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2021 | OriginalPaper | Chapter

5. Mehrfachintegrale

Author: Prof. Dr. Jochen Balla

Published in: Integralrechnung leicht gemacht!

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Bisher haben wir die Integration gewöhnlicher Funktionen einer Veränderlichen behandelt. Aber natürlich können auch Funktionen integriert werden, die von mehreren Variablen abhängen. Die mathematisch exakte und erschöpfende Behandlung solcher Mehrfachintegrale ist aufwendig. Dessen ungeachtet sind in Anwendungen Mehrfachintegrale oft von Bedeutung, man denke an Integrale über Flächen oder Volumina.

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Appendix
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Footnotes
1
Benannt nach dem italienischen Mathematiker und Politiker Ulisse Dini, 1845–1918.
 
2
Benannt nach dem französichen Mathematiker Henri Léon Lebesgue, 1875–1941.
 
3
Benannt nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacobi, 1804–1851.
 
4
Kugelkoordinaten werden auch als „sphärische Polarkoordinaten“ bezeichnet. Generell ist zu beachten, dass \(\vartheta\) manchmal auch den Winkel bezeichnet, den der Ortsvektor mit der \(xy\)-Ebene einschließt. Es ist also auf die jeweils verwendete Konvention zu achten.
 
5
Für \(n> 3\) ist zur Verwendung der Formel zunächst das Volumen der entsprechenden Einheitskugel zu ermitteln. Es wird gegeben durch
$$\begin{gathered}\displaystyle\mathrm{Vol}(\bar{K}_{1}(\mathbb{R}^{n}))=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}\end{gathered}$$
mit der Gammafunktion \(\Gamma\), die die Fortsetzung der Fakultät auf reelle Zahlen darstellt (es ist \(\Gamma(1+n)=n!\) für \(n\in\mathbb{N}\)). So ist etwa \(\mathrm{Vol}(\bar{K}_{1}(\mathbb{R}^{4}))=\pi^{2}/2\).
 
Metadata
Title
Mehrfachintegrale
Author
Prof. Dr. Jochen Balla
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63586-5_5

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