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2019 | Book | 3. edition

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Band 1: Grundlagen und eindimensionale Analysis

Author: Prof. Dr. Hans M. Dietz

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Buch entwickelt verständlich und gut nachvollziehbar diejenige Mathematik, die für ein erfolgreiches Studium der Wirtschaftswissenschaften unverzichtbar ist. Hierbei wird die mathematische Darstellung stets durch ökonomische Anwendungen motiviert. Zahlreiche farbige Abbildungen und Übersichten visualisieren den Stoff; ausführliche Erläuterungen und Übungsaufgaben helfen, ihn zu verstehen und zu beherrschen.

Der erste Band behandelt die Grundlagen aus Logik und Mengenlehre sowie reelle Funktionen einer Veränderlichen mit Differential- und Integralrechnung und umfangreichen ökonomischen Anwendungen. Zum leichteren Einstieg wird im Grundlagenteil notwendiger Schulstoff aufgefrischt und erweitert. Eine ausführliche Anleitung zum Lesen und Verstehen mathematikhaltiger Texte erleichtert die Lektüre zusätzlich.

Table of Contents

Frontmatter

Vorkenntnisse und Grundlagen

Frontmatter
Kapitel 1. Zum Einstieg
Zusammenfassung
Der vorliegende Text versucht, mit einem Minimum an vorausgesetzten Schulkenntnissen auszukommen.
Hans M. Dietz
Kapitel 2. Grundlagen logischen Schließens
Zusammenfassung
“Wenn Isabell Geld hat, kauft sie Schuhe” ist so ein Satz, der verstehen lässt, warum der Handel boomt. Folgt aber daraus, dass, wenn Isabell Schuhe kauft, sie notwendigerweise Geld hat? Oder ist es nicht vielmehr so, dass sie notwendigerweise Schuhe kauft, wenn sie Geld hat?Wer die Antwort sofort weiß, mag dieses Kapitel getrost überschlagen. Wer sich nicht ganz sicher ist, sollte es lieber lesen.
Hans M. Dietz
Kapitel 3. Mengen und Mengenoperationen
Zusammenfassung
Die Mathematik und ihre Anwendungen sind darauf angewiesen, Sachverhalte präzise und logisch korrekt formulieren zu können. Das gilt insbesondere für die moderne Ökonomie, die intensiv mit mathematischen Konzepten arbeitet. Dabei besteht der Wunsch nach möglichst kurzen Formulierungen.
Hans M. Dietz
Kapitel 4. Zahlensysteme, Ungleichungen, Potenzen
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt stellen wir wiederholend zusammen, was wir in diesem Text an Wissen und Bezeichnungen über Zahlensysteme voraussetzen (die Bezeichnungen dürften mittlerweile in allen Schulbüchern Standard sein).
Hans M. Dietz
Kapitel 5. Relationen
Zusammenfassung
Die Beziehungen zwischen ökonomischen Objekten und Größen können sehr vielfältig sein.
Hans M. Dietz
Kapitel 6. Mehr über Abbildungen
Zusammenfassung
Abbildungen als spezielle Relationen wurden bereits im vorangehenden Kapitel auf Seite 125 eingeführt; dort finden sich auch erste Beispiele. Für Abbildungen bleiben daher die für Relationen allgemein eingeführten Begriffe Definitionsbereich (domain), Bild (image) und Komposition in Kraft. Es sind lediglich kleine Abweichungen im Sprachgebrauch verbreitet, die hier kurz skizziert werden sollen.
Hans M. Dietz

Analysis im ℝ1

Kapitel 7. Grundwissen über die Menge der reellen Zahlen
Zusammenfassung
An dieser Stelle stellen wir einige der in diesem Text benutzten Schreibweisen zusammen und präzisieren Bezeichnungen, die wir im Abschnitt 0.1 “Vorkenntnisse” eher intuitiv eingeführt hatten.
Hans M. Dietz
Kapitel 8. Folgen, Reihen, Konvergenz
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir uns mit den in gewissem Sinne einfachsten reellen Funktionen beschäftigen, die der Abbildung aufeinanderfolgender Größen dienen und für die sich deshalb auch die spezielle Bezeichnung Folgen eingebürgert hat. Sie spielen nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch in der Ökonomie eine große Rolle.
Hans M. Dietz
Kapitel 9. Reelle Funktionen einer Veränderlichen – Grundlagen
Zusammenfassung
Bei den im mathematischen Teil dieses Textes betrachteten Funktionen sind Argumente ebenso wie Funktionswerte reelle Zahlen. Es handelt sich dabei um Abbildungen im Sinne von Kapitel 2, und alles dort über Injektivität, Umkehrabbildung etc. Gesagte findet hier Anwendung. Darüber hinaus werden hier eine Reihe spezieller Eigenschaften reeller Funktionen, wie z.B. Monotonie oder Konvexität, die für ökonomische Anwendungen von Belang sind, betrachtet.
Hans M. Dietz
Kapitel 10. Beschränkte Funktionen
Zusammenfassung
Oft ist von Interesse, ob die Funktionswerte einer gegebenen Funktion beliebig groß bzw. klein werden können.
Hans M. Dietz
Kapitel 11. Stetige Funktionen
Zusammenfassung
Während die in blau dargestellte Kurve von s kontinuierlich verläuft, weist der rot dargestellte Graph von u Sprünge auf. Entsprechend nennt man im englischen Sprachgebrauch die Funktion s continuous und die Funktion u discontinuous. Im Deutschen haben sich dagegen die Begriffe “stetig” bzw. “unstetig” durchgesetzt.
Hans M. Dietz
Kapitel 12. Differenzierbare Funktionen
Zusammenfassung
Der Ableitungsbegriff ist zweifellos einer der wichtigsten im Thema “reelle Funktionen”. Aus der Schulmathematik wird damit zunächst immer der Anstieg einer Tangente an den Graphen einer Funktion assoziiert. Wir werden sehen, dass die Bedeutung der Ableitung weit über diese Interpretation hinausgeht. Das gilt insbesondere mit Blick auf die Ökonomie, in der oft gefragt wird, wie sich kleinste Änderungen von Inputgrößen auf den Output auswirken.
Hans M. Dietz
Kapitel 13. Monotone Funktionen
Zusammenfassung
Die folgenden Bilder zeigen Beispiele für Graphen reeller Funktionen, die sich in ihrem Wachstumsverhalten unterscheiden.
Hans M. Dietz
Kapitel 14. Konvexe Funktionen
Zusammenfassung
Je nach Art der Krümmung könnte man die Bezeichnungen “konvex”, “konkav” (jeweils in striktem Sinne), “beides” bzw. “weder-noch” vergeben. In ökonomischem Kontext ist das Krümmungsverhalten äußerst wichtig. Zugespitzt formuliert: “Ohne Konvexität kein Markt!”.
Hans M. Dietz
Kapitel 15. Extremwertprobleme
Zusammenfassung
Angenommen, ein Unternehmen kann beim Absatz von x Mengeneinheiten eines Gutes X einen Gewinn in Höhe von G(x) Geldeinheiten erzielen.
Hans M. Dietz
Kapitel 16. Integralrechnung
Zusammenfassung
Viele Autofahrer wissen, dass der werksseitig angegebene sogenannte Durchschnittsverbrauch ihres Pkw nur eine Rechengröße ist. In Abhängigkeit von Wetter, Fahrsituation und anderen Faktoren kommt es jedoch auf den Momentanverbrauch an. Dieser ist insbesondere im Winter bei einem Kaltstart besonders hoch – er kann z.B. in der Größenordnung von 40 l/100km liegen – und pegelt sich erst nach einigen gefahrenen Kilometern, wenn der Motor Betriebstemperatur erreicht hat, in der Nähe des Normwertes ein.
Hans M. Dietz
Kapitel 17. Reelle Funktionen in der Ökonomie
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, in Gestalt welcher mathematischen Eigenschaften sich ökonomische Anforderungen an Produktions-, Kosten- und andere Funktionen widerspiegeln. Dabei ist es grundsätzlich Angelegenheit des Anwenders – also des bzw. der Ökonomen –, zu entscheiden, über welche ökonomischen Eigenschaften solche Funktionen verfügen sollen. Wir leisten hier lediglich Hilfe bei der “Übersetzung” der ökonomischen in mathematische Eigenschaften (und zurück). Einmal in die Sprache der Mathematik übersetzt, können ökonomische Funktionen mathematisch untersucht und daraus weitergehende Schlüsse gezogen werden.
Hans M. Dietz

Methodisches

Frontmatter
Kapitel 18. Mathematik “lesen”
Zusammenfassung
Wir wollen uns in diesem Kapitel nun ein wenig intensiver mit dem Lesen “von Mathematik” beschäftigen. Betrachten wir als Beispiel diese Passage.
Hans M. Dietz
Kapitel 19. Anhang I: Begründungen
Zusammenfassung
Begründung von Satz 3.55: Wie wir in Abschnitt 3.4, Punkt Polynomdivision, sahen, ergibt jede Division von P(x) durch (x − z) eine Darstellung der Form.
Hans M. Dietz
Kapitel 20. Anhang II: Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Teil-Lösung zu Aufgabe 1.17:
a) falsch
b) falsch
c) richtig
Hans M. Dietz
Backmatter
Metadata
Title
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Author
Prof. Dr. Hans M. Dietz
Copyright Year
2019
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-58149-0
Print ISBN
978-3-662-58148-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58149-0