Mathematik in der modernen Finanzwelt

Finanzinstitutionen, wie z. B. Banken, Versicherungen, Fondsgesellschaften sind ebenso wie Staaten, große Industrieunternehmen, kleinere Firmen oder auch Privatpersonen Teilnehmer der Finanzmärkte.

Wir behandeln hier die grundlegenden Begriffe aus der Stochastik und verweisen für eine vertiefende Betrachtung auf die sehr gut lesbaren Darstellungen in [17], [18], [26]. Ein Vorgang, der (zumindest prinzipiell) beliebig oft wiederholt werden kann und dessen Ergebnis außerdem vom Zufall abhängt, heißt ein Zufallsexperiment. Bei der Modellierung von Zufallsexperimenten wird jedem Ergebnis ein Element ω einer Ergebnismenge Ω zugeordnet.

In diesem Kapitel werden wir die Bewertung von Derivaten im einfachsten Modell zur Beschreibung von Finanzmärkten behandeln – dem diskreten Mehrperiodenmodell.

Von nun an befassen wir uns mit Modellen, in denen zu jedem Zeitpunkt aus dem Intervall [0;T] gehandelt werden kann (nicht nur zu endlich vielen Zeitpunkten t_k) und in denen es unendlich viele möglicheWerte für die Kurse von Finanzinstrumenten gibt. Dies führt zu Bewertungsformeln, wie sie heutzutage in der Finanzwelt vielfach eingesetzt werden. Es werden dabei einige Hilfsmittel aus der Stochastischen Analysis, z. B. stochastische Differenzialgleichungen, benötigt.

Der Begriff Marktpreisrisiko (oder Marktrisiko) bezeichnet mögliche Wertverluste (oder allgemeiner: Wertveränderungen) eines Portfolios, die sich durch Änderungen der Marktdaten (also z. B. Zinskurven, Anleihepreise, Aktien- und Wechselkurse, Rohwarenpreise, Credit Spreads und Volatilitäten) ergeben.

Zur Einschätzung der Kreditwürdigkeit von Geschäftspartnern und Kunden verwenden Finanzinstitute statistische Modelle, die eine Aussage über die Höhe des Ausfallrisikos (d. h. der Ausfallwahrscheinlichkeit (PD)) liefern. In Kapitel 5 haben wir das Merton-Modell zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten kennen gelernt. Dieser Ansatz setzt jedoch voraus, dass der Aktienkurs und auch dessen Volatilität der einzuschätzenden Adresse vorgegeben sind. Soll dagegen die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Privatperson, eines nicht börsengehandelten Unternehmens oder eines sonstigen Kreditnehmers ermittelt werden, so kommen häufig statistische Verfahren zum Einsatz, die unter der Bezeichnung Rating-Verfahren oder Scoring-Verfahren bekannt sind. Das Ziel dieser Verfahren, die im Folgenden dargestellt werden, besteht darin, eine Aussage über die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb eines vorgegebenen Zeithorizonts (typischerweise ein Jahr) zu treffen; Aussagen über die Höhe des bei Ausfall entstehenden Schadens erfordern zusätzliche Überlegungen. Eine weiterführende Darstellung der hier behandelten Sachverhalte findet sich in [16], [11] und in [36].