Mathe, Märkte und Millionen

„Geschenkte“ Mehrwertsteuer und tatsächlich gewährter Rabatt sind unterschiedlich, der Rabatt ist kleiner.

Ein Sechser im Lotto ist ein Synonym für Unwahrscheinlichkeit, und doch gibt es fast jede Woche Gewinner. Wir erklären, warum dem so ist und bringen noch etwas Strategie ins Lotto-Spielen.

Um welchen Prozentsatz muss ein Aktienkurs wieder steigen, damit er nach einem Kursverlust wieder auf den alten Stand ansteigt?

In vielen Problemen der Finanzmathematik kann die Lösung nicht durch Formelumstellung erfolgen, sondern nur mithilfe numerischer Lösungsverfahren. Ein einfaches derartiges Verfahren wird anschaulich vorgestellt.

Um die Rendite von Anleihen oder anderen Finanzprodukten zu berechnen, sind in der Regel Polynomgleichungen zu lösen. Von Interesse ist es, zu wissen, wie viele Nullstellen diese besitzen.

Selbst 500 Jahre alte Aufgaben von Adam Ries sind auch heute noch von großem Interesse. Sie zeigen, wie praxisverbunden dieser mittelalterliche Rechenmeister war, den man durchaus als Wirtschaftsmathematiker bezeichnen kann.

Wie soll man am besten Einzahlungen in Fondssparpläne gestalten, um eine möglichst hohe Rendite zu erzielen?

Auch Gesetzestexte können Mathematik enthalten. Als Beispiel dient in dieser Geschichte die – nicht ganz einfache – Berechnung der Einkommensteuer.

Das Phänomen der kalten Progression wird an einem vereinfachten Steuertarif detailliert untersucht.

Auch in vielen Alltagssituationen kommt man um Zinsberechnungen nicht herum. In dieser Geschichte geht es um die einfache (lineare) Verzinsung.

Ein interessantes und praxisrelevantes Beispiel linearer Verzinsung ist die Gewährung eines Skontos, wie sie beispielsweise bei der Bezahlung von Handwerkerrechnungen vorkommt.

Am häufigsten kommt im täglichen Leben die geometrische (exponentielle) Verzinsung vor, meist Zinseszinsrechnung genannt. Es wird eine leicht verständliche Einführung gegeben.

Eine häufig gestellte Frage ist die nach der Verdoppelung eines Kapitals bei gegebenem Zinssatz.

Bei der realen Entwicklung eines Kapitals hat man neben dem Zinssatz auch die Inflation zu beachten, was meist vergessen oder einfach nicht berücksichtigt wird.

Ein ganz wichtiger Faktor in der Finanzmathematik ist die Zeit. Es kommt immer darauf an, wann Ein- oder Auszahlungen erfolgen. Die Nichtberücksichtigung oder das nicht korrekte Einbeziehen des Faktors Zeit führt unweigerlich zu falschen Resultaten.

Es wird eine anschauliche Einführung in die Tilgungsrechnung anhand der Annuitätentilgung gegeben. In praktischen Problemstellungen ergeben sich oftmals Ergebnisse, zum Beispiel hinsichtlich der Laufzeit oder der Gesamtzahlungen, die für den Laien überraschend sind.

Auch in Romanen finden sich mitunter äußerst interessante finanzmathematische Probleme. So kann man beispielsweise aus einer Tschechow'schen Erzählung mehrere Aufgaben der Tilgungsrechnung ableiten.

Warum weichen in der Regel Nominalzinssätze von Effektivzinssätzen ab? Unterjährige Verzinsung bzw. Zahlungsweise sind ein möglicher Grund.

Finanzierungsangebote von Auto- oder Möbelhändlern klingen oftmals sehr attraktiv. Aber sind sie es wirklich in jedem Fall?

Zur Berechnung von Renditen bzw. Effektivzinssätzen ist die Untersuchung von Zahlungsströmen gut geeignet. Diese ist allerdings nicht immer ganz einfach.

In der Finanzmathematik spielt der Begriff des Barwerts eine zentrale Rolle. Ihn richtig zu verstehen, ist häufig nicht leicht, weil der Faktor Zeit unterschätzt wird und die Zeitpunkte von Zahlungen nicht gebührend berücksichtigt werden.

Bedeutet eine Null-Prozent-Finanzierung wirklich immer keine Zinsen? Eine Antwort liefert die Renditeberechnung.

Es wird eine anschauliche Einführung in die stetige (kontinuierliche) Verzinsung gegeben, die in Finanzmarktmodellen oftmals angewendet wird.

Das Finanzprodukt Anleihe (Bond) wird detailliert untersucht, wichtige Begriffe werden anschaulich erläutert.

Im Gesetztestext zur Preisangabenverordnung findet der mathematisch Interessierte detaillierte Formeln und Berechnungsvorschriften zur Ermittlung des Effektivzinssatzes von Darlehen. Zentrale Begriffe hierbei sind das Äquivalenzprinzip bzw. der Barwertvergleich.

Worin unterscheiden sich theoretische (faire) und praktische Preise von Finanzprodukten?

Zinssätze hängen in aller Regel von der Laufzeit des entsprechenden Produkts ab. Während in der klassischen Finanzmathematik der Zinssatz meist als feste Größe betrachtet wird, gibt es zahlreiche Situationen, in denen detailliertere Betrachtungen vonnöten sind. Dabei spielt der Begriff der Zinsstrukturkurve eine wesentliche Rolle.

Am Finanzmarkt ist oftmals von Plain-Vanilla-Produkten die Rede. Gemeint sind möglichst einfache Produkte, die keine Besonderheiten aufweisen.

Ein interessantes und oft angewandtes Finanzierungsinstrument ist der Swap, der im Austausch unterschiedlicher Zahlungsströme zum gegenseitigen Vorteil besteht.

Im Zusammenhang mit Swaps ist die Swap Rate als der zu zahlende Zinssatz wichtig. Die Berechnung der Swaprate führt auf ein interessantes mathematisches Phänomen – die Teleskopsumme.

Um Zinsstrukturkurven zu konstruieren, benötigt man die entsprechenden Spot Rates. Wie diese aus am Markt beobachtbaren Swap Rates berechnet werden können, wird in dieser Geschichte beschrieben.

Der Wert einer Anleihe oder anderer festverzinslicher Finanzprodukte ändert sich, wenn sich Marktzinssätze ändern. Zur Beschreibung dieser Änderungen dienen sogenannte Risikokennzahlen.

Eine häufig verwendete Risikokennzahl ist die Duration. Diese besitzt mehrere interessante Eigenschaften wie zum Beispiel die Immunisierungseigenschaft.

Zertifikate sind Finanzprodukte, die oftmals nicht leicht zu verstehen sind. Entsprechend kompliziert sind auch die mathematischen Berechnungen wesentlicher Kenngrößen.

Termingeschäfte dienen sowohl der Absicherung als auch der Spekulation. Der Verkauf der Ernte auf dem Halm gehört zu den historisch ersten Warentermingeschäften. Thomas Mann beschreibt in den „Buddenbrooks“ eindrucksvoll, wohin solche Geschäfte führen können.

Nicht jeder, der Warentermingeschäfte abschließt, will die Waren auch tatsächlich erwerben. Oftmals dienen Kauf und Verkauf (Glattstellung) lediglich der Spekulation.

Von einer Arbitragemöglichkeit spricht man, wenn man von (meist sehr geringen) Preisdifferenzen auf verschiedenen Märkten profitieren kann. In theoretischen Untersuchungen wird in der Regel davon ausgegangen, dass derartige Möglichkeiten nicht existieren. Unter dieser Voraussetzung lassen sich faire (theoretische) Preise komplizierter Finanzprodukte ermitteln.

In der Praxis kann es kurzzeitig passieren, dass Preisdifferenzen auf verschiedenen Märkten auftreten. Unter Ausnutzung von Arbitrage kann man ggf. davon profitieren.

Optionen sind bedingte Termingeschäfte. Verschiedene Arten von Optionen werden in dieser Geschichte vorgestellt.

Die Begriffe Rendite, Risiko und Liquidität sowie Arbitrage, Hedging und Spekulation stehen jeweils in engem Zusammenhang.

Lebt der Finanzmarkt nur von Bauchentscheidungen und Spekulation? Wir erklären, dass einfache Prinzipien sogar zum Nobel-Preis führen können.

Eine berühmte Formel zur Optionspreisberechnung ist die Black-Scholes-Formel, die in dieser Geschichte an einem einfachen Beispiel anschaulich erläutert wird.

Mit Hilfe der Einführung in das Binomialmodell als einfachstes, aber populäres und in der Praxis verwendetem Aktienpreismodell, stellen wir Prinzipien der Modellierung von Aktienpreisen vor.

Der Preis von Optionen ändert sich, wenn sich gewisse Einflussgrößen ändern. Zur Beschreibung der Preisänderungen dienen sogenannte Risikokennzahlen.

Dass man mitunter auch bei falscher Rechnung zum richtigen Ergebnis gelangen kann, wird am Beispiel der Risikokennzahl Delta für Aktienoptionen gezeigt.

Jedes Fachgebiet hat seine eigene Sprache. So verwenden auch die Akteure an den Finanzmärkten oftmals für den Laien ungewöhnliche Begriffe.

Neben der Spekulation ist auch die Strategie der Absicherung (Hedging) eine gängige Methode bei der Geldanlage.

Der Begriff der Volatilität ist einer der am meisten verwendeten mathematischen Begriffe im Optionshandel. Dass er zum Teil mehrdeutig verwendet wird, führt zu Verwirrungen, die wir in der Geschichte auflösen.

„So richtig schnelles Geld kann man nur mit Optionen machen und hauptsächlich dann, wenn man Optionen mit einem großen Hebel kauft.“ Was nach einer Börsenweisheit klingt, wird in dieser Geschichte genauer beleuchtet. Und der große Hebel kann auch zu richtig schnellen Verlusten führen.

Es wird eine knappe Einführung in die Portfoliooptimierung und das Markowitz-Modell gegeben.

„Du wolltest mir doch mal erklären, wie man mit Mathematik möglichst reich wird. Oder wolltest du das etwa für dich behalten?“, ist eine Frage, die einem Finanzmathematiker oft gestellt wird. Und natürlich wird die Antwort des Finanzmathematikers detaillierter ausfallen, auf Erträge und Verluste eingehen und auf Ausgleichen von Chancen und Risiken hinweisen, z.B. mit Hilfe des Ansatzes nach Markowitz.

Warum suchen Investoren sich gegenläufig entwickelnde Aktien? Wir erklären die Attraktivität der negativen Korrelation und auch, warum Markowitz den Nobel-Preis bekommen hat.

Den Markt schlagen und trotzdem nichts risikieren, ist ein nicht erreichbares Ziel. Aber oberhalb eines vorgegebenen Vermögens zu bleiben und trotzdem an Aktiengewinnen zu partizipieren, ist die attraktivste Eigenschaft der CPPI-Strategie, die hier erklärt wird.

Warum gewinnen bei Börsenspielen fast immer Teams mit extrem riskanten Strategien? Warum lohnt sich das für einen selbst nicht? Wir erklären, warum ein vorsichtiger Umgang mit Risiko in der Regel bei echtem, eigenem Geld empfehlenswerter ist.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein junger Zweig der Mathematik und wurde in Deutschland erst ab der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts als vollwertiges mathematisches Fachgebiet akzeptiert. Umgekehrt sind ganze Zweige der Finanz- und Versicherungsindustrie ohne zwei der prominentesten Resultate der Wahrscheinlichkeitsthorie – das Gesetz der großen Zahlen und der Zentrale Grenzwertsatz – undenkbar.

„Bloß keine Lebensversicherung! Das ist ein Produkt von gestern und bringt nicht viel.“ Dies ist heutzutage ein oft gehörter Spruch. Wir zeigen, dass das klassische Lebensversicherungsprodukt gar nicht so einfach ist und einige für den Kunden attraktive Eigenschaften besitzt, zumal wenn man die Riester-Prämie in Anspruch nehmen kann.

Moderne Riester-Produkte enthalten oft Strategien, mit denen man am Aktienmarkt partizipieren kann, aber trotzdem die Garantie besitzt, alle eingezahlten Beiträge und erhaltenen Förderungen zu Beginn der Rentenphase zur Verfügung zu haben. Wir beschreiben dynamische Dreitopfhybride.

Oft liest oder hört man bei umfangreichen Berechnungen in der Finanz- und Versicherungsindustrie von der Anwendung sogenannter Monte-Carlo-Methoden. Sollte es tatsächlich so sein, dass Geld durch eine Art Roulette im wahrsten Sinne des Wortes aufs Spiel gesetzt wird?

Eine Versicherung hat jeder, ob eine Krankenversicherung, eine Haftpflichtversicherung oder eine Unfallversicherung. Addiert man die jährlichen Beitragszahlungen der Versicherten, so kommt man schnell in den Milliardenbereich an gezahlten Euro. Wir stellen ein paar beeindruckende Zahlen vor.

Chancen und Risiken spielen auch bei Altersvorsorgeprodukten eine entscheidende Rolle. Mit Hilfe der Chancen-Risiko-Klasse wird eine Größe vorgestellt, die es dem Endverbraucher auf einfache Art erlauben soll, das für seine Bedürfnisse und seinen Charakter geeignete Produkt auszuwählen.

Die Lebensdauer seiner Versicherten ist eine der wichtigsten Größen für einen Lebensversicherer. Je genauer er sie vorhersagen kann, desto besser kann er seine finanziellen Risiken in Form seiner zukünftigen Zahlungsverpflichtungen abschätzen. Hierzu wird eine geeignete Sterbetafel verwendet.

Mitunter findet man in der Literatur interessante finanzmathematische Probleme. So kannte sich beispielsweise Balzac hervorragend mit Schuldscheinen und Leibrenten aus, während Finanzminister und Bankiers auch vor mehr als 200 Jahren schon sehr kreativ waren, um sich Geld zu besorgen.

Indexpartizipationen sind ein modernes Riester-Renten-Produkt. Wir erläutern die Funktionsweise des Produkts und die Rolle der typischerweise einmal im Jahr erworbenen Cliquet-Option.

Die mit Abstand üblichste Form der Zinszahlung ist die nachschüssige: Die Zinsen werden am Ende der vereinbarten Zinsperiode gezahlt. Keine Regel ohne Ausnahme: Es gibt (wenngleich selten) auch vorschüssige (antizipative) Verzinsung, beispielsweise bei Wechseln oder Schuldscheinen. Die am häufigsten auftretende Zinsperiode ist das Jahr. Man spricht in diesem Fall von jährlicher Verzinsung und fügt beim Zinssatz oft den Zusatz „p. a.“ (lat. per annum) hinzu. Bei kürzeren Zins- oder Zahlungsperioden spricht man von unterjähriger Verzinsung.

Viele Entwicklungen am Finanzmarkt sind nicht mit Sicherheit vorherzusagen, weshalb eine Modellierung solcher Entwicklungen immer auch eine zufällige Komponente beinhalten muss. Deshalb geben wir in diesem Abschnitt eine Einführung in die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wobei wir uns im Wesentlichen auf die Behandlung reellwertiger Zufallsvariablen beschränken wollen. Für darüber hinausgehende elementare Beziehungen (z. B. Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten) und Darstellungen verweisen wir z. B. auf Hamacher et al. (2004) und Henze (1997).