Mathematik zum Studieneinstieg

Da wir im folgenden mit Zahlen und Termen rechnen wollen, sei zunächst an die üblichen Fachausdrücke erinnert:

Die Logik — die Lehre vom folgerichtigen Denken — entstand ursprünglich als ein Teilgebiet der Philosophie und geht zurück auf den griechischen Philosophen Aristoteles (384 – 322 v. Chr.).

Viele praktische Probleme führen auf Zahlenfolgen oder Zahlenreihen. Dies trifft besonders für die sogenannten arithmetischen bzw. geometrischen Folgen und Reihen zu. Ein wichtiger wirtschaftswissenschaftlicher Anwendungsbereich ist hier die Zinsrechnung (vgl. Abschnitt 3.4).

Ökonomische Zusammenhänge werden häufig mit Hilfe von Funktionen dargestellt. Denken Sie an Begriffe wie Kostenfunktion, Produktionsfunktion, Angebotsfunktion usw.

Das zentrale Thema dieses Kapitels ist der Begriff des Grenzwertes bei Funktionen.

Bei der Untersuchung von Funktionen sind wir bisher folgendermaßen vorgegangen: Wir haben ein einzelnes Argument x ∈ D_f herausgegriffen und dann den zugehörigen Funktionswert f(x) ermittelxt. Wir haben uns keine Gedanken darüber gemacht, wie sich eine Änderung der unabhängigen Variablen (der Argumente) auf die zugeordneten Funktionswerte auswirkt. Dies soll im folgenden geschehen. Von x bzw. f(x) ausgehend betrachten wir ein (oder mehrere) weitere Argumente und untersuchen, wie sich mit diesen Argumenten die Funktionswerte ändern. Das Ausmaß der Änderung der Funktionswerte ist für viele Fragestellungen von Bedeutung, was die folgenden Beispiele verdeutlichen sollen.

Die Differentialrechnung gelangt nicht zu ihrer vollen Bedeutung, bevor sie nicht mit der Integralrechnung verbunden ist. Dabei scheint der Untersuchungsgegenstand der Integralrechnung zunächst einmal in keiner Verbindung mit der Differentialrechnung zu stehen — im Abschn. 7.2 taucht nirgendwo eine Ableitung auf. Die Untersuchung von Integralen erfordert eine längere Vorbereitung. Sind diese Voraussetzungen jedoch geschaffen, so wird sich der Zusammenhang der Differentialrechnung mit der Integralrechnung als ein wirksames Instrument zur Lösung der Fragestellungen der Integralrechnung erweisen. Obwohl das Integral letztlich auf eine sehr komplizierte Weise definiert wird, ist es doch die Formalisierung eines einfachen und anschaulichen Begriffs, nämlich des Flächeninhaltes einer ebenen Fläche. In der Elementargeometrie werden Formeln für den Flächeninhalt zahlreicher geradlinig begrenzter Flächen hergeleitet. Auf die Frage, was nun unter einer Fläche bzw. dem Inhalt dieser Fläche eigentlich zu verstehen sei, wird selten eine zufriedenstellende Antwort gegeben. Die Integralrechnung beschäftigt sich in diesem Zusammenhang nun mit der Berechnung von Flächeninhalten sehr spezieller Flächen, nämlich von solchen Flächen, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt werden. Dabei wird dann auch der Begriff des Flächeninhalts neu gefaßt werden.