Mathematik im Fraunhofer-Institut

Das Einleitungskapitel erklärt im wesentlichen den Titel des Buches – er mag für Außenstehende nicht unmittelbar verständlich sein, aber wir hoffen, dass er neugierig macht: Was meint die Herkunft aus „dem“ Fraunhofer-Institut und ist diese problemgetriebene, modellbasierte und lösungsorientierte Mathematik wirklich etwas Anderes und Wichtiges? Die Herausgeber beschreiben, welche Erwartungen und Hoffnungen sie an das Buchprojekt knüpfen - ob sich das erfüllt hat, kann nur der Leser am Ende des Buches entscheiden. Die wichtigste Botschaft, auch der Einleitung, ist aber immer: Mathematik ist eine unglaublich erfolgreiche Schlüsseltechnologie für Innovationen in allen Branchen der Industrie!

„Modelle und Modellierung“ sind sicher eine der wichtigsten Kernkompetenzen des Fraunhofer ITWM. Wir wollen vor allem klären, was wir darunter verstehen, denn wenige Begriffe der angewandten Mathematik – vielleicht sogar der ganzen Naturwissenschaften – haben verschiedenere Deutungen und Spezialisierungen wie der der Modellierung. Und das, obwohl es auch ein zentraler Begriff der naturwissenschaftlichen Forschung ist, denn diese besteht aus dem Wechselspiel von Modellierung und Messung.

Nachdem wir einige Grundtatsachen in Erinnerung gerufen haben, wollen wir die Besonderheiten einer Fraunhofer-Forschung auf dem Gebiet der Berechnung vorstellen und einige wesentliche Erfordernisse bzw. Kriterien einer solchen Forschung formulieren. Wir beginnen mit der Gittererzeugung und der Diskretisierung. Wegen ihrer wichtigen Rolle im Institut werden die sog. Mikrostruktursimulation gesondert behandelt. Mehrere Abteilungen arbeiten mit Multiskalen-Problemen, weshalb wir dieses Thema als nächstes behandeln. Effiziente Methoden für Probleme der Bildverarbeitung werden kurz erwähnt. Auch in diesem Teil werden wir immer wieder auf die Unterschiede zwischen der Forschung am Fraunhofer ITWM und der akademischen Forschung hinweisen. Schließlich reflektieren wir ein wenig über das Thema „Validierung“ der Modelle und der Algorithmen.

Die Datenanalyse spielt in unterschiedlichen Ausprägungen und Facetten in viele der am Fraunhofer ITWM bearbeiteten Problemstellungen aus der Praxis hinein. Der vorliegende Beitrag gibt einen Einblick zu resultierenden Datenanalysefragestellungen und der hierfür eingesetzten Verfahren. Der Fokus liegt auf dem Anwendungsbezug und der Darstellung von Methoden die sich in unserer Arbeit bewährt haben, nicht auf einem vollständigen Methodenüberblick. Es wird zunächst auf direkt die Daten betreffende Aspekte wie Datenquellen, Datenqualität und Informationsgehalt, sowie Datenintegration und Datenvorverarbeitung eingegangen. Daran anschließend stehen dann Methoden zur datenbasierten Modellierung aus dem Data Mining und Machine Learning im Fokus. Die Methoden werden aus dem Blickwinkel der statistischen Lerntheorie betrachtet und immer auch wieder in Bezug zu praktischen Fragestellungen gesetzt.

„Optimierung“ ist ein geläufiger Begriff in fast allen Unternehmen: jeder möchte seine Geschäfts- und Produktionsprozesse verbessern oder „optimieren“, um schlagkräftig am Markt und gleichzeitig renditestark zu bleiben. Doch was hat dieses „Optimieren“ der Praxis mit der mathematischen Diziplin „Optimierung“ zu tun? Ist diese Optimierung in der Praxis nicht einfach ein evolutionäres, häufig modellfreies Probieren und Verwerfen? Oder, werden mathematische Optimierungsmodelle in der Praxis genutzt? Die Antwort ist ernüchternd: Optimierungsmodelle der Mathematik werden zwar gerne in Form von einschlägiger Software gekauft, aber selten längere Zeit genutzt. Warum ist dies so? Beim näheren Hinsehen sind es die beiden Fragen „Was ist zulässig?“ und „Was ist gut?“, die in der Praxis häufig schwer präzise zu beantworten sind und den erfolgreichen Einsatz mathematischer Optimierungsmodelle für Verbesserungsprozesse erschweren. Ein zweites Problem ist der Einsatz komplexer und zeitaufwändiger Simulationen im Verein mit mathematischen Optimierungsalgorithmen. Ist mathematische Optimierung deswegen völlig nutzlos in der Praxis? Flexible parametrische Zulässigkeitsmodelle und Zielfunktionen, sowie hierarchische Strukturierungen mit Einsatz von Surrogaten unter Fehlerschätzern helfen, Optimierungsprozesse in der Praxis mit Hilfe mathematischer Methoden in vernünftigen Rechenzeiten zu unterstützen.

Die Virtualisierung der Produktion von Filamenten und Vliesstoffen wird am Fraunhofer ITWM seit vielen Jahren mit einem breiten Spektrum von Industriekunden voran getrieben. Eingebettet in das Themenfeld der Fluid–Struktur-Interaktion bietet dieser Anwendungsbereich vielfältige mathematische Herausforderungen, da die Komplexität der betrachteten Prozesse keine Standardsimulationen erlaubt. In mehreren Schlüsselaspekten hat das Fraunhofer ITWM eigene Modelle und Werkzeuge entwickelt, so dass heute simulationsbasierte Beiträge zur Auslegung und Steuerung der Prozesse geleistet werden können. Dabei wurden durch neue Modellierungsansätze, wie turbulente aerodynamische Widerstandsmodelle für die Filamentdynamik und stochastische Ersatzmodelle für die Vliesbildung, interessante Themenfelder für die Angewandte Mathematik angestoßen. Ausgehend von der Cosserat-Theorie gibt der vorliegende Beitrag einen geschlossenen Überblick zu Modellen, Algorithmen und Softwarebausteinen. Der erreichte Stand wird an den industriellen Anwendungen zum Spunbond-Prozess und zum Rotationsspinnen von Glaswolle demonstriert.

Innovative Filtrations- und Separationstechniken sind in vielen Fällen von wesentlicher Bedeutung bei der Entwicklung von hochwertigen Produkten bzw. effizienten Geräten oder wenn es gilt, eine möglichst hohe Lebensqualität zu gewährleisten. Es ist schwierig einen Industriebereich zu benennen, in dem Filter keine wichtige Rolle spielen. In einem üblichen PKW gibt es eine Vielzahl von Filtern. Andere Bereiche, die in höchstem Maße von der eingesetzten Filtertechnik abhängen, sind die Aufbereitung von Trink- und Brauchwasser sowie der Einsatz von Entstaubungsanlagen im Energie- und Produktionssektor. Der Filtrationsmarkt wächst schnell und dementsprechend hoch ist der Innovationsdruck bei der Produktentwicklung. Daher kommt in zunehmendem Umfang Computer Aided Engineering (CAE) bei der Produktauslegung zum Einsatz. Damit den Entwicklungsingenieuren auch hierfür geeignete CAE-Werkzeuge zur Verfügung stehen, ist viel an mathematischer Forschung erforderlich. Die Fest-Flüssig- und Fest-Gasförmig-Filtrationsprobleme, die hier betrachtet werden sollen, sind von Natur aus Multiskalen- und Multiphysikphänomene. Die Größen der Schmutzpartikel und der Fasern im Filtermaterial reichen vom Nanometerbereich bis hin zu mehreren hundert Mikrometern. Die Abmessungen von Filtergehäusen dagegen können von wenigen Millimetern bis hin zu mehreren Metern betragen. Zudem kann sich das Filtermaterial (Filtermedium) je nach Anwendungsfall wie ein starrer Körper verhalten oder verformen. Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die industriellen Anforderungen bei der Filterauslegung und die mathematischen Herausforderungen bei der Modellierung und Simulation von Filtrationsvorgängen. Dabei werden die Herangehensweisen zur rechnergestützten Untersuchung der Filtrationsprozesse auf der mikroskopischen Ebene (Partikel- und Porenskala), auf der makroskopischen Ebene (Filterelement, Gehäuse) und deren Kopplung behandelt. Die Beiträge des Fraunhofer ITWM zu diesem Forschungsgebiet in Form von neuen Simulationsmethoden und Software werden kurz vorgestellt und ihre Bedeutung für die Praxis an Hand von Beispielen erfolgreicher Industrieanwendungen illustriert.

Die Fertigung von Schmucksteinen aus Rohedelsteinen ist mathematisch betrachtet ein Problem der maximalen Materialausbeute. In einen unförmigen Rohstein müssen ein oder mehrere Schmucksteine so eingebettet werden, dass sie im Ergebnis den größtmöglichen Wert liefern. Dabei ist neben der Lage auch die Form variabel. Dies unterscheidet das Problem von den in der Literatur bekannten Zuschnitt- und Packungsproblemen. Auf der Modellierungsseite treten drei höchst anspruchsvolle Herausforderungen auf: die Trennung der kontinuierlichen, für die Maximierung der Ausbeute wesentlichen Parametern von den diskreten Parametern, die etwa die Facettierung beschreiben, eine mathematisch handhabbare Beschreibung von Ästhetikansprüchen und die Umformulierung von Enthaltenseins- bzw. Nichtüberlappungsbedingungen in effizient lösbare Nebenbedingung. Für Letzteres bieten sich die Methoden der allgemeinen semi-infiniten Optimierung an. Das numerische Lösen derartiger Optimierungsaufgaben mit praktischem Hintergrund ist anspruchsvoll und in der mathematischen Literatur häufig nur in Form konzeptioneller Lösungsansätze abgebildet. Unter anderem beschreibt dieses Kapitel einen neuartigen Ansatz dazu und zeigt, wie man diesen erfolgreich auf das Problem anwenden kann.

Die Sicherstellung von Produktqualität und Systemzuverlässigkeit in technischen Systemen und Prozessen erfordert die Bereitstellung kritischer Informationen aus dem dynamischen Systemgeschehen. Allerdings ist die direkte Überwachung aller interessierenden Systemgrößen in den meisten Fällen aufgrund technischer Limitationen der verfügbaren Sensorik und des eingeschränkten Vorhandenseins geeigneter Messstellen nicht möglich. Auch würde in vielen Fällen die direkte Messung aller Größen aufgrund der Anzahl der erforderlichen Sensoren zu teuer. Einen Ausweg zeigt hier die modellbasierte Zustandsschätzung auf. Neben den klassischerweise eingesetzten Kalman-Filtern kommen am Fraunhofer ITWM auch robuste Verfahren aus der H_∞-Theorie und Partikelfilter-Methoden zum Einsatz. Herausforderungen beim Einsatz dieser Verfahren sind einerseits die Modellierung der Prozess- und Messunsicherheiten und andererseits die Echtzeittauglichkeit der zu Grunde liegenden Systemsimulation. Illustriert wird der Einsatz von Zustandsschätzern an verschiedenen Anwendungsbeispielen des Fraunhofer ITWM. Dies sind z. B. die Run-Out-Kompensation im Rahmen der berührungslosen Drehmomenterfassung sowie das Online-Monitoring von Torsionsschwingungen im Wellenstrang von Kraftwerksturbosätzen. Als Beispiel einer biologisch/medizinischen Anwendung stellen wir die Nutzung von Partikelfilter-Methoden zur Analyse von Plasma-Leuzin-Messungen aus einer Studie mit Diabetespatienten dar.

Optionen sind einer der wichtigsten Bausteine moderner Finanzmärkte. Die Theorie ihrer Bewertung ist eines der Vorzeigegebiete der modernen Finanzmathematik mit der Nobelpreis-gekrönten Black–Scholes-Formel als dem bekanntesten Resultat der Finanzmathematik. Allerdings ist das der Black–Scholes-Formel zugrunde liegende Modell log-normal verteilter Aktienpreise nur eine recht grobe Beschreibung für das Verhalten realer Aktienkurse. Es existieren deshalb in der Theorie eine Vielzahl von Vorschlägen mit dem Ziel der besseren Modellierung der Aktienpreisdynamik. Als ein von der Praxis akzeptierter Kompromiss zwischen theoretisch wünschenswerten Eigenschaften, hinreichend guter Modellierung und numerischer Handhabbarkeit hat sich das stochastische Volatilitätsmodell nach Heston erwiesen. Seine Eigenschaften und sein Umsetzung in der praktischen Anwendung sind Hauptgegenstand dieses Beitrags.

Die Rolle der Mathematik in der Gesellschaft hat sich in den letzten Jahren gewandelt. Die schulische Ausbildung wird dem aber meist nicht gerecht. In diesem Kapitel wird aufgezeigt mit welchen Maßnahmen und Veranstaltungen das Felix-Klein-Zentrum für Mathematik in Kaiserslautern versucht, diesem entgegenzuwirken. Zunächst wird ein kurzer Einblick in die mathematische Modellierung und der Versuch einer didaktischen Einordnung gegeben. Danach werden beispielhaft einzelne Maßnahmen vorgestellt.