\left(X+a\right)=\mathbf{E}\left[\left(X+a\right)^{-}\right]=0\neq-a=\mathbf{E}\left[X^{-}\right]-a=\rho\left(X\right)-a,$$

und ρ ist nicht translationsinvariant, also nicht kohärent.

33.

1. Für den Nachweis der Kohärenz ist das Risikomaß $\rho\left(X\right)=-\mathbf{E}\left[X\right]$ auf die Eigenschaften Monotonie, Subadditivität, positive Homogenität und Translationsinvarianz hin zu untersuchen. Es gilt

a)

Für X ≥ 0 gilt $\mathbf{E}\left[X\right]\geq 0$, also $\rho\left(X\right)=-\mathbf{E}\left[X\right]\leq 0$.

b)

Es gilt $\mathbf{E}\left[X+Y\right]=\mathbf{E}\left[X\right]+\mathbf{E}\left[Y\right]$, und damit folgt sogar $\rho\left(X+Y\right)=\rho\left(X\right)+\rho\left(Y\right)$.

c)

Es gilt für beliebige $\lambda\in\mathbb{R}$ die Eigenschaft $\mathbf{E}\left[\lambda X\right]=\lambda\mathbf{E}\left[X\right]$, also insbesondere für λ > 0.

d)

Es gilt $\rho\left(X+a\right)=-\mathbf{E}\left[X+a\right]=-\mathbf{E}\left[X\right]-\mathbf{E}\left[a\right]=\rho\left(X\right)-a$, denn der Erwartungswert einer Konstanten ist die Konstante selbst: $\mathbf{E}\left[a\right]=a$.

2. Bei diesem Risikomaß spielt die Verteilung der Verluste nur eine geringe Rolle, und negative Wertentwicklungen werden durch Gewinnerwartungen kompensiert. Angenommen, eine X Auszahlung hat einen Erwartungswert von 0. Dann folgt $\rho\left(X\right)=-\mathbf{E}\left[X\right]=0$, unabhängig davon, wie die Verluste verteilt sind.

34.

Die Behauptung basiert auf der Abschätzung

$$\displaystyle X\leq Y+\left\|X-Y\right\|.$$

Aus der Translationsinvarianz und aus Lemma 4.5 folgt

$$\displaystyle\rho\left(Y\right)-\left\|X-Y\right\|=\rho\left(Y+\left\|X-Y\right\|\right)\leq\rho\left(X\right),$$

und damit erhalten wir

$$\displaystyle\rho\left(Y\right)-\rho\left(X\right)\leq\left\|X-Y\right\|.$$

Die Vertauschung der Rollen von X und Y liefert die Behauptung

$$\displaystyle\left|\rho\left(Y\right)-\rho\left(X\right)\right|\leq\left\|X-Y\right\|.$$

35.

1. Der Expected Shortfall der normalverteilten Zufallsvariablen $X=c-c_{0}$ ist gegeben durch

$$\displaystyle\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)=-c_{0}\left(\mu-\sigma\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha}\right),$$

der Value at Risk nach (3.38) durch

$$\displaystyle\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(c\right)=-c_{0}\left(\mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right).$$

Dann gilt mit $\mu=\frac{10\,{\%}}{25}=0{,}004$ und $\sigma=\frac{25\,{\%}}{5}=0{,}05$:

α	$\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}$	$\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}$	$\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}$
$0{,}05$	$0{,}0991$	$0{,}0782$	$1{,}27$
$0{,}01$	$0{,}1293$	$0{,}1123$	$1{,}15$
$0{,}005$	$0{,}1406$	$0{,}1248$	$1{,}13$
$0{,}001$	$0{,}1644$	0.1505	$1{,}09$

Je näher α bei null liegt, desto näher liegen die Quotienten von Expected Shortfall und Value at Risk bei 1 in Übereinstimmung mit Korollar 4.22.

2. Werden in beiden Ausdrücken die erwarteten Renditen vernachlässigt, dann gilt

$$\displaystyle\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}=-\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha\cdot\Phi^{-1}\left(\alpha\right)}$$

und in diesem Fall folgt die Tabelle:

α	$-\Phi^{-1}\left(\alpha\right)$	$\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)$	$\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha}$	$-\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha\cdot\Phi^{-1}\left(\alpha\right)}$
$0{,}05$	$1{,}6449$	$0{,}1031$	$2{,}063$	$1{,}25$
$0{,}01$	$2{,}3263$	$0{,}0267$	$2{,}666$	$1{,}15$
$0{,}005$	$2{,}5758$	$0{,}0145$	$2{,}892$	$1{,}12$
$0{,}001$	$3{,}0902$	$0{,}0034$	$3{,}367$	$1{,}09$

36.

Sei c ein Finanzinstrument mit Anfangswert $c_{0}> 0$ und sei $X=c-c_{0}$ lognormalverteilt. Dann gilt für $\mu=\frac{10\,{\%}}{25}=0{,}004$ und $\sigma=\frac{25\,{\%}}{5}=0{,}05$ mit

$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}&\displaystyle=1-\frac{\Phi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)-\sigma\right)}{\alpha}e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^{2}}\\ \displaystyle\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}&\displaystyle=1-e^{\mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\alpha\right)}\end{aligned}$$

die Tabelle:

α	$\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}$	$\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}$	$\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}$
$0{,}05$	$0{,}0943$	$0{,}0753$	$1{,}25$
$0{,}01$	$0{,}1210$	$0{,}1062$	$1{,}14$
$0{,}005$	$0{,}1310$	$0{,}1173$	$1{,}12$
$0{,}001$	$0{,}1513$	$0{,}1397$	$1{,}08$

Die berechneten Quotienten

$$\displaystyle\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}$$

für lognormalverteilte Daten stimmen mit den entsprechenden Quotienten für normalverteilte Daten fast überein und die Quotienten nähern sich für kleine α auch im Falle lognormalverteilter Daten dem Wert 1 in Übereinstimmung mit Korollar 4.23.

37.

Nach (3.18) gilt

$$\displaystyle i_{0}=\left\lfloor n\cdot\alpha\right\rfloor+1=\left\lfloor 100.000\cdot 1\,{\%}\right\rfloor+1=1001.$$

Wegen $X_{\left(1\right)}\leq X_{\left(2\right)}\leq\cdots\leq X_{\left(1000\right)}\leq X_{\left(1001\right)}\leq\cdots$ gilt $X_{\left(1\right)}+\cdots+X_{\left(1000\right)}\leq 1000\cdot X_{\left(1001\right)}$, also

$$\displaystyle\widehat{\mathbf{ES}_{\alpha}\left(X\right)}=-\frac{1}{1000}\left(X_{\left(1\right)}+\cdots+X_{\left(1000\right)}\right)\geq-X_{\left(1001\right)}=\widehat{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)},$$

der Expected Shortfall ist also mindestens so hoch wie der Value at Risk, wobei (3.19) verwendet wurde.

Jahr	geschätzte Rendite \(\hat{\mu}_{i}\) [%]	Rendite μ_i nach CAPM [%]
S ¹	\(\frac{125-100}{100}=25\)	\(2+\left(20-2\right)\cdot 1=20\)
S ²	\(\frac{17-15}{15}=13{,}3\)	\(2+\left(20-2\right)\cdot 0{,}8=16{,}4\)
S ³	\(\frac{31-25}{31}=24\)	\(2+\left(20-2\right)\cdot 1{,}2=23{,}6\)

Zerlegungen des Gesamtrisikos
Aktien		Zinsen
	2000		0
\(P_{I}\pi\)	1200	\(P_{I}\pi\)	0
	0		\(-7259{,}26\)
Gruppenrisiken
\(\mathbf{V@R}_{I}^{\alpha}(P)=\)	\(237{,}15\)	\(\mathbf{V@R}_{I}^{\alpha}(P)=\)	\(197{,}89\)	Summe	\(435{,}04\)
Component Value at Risk
\(\mathbf{cV@R}_{I}^{\alpha}(P)=\)	\(201{,}42\)	\(\mathbf{cV@R}_{I}^{\alpha}(P)=\)	\(136{,}93\)	Summe	\(338{,}36\)

\({X\left(\omega\right)}\)	\({Y\left(\omega\right)}\)	\({\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)}\)	\({X^{-}\left(\omega\right)}\)	\({Y^{-}\left(\omega\right)}\)
\({\leq 0}\)	\({\leq 0}\)	\({-X\left(\omega\right)-Y\left(\omega\right)}\)	\({-X\left(\omega\right)}\)	\({-Y\left(\omega\right)}\)
\({\leq 0}\)	\({\geq 0}\)	\({0\leq\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)\leq-X\left(\omega\right)}\)	\({-X\left(\omega\right)}\)	0
\({\geq 0}\)	\({\leq 0}\)	\({0\leq\left(X+Y\right)^{-}\left(\omega\right)\leq-Y\left(\omega\right)}\)	0	\({-Y\left(\omega\right)}\)
\({\geq 0}\)	\({\geq 0}\)	0	0	0

α	\(\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}\)	\(\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}\)	\(\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}\)
\(0{,}05\)	\(0{,}0991\)	\(0{,}0782\)	\(1{,}27\)
\(0{,}01\)	\(0{,}1293\)	\(0{,}1123\)	\(1{,}15\)
\(0{,}005\)	\(0{,}1406\)	\(0{,}1248\)	\(1{,}13\)
\(0{,}001\)	\(0{,}1644\)	0.1505	\(1{,}09\)

α	\(-\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\)	\(\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)\)	\(\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha}\)	\(-\frac{\varphi\left(\Phi^{-1}\left(\alpha\right)\right)}{\alpha\cdot\Phi^{-1}\left(\alpha\right)}\)
\(0{,}05\)	\(1{,}6449\)	\(0{,}1031\)	\(2{,}063\)	\(1{,}25\)
\(0{,}01\)	\(2{,}3263\)	\(0{,}0267\)	\(2{,}666\)	\(1{,}15\)
\(0{,}005\)	\(2{,}5758\)	\(0{,}0145\)	\(2{,}892\)	\(1{,}12\)
\(0{,}001\)	\(3{,}0902\)	\(0{,}0034\)	\(3{,}367\)	\(1{,}09\)

Springer Professional

5. Lösungen der Übungsaufgaben

Auszug

Dont have a licence yet? Then find out more about our products and how to get one now:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"

α	\(\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}\)	\(\frac{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}{c_{0}}\)	\(\frac{\mathbf{ES}^{\alpha}\left(X\right)}{\mathbf{V@R}^{\alpha}\left(X\right)}\)
\(0{,}05\)	\(0{,}0943\)	\(0{,}0753\)	\(1{,}25\)
\(0{,}01\)	\(0{,}1210\)	\(0{,}1062\)	\(1{,}14\)
\(0{,}005\)	\(0{,}1310\)	\(0{,}1173\)	\(1{,}12\)
\(0{,}001\)	\(0{,}1513\)	\(0{,}1397\)	\(1{,}08\)

Springer Professional

Auszug

Please log in to get access to your license.

Dont have a licence yet? Then find out more about our products and how to get one now:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"