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About this book

Das Buch richtet sich an Studierende und Lehrende des Lehramts der Sekundarstufe sowie an Lehrerinnen und Lehrer der Sekundarstufe. Es baut auf Grundkenntnissen in der Analysis und der Linearen Algebra, wie sie gewöhnlich in den ersten Semestern des Studiengangs erworben werden, auf und knüpft an typische Modellierungsaufgaben aus der Schulpraxis an. Hierbei werden besonders bedeutende, historisch interessante oder ästhetisch ansprechende mathematische Modelle unterschiedlicher Bezugswissenschaften zusammen mit der dafür benötigten mathematischen Theorie entwickelt und dargestellt. Dabei erfolgt die nötige Theorieentwicklung immer in enger Verzahnung mit den betrachteten mathematischen Modellen. Typische Vorgehensweisen des Modellierens, wie Dimensionsanalysen, Vereinfachung durch Linearisierung, Isolierung verschiedener Effekte und Vernachlässigung kleiner Effekte, werden im Verlauf der Darstellung immer wieder aufgegriffen. Auf diese Weise ermöglicht das Werk Lehrkräften einen fachlich „höheren Standpunkt“ zu den schulischen Möglichkeiten und Anforderungen des Mathematischen Modellierens.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Hängende Kabel und Trassierungen – Steckbriefaufgaben und Entdimensionalisierungen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel greift schulübliche Steckbriefaufgaben auf und führt sie fachlich weiter: parabolische und hyperbolische Modelle für hängende Kabel sowie die Trassierung von Straßen mit Geraden, Kreisbögen und Klothoiden werden behandelt. In diesem Kontext werden die Dimensionsanalyse und der Entdimensionalisierungsprozess erläutert, der Begriff des mathematischen Modells beleuchtet, sowie Gütekriterien für Mathematische Modelle diskutiert. Das Kapitel schließt mit einer komplexen Modellierung von Hochhäusern bei Erdbeben, anhand der die Vorteile der Entdimensionalisierung verdeutlicht werden sollen.
Sebastian Bauer

Kapitel 2. Optimale Geschwindigkeiten und optimale Funktionen – Optimierungen und Variationen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel beginnt mit einem Optimierungsproblem für den Autoverkehr: Welche Geschwindigkeit soll vorgeschrieben werden, damit in dichten Verkehrssituationen der höchste Verkehrsfluss erzielt wird. Ausgehend von der Frage, woher die Physiker wussten, dass Ketten sich wie eine hyperbolische Funktion aufhängen, werden Optimierungsprobleme von Funktionen auf Funktionale übertragen: Die Kettenlinie wird als Minimerer der Lageenergie unter der Nebenbedingung konstanter Länge identifiziert. Allgemein werden Variationsprinzipien eingeführt und die Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet, sowie Extrema unter Nebenbedingungen behandelt. Es wird die Frage aufgeworfen, ob es ein „Wunder“ ist, dass die physikalische Realität der Mathematik folgt, oder ob das an der Auswahl des Realitätsausschnitts liegt, der durch Mathematik modelliert wird.
Sebastian Bauer

Kapitel 3. Zinsen, Strahlung und Kaninchen – Modellieren mit linearen Differenzengleichungen

Zusammenfassung
Anhand von Immobilienkrediten, radioaktiven Zerfallsprozessen und den Fibonacci-Hasen werden lineare Differenzengleichungen erster und zweiter Ordnung behandelt. Dieses Kapitel liefert darüber hinaus auf der linearen Ebene mathematische Werkzeuge wie Cobwebs und Stabilitätskonzepte, um im folgenden Kapitel Modellierungen mit nicht-linearen Differenzengleichungen in Angriff nehmen zu können.
Sebastian Bauer

Kapitel 4. Insekten zwischen Stabilität und Chaos – Modellieren mit nichtlinearen Differenzengleichungen

Zusammenfassung
Anhand der logistischen Differenzengleichung wird beispielgebunden der Übergang von der Stabilität ins deterministische Chaos numerisch nachvollzogen. Der Linearisierungssatz zeigt dann, dass sich das Verhalten um stationäre Punkte von der Linearisierung auf die nicht-lineare Gleichung vererbt. Mit diesem Rüstzeug wird die logistische Differenzengleichung analytisch betrachtet und Bifurkationsdiagramme eingeführt. Mit den erworbenen mathematischen Mitteln werden anschließend Insektenpopulationen mit nichtüberlappenden Generationenfolgen sowie unterschiedliche Bekämpfungsstrategien diskutiert.
Sebastian Bauer

Kapitel 5. Populationsmodelle und Befischung – Modellieren mit Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird in einem Kontext von Populationsentwicklungen in das Modellieren mit Differentialgleichungen eingeführt. Anschließend wird ein einfaches qualitatives Verfahren vorgestellt, mit dem sich ein Überblick über die Lösungen von autonomen Differentialgleichungen verschaffen lässt. Mit diesem qualitativen Lösungsverfahren werden komplexe Populationsmodelle in Abhängigkeit von den Parametern diskutiert. Hierbei spielt die Stabilitätsanalyse eine wichtige Rolle um Hysterese- und Kippphänomene zu beschreiben. Die Betrachtungen werden mathematisch durch eine auf der Methode der Trennung der Variablen aufbauenden Lösungstheorie für Differentialgleichungen untermauert. Es schließt sich die Modellierung eines Kontextes aus einer Abituraufgabe an, dem zeitlichen Verlauf von Blutalkoholkonzentrationen. Als numerisches Lösungsverfahren wird das explizite Euler-Verfahren eingeführt.
Sebastian Bauer

Kapitel 6. Räuber-Beute-Modelle – Modellieren mit Differentialgleichungssystemen

Zusammenfassung
Die Populationsmodelle werden am Beispiel der Räuber-Beute-Interaktion auf interagierende Populationen mehrerer Spezies erweitert. Für die mathematische Fundierung wird dazu die Lösungstheorie nach dem Satz von Picard-Lindelöf erläutert. Ausgehend von dem klassischen Lotka-Volterra-Modell werden die Modelle durch intraspezifische Konkurrenz und Sättigungseffekte verfeinert mit dem Ziel, die Datenlage über Schneeschuh-Hasen und Luchse der Hudson’s-Bay-Company qualitativ zu erklären. Mathematisch werden hierzu explizite Lösungen für lineare Differentialgleichungssysteme hergeleitet. Die nicht-linearen Systeme werden durch Stabilitätsanalyse via Linearisierung und die Betrachtung von Phasenporträts zugänglich.
Sebastian Bauer

Kapitel 7. Würfe, Enzymreaktionen und der Tannenwickler – asymptotische Methoden

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird erläutert, wie systematisch die Kleinheit von Effekten ausgenutzt werden kann. Dazu wird die Methode der asymptotischen Entwicklung im Kontext von Würfen im homogenen und im Newton’schen Schwerefeld eingeführt. Unterschiedliche Geschwindigkeitsskalen und das Prinzip des Asymptotic Matching werden im Rahmen der Reaktionskinetik am Beispiel von Enzymreaktionen betrachtet. Anschließend wird ein komplexes Modell diskutiert, welches die Wechselwirkungen zwischen Tannenwicklern, ihren Fressfeinden und dem Balsamtannenbestand modelliert. Dabei werden periodisch auftretende Zusammenbrüche der Bestände im Rahmen einer asymptotischen Sichtweise erklärt.
Sebastian Bauer

Kapitel 8. Das Modell der Reizverarbeitung in Nervenzellen nach Hodgkin und Huxley – Experimente, Modelle und Spielzeugmodelle

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die Nobelpreis gekrönte Entwicklung eines mathematischen Modells für die Ausbildung von Aktionspotentialen an Nervenzellen von Hodgkin und Huxley nacherzählt. Basierend auf den originalen Forschungsveröffentlichungen und -daten wird versucht zu erläutern, wie das mathematische Modell des Aktionspotentials im Wechselspiel von Hypothesenbildung und experimenteller Überprüfung entstanden ist. Eine numerische Implementierung des Modells erlaubt dann Simulationen. Anschließend wird das Toy model nach FitzHugh vorgestellt: Gesucht ist ein mathematisch möglichst einfaches Modell, das Phänomene wie ein Aktionspotential produzieren kann. Das Toy model enthält auch weitere Phänomene, wie biochemischen Schalter oder neuronales Feuern. Davon ausgehend lassen sich diese Effekte nun auch im Modell von Hodgkin und Huxley auffinden.
Sebastian Bauer

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