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2017 | Book

Mengen und Zahlenarten Read chapter Read first chapter

Mathematik für Ingenieure

Eine anschauliche Einführung für das praxisorientierte Studium

Author: Prof. Dr. Thomas Rießinger

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

"Mathematik in entspannter Atmosphäre" ist das Leitbild dieses leicht verständlichen Lehrbuchs. Im Erzählstil und mit vielen Beispielen beleuchtet der Autor nicht nur die Höhere Mathematik, sondern er stellt auch den Lehrstoff in Bezug zu den Anwendungen. Die gesamte für den Ingenieurstudenten wichtige Mathematik wird in einem Band behandelt. Dies gelingt durch Verzicht auf abstrakte Höhen und durch eine prüfungsgerechte Stoffauswahl, die sich streng an den Bedürfnissen des späteren Ingenieurs ausrichtet.

Das Buch kann vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden. Die 159 Übungsaufgaben mit Lösungen unterstützen das Einüben des Lehrstoffs und sind im Band "Übungsaufgaben zur Mathematik für Ingenieure" ausführlich durchgerechnet.

Der "Brückenkurs" beim Buch auf springer.com erleichtert Anfängern den Einstieg.

Table of Contents

Frontmatter
1. Mengen und Zahlenarten
Zusammenfassung
Im ersten Kapitel zeige ich Ihnen, was man unter einer Menge versteht, wie man mit Mengen umgehen kann und welche Probleme beim Umgang mit Mengen auftreten können. Danach wenden wir uns konkreten Zahlenmengen zu, nämlich der Menge der natürlichen Zahlen, der Menge der ganzen Zahlen, der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen.
Thomas Rießinger
2. Vektorrechnung
Zusammenfassung
Das zweite Kapitel befasst sich mit Vektoren in der Ebene und im Raum. Der Aufbau ist dabei der folgende. Zunächst klären wir, was man unter einem Vektor versteht und wie man Vektoren sowie die zugehörigen Vektoroperationen zeichnerisch darstellt. Dann zeige ich Ihnen, wie man Vektoren mit Hilfe von Zahlen in Form der Koordinatendarstellung einer rechnerischen Verarbeitung zugänglich machen kann. Anschließend befassen wir uns mit drei physikalisch und geometrisch relevanten Methoden, Vektoren miteinander zu multiplizieren, nämlich dem Skalarprodukt, dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt.
Thomas Rießinger
3. Gleichungen und Ungleichungen
Zusammenfassung
Die Frage, mit der ich mich in diesem Kapitel beschäftige, lautet: wie kann man Gleichungen und Ungleichungen systematisch lösen? Ich gehe dabei in drei Schritten vor. Zuerst zeige ich Ihnen, wie man an Gleichungen mit einer Unbekannten herangeht. Danach untersuche ich Gleichungen mit mehreren Unbekannten und zum Schluss befasse ich mich noch ein wenig mit Ungleichungen.
Thomas Rießinger
4. Folgen und Konvergenz
Zusammenfassung
Mein Ziel in diesem Kapitel besteht darin, Sie mit einigen Kenntnissen über Grenzwerte zu versehen, die wir im späteren Verlauf des Buches brauchen werden. Das Kapitel ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil mache ich Sie vertraut mit dem Begriff der Folge und zeige Ihnen, was man unter konvergenten Folgen und deren Grenzwerten zu verstehen hat. Im zweiten Teil stelle ich Ihnen eine Methode vor, mit der man Aussagen über die Eigenschaften von Folgen und auch ganz allgemein über natürliche Zahlen herleiten kann: die vollständige Induktion.
Thomas Rießinger
5. Funktionen
Zusammenfassung
Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Beschreibung von Vorgängen, die einer einigermaßen kontinuierlichen Veränderung unterworfen sind; Sie werden sehen, dass Funktionen ab dem fünften Kapitel unsere ständigen Begleiter sein werden. In diesem Kapitel erkläre ich erst einmal, was das überhaupt ist und führe ein paar wichtige Begriffe ein, mit denen man Eigenschaften von Funktionen beschreiben kann. Dann untersuchen wir eine wichtige Klasse von Funktionen, die sogenannten Polynome, die den Vorteil haben, dass man ihre Funktionswerte leicht ausrechnen kann. Anschließend übertragen wir den Grenzwertbegriff auf Funktionen, was dann im letzten Abschnitt des Kapitels gebraucht wird, um zu erklären, was man unter stetigen Funktionen versteht.
Thomas Rießinger
6. Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion
Zusammenfassung
Zur Beschreibung vieler technischer Vorgänge braucht man die Sinusfunktion; sie kommt überall dort vor, wo Schwingungen eine Rolle spielen, insbesondere also in allen Zweigen der Elektrotechnik.
Auch die Exponentialfunktion ist durchaus nichts rein Theoretisches. Eines ihrer Anwendungsfelder ist die oft und gern zitierte Halbwertszeit beim Zerfall radioaktiver Stoffe, aber auch das Wachstumsverhalten von Populationen wird mithilfe von Exponentialfunktionen beschrieben.
Die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunktion sind deshalb sowohl von mathematischer als auch von großer praktischer Bedeutung und verdienen in jedem Fall ein eigenes Kapitel. Die Aufteilung des Kapitels in zwei Teile ergibt sich von selbst; im ersten Abschnitt spreche ich über Sinus und Cosinus, und der zweite Abschnitt befasst sich mit der Exponentialfunktion und dem Logarithmus.
Thomas Rießinger
7. Differentialrechnung
Zusammenfassung
Zu Anfang des Kapitels erkläre ich Ihnen, was eine Ableitung ist und was man damit anstellt. Dann überlegen wir uns ein paar Regeln für das Differenzieren und berechnen die Ableitungen einiger Funktionen. Anschließend haben wir das notwendige Rüstzeug, um im Rahmen von Extremwertaufgaben Maxima und Minima zu bestimmen und den Verlauf von Funktionskurven systematisch zu untersuchen. Zum Abschluss des Kapitels zeige ich Ihnen dann, wie man mit Hilfe der Differentialrechnung eine bestimmte Art von Grenzwerten recht leicht berechnen kann und wie das näherungsweise Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren funktioniert.
Thomas Rießinger
8. Integralrechnung
Zusammenfassung
Im ersten Teil des Kapitels werde ich Ihnen erklären, was ein Integral ist und wie das Integrieren mit der Differentialrechnung zusammenhängt. Danach sehen wir uns die wichtigsten Integrationsregeln an und untersuchen, wie man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung rationale Funktionen integriert. Anschließend kümmern wir uns um sogenannte uneigentliche Integrale, und zum Schluss bestimmen wir mit Hilfe der Integralrechnung Flächeninhalte, Volumina und Streckenlängen.
Thomas Rießinger
9. Reihen und Taylorreihen
Zusammenfassung
Ich werde mich in diesem Kapitel mit Reihen und Taylorreihen befassen. Im ersten Abschnitt erkläre ich, was genau man unter einer Reihe versteht und was die Konvergenz einer Reihe zu bedeuten hat. Danach zeige ich Ihnen einige Konvergenzkriterien für Reihen, die im dritten Abschnitt ihre Anwendung auf Potenzreihen finden. Erst dann haben wir genug Material gesammelt, um im letzten Abschnitt Taylorreihen zu berechnen. Im Gegensatz zu den vorherigen Kapiteln werde ich hier weitgehend auf theoretische Beweise verzichten, da sie zum Teil recht schwierig sind und den Gang der Handlung nur aufhalten würden.
Thomas Rießinger
10. Komplexe Zahlen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werde ich Ihnen erklären, was man unter komplexen Zahlen versteht, wie man komplexe Zahlen anschaulich interpretieren und wie man sinnvoll mit ihnen umgehen kann. Dazu werde ich im ersten Abschnitt noch einmal über die Grundrechenarten für komplexe Zahlen sprechen, die ich schon kurz im dritten Kapitel beschrieben habe. Danach zeige ich Ihnen, wie man komplexe Zahlen in der sogenannten Zahlenebene darstellt und was das Ganze mit der Exponentialfunktion zu tun hat. Im letzten Abschnitt werde ich mich dann über Fourierreihen äußern.
Thomas Rießinger
11. Differentialgleichungen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werde ich Ihnen berichten, wie man verschiedene Typen von Differentialgleichungen löst. Zuerst werde ich genauer definieren, worum es im Folgenden gehen soll, und danach zwei Gleichungstypen untersuchen, für die es einfache Lösungsverfahren gibt: die Trennung der Variablen und die Variation der Konstanten. Nach einem kurzen Ausflug in die Welt der Substitutionsverfahren komme ich zu den wichtigen linearen Differentialgleichungen und werde Ihnen insbesondere zeigen, wie man lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten löst, seien sie nun homogen oder inhomogen. Zum Abschluss des Kapitels werfen wir dann einen Blick auf die Laplace-Transformation.
Thomas Rießinger
12. Matrizen und Determinanten
Zusammenfassung
Bevor ich mich im dreizehnten Kapitel mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung befassen kann, muss ich hier die Grundlagen bereitstellen und Ihnen etwas über Matrizen und Determinanten berichten. Zunächst zeige ich Ihnen, wie lineare Abbildungen mit Matrizen zusammenhängen. Danach überlegen wir uns, wie man mit Matrizen rechnet und sie invertiert. Zum Schluss werden wir uns dann mit Determinanten beschäftigen.
Thomas Rießinger
13. Mehrdimensionale Differentialrechnung
Zusammenfassung
Ich will mich in diesem Kapitel mit Funktionen befassen, die von mehreren Variablen aus einem bestimmten Definitionsbereich abhängen, und insbesondere ihr Extremwertverhalten untersuchen. Wenn ich schon einmal dabei bin, kann ich dann auch gleich die Anzahl der Output-Variablen offen lassen und Funktionen mit n Eingaben und m Ausgaben betrachten. Im ersten Abschnitt werden Sie sehen, dass das mehrdimensionale Leben nicht viel anders ist als das eindimensionale, man muss nur ein paar partielle Ableitungen ausrechnen, anstatt sich mit einer gewöhnlichen Ableitung begnügen zu können. Danach zeige ich Ihnen, was man unter totaler Differenzierbarkeit und dem totalen Differential versteht. Den oben angeschnittenen Problemen gehe ich im dritten Abschnitt nach, wo ich über Extremwertprobleme spreche. Den Abschluss bilden dann einige Bemerkungen über implizite Funktionen.
Thomas Rießinger
14. Mehrdimensionale Integralrechnung
Zusammenfassung
Schon die schlichte Berechnung eines Rauminhaltes überfordert die Integralrechnung des achten Kapitels hoffnungslos, sofern es sich nicht zufällig um den Rauminhalt eines Rotationskörpers handelt. Ich muss mich daher noch einmal um die Integralrechnung kümmern und ihren Zustand etwas verbessern. Nach ein paar einführenden Bemerkungen werde ich Ihnen zuerst zeigen, wie man zweidimensionale Integrale ausrechnet, wobei ich auch ein paar Worte über zweidimensionale Substitutionen verlieren werde. Mit den Methoden, die Sie dabei kennenlernen, wird es dann möglich sein, die Inhalte von im Raum liegenden Flächen zu berechnen und auch Schwerpunkte von Flächen zu bestimmen. Anschließend gehen wir zu dreidimensionalen Integralen über und beschließen das Kapitel mit der Berechnung einiger Kurvenintegrale.
Thomas Rießinger
Backmatter
Metadata
Title
Mathematik für Ingenieure
Author
Prof. Dr. Thomas Rießinger
Copyright Year
2017
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-54807-3
Print ISBN
978-3-662-54806-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54807-3

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