Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica®

Als erstes geben wir den quantenmechanischen Hamilton-Operator ein, der ein Teilchen der Masse m beschreibt, das sich entlang der x-Achse in einem eindimensionalen Potential bewegt. Es ist sinnvoll, diesen Operator mit einem beliebigen Potential V_ aufzustellen und auf eine beliebige Wellenfunktion psi_ wirken zu lassen (s. Übg. C.1.4):

hamiltonian [V_] @ psi_ := -h^2/(2m) D[psi, {x, 2}] + V psi

Die Wellenfunktion eines Teilchens hat eine inhärente Breite, die in natürlicher Weise zu einer Unschärfe nicht nur im Ort des Teilchens, sondern allgemein in jeder beobachtbaren Größe Q führt, z.B. im Impuls. Die Unscharfe ΔQ definiert man zweckmäßigerweise als quadratisch gemittelte Abweichung vom Mittelwert, (math), wobei der Mittelwert durch den Erwartungswert Q gegeben ist. Unscharfen spielen in der Quantenmechanik aufgrund der Heisenbergschen Unschärfe-relationen eine besondere Rolle. Diese besagen, daß z.B. das Produkt der Unschärfen des Ortes und des Impulses größer als ein durch das Plancksche Wirkungsquantum bestimmter Wert ist: Δx Δp ≥ h/2. (Denken Sie daran, daß h für das durch 2Pi geteilte Plancksche Wirkungsquantum steht.)

Nachdem wir nun die Überlagerung einiger diskreter ebener Wellen untersucht haben, wollen wir den allgemeineren Fall einer Überlagerung ebener Wellen E^ (I k x) mit Wellenzahlen k aus einem kontinuierlichen Spektrum betrachten. Als einfaches, aber lehrreiches Beispiel betrachten wir eine Gaußsche Spektralverteilung, die für alle {k,-Infinity, Infinity} durch gegeben ist. Diese Funktion ist gemäß normiert. Die Funktion integGauss enthält eine kurze Liste unserer eigenen Regeln zur Berechnung von Integralen, die Gauß-Funktionen und Potenzen enthalten.

Bei der Lösung eines physikalischen Problems kann es sehr vorteilhaft sein, von Anfang an die Symmetrien des Systems zu erkennen. Als Einführung in die Behandlung von Symmetrien in der Quantenmechanik wollen wir die Auswirkungen einer Reflexion am Ursprung in einem eindimensionalen System betrachten. Dies ist das Analogon einer Koordinateninversion in drei Dimensionen.

Wir wenden uns nun einem Problem zu, das die ganze Physik durchzieht: der Antwort eines Systems auf kleine Auslenkungen aus einem stabilen Gleichgewicht. Wir betrachten ein eindimensionales Potential V[x] für ein Teilchen der Masse m und nehmen an, daß bei x = x0 ein lokales Minimum mit dem Wert V0 vorliegt. Dieses Minimum läst sich durch eine Taylor-Entwicklung beschreiben: Dabei definiert V′ [x0] → 0 ein Extremum und V″ [x0] → k > 0 ein Minimum. Für genügend kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage können wir daher die Kraft fast immer durch eine lineare Rückstellkraft -k(x - x0) annähern, wobei die Federkonstante k durch die Krümmung V″ [x0] des Potentials im Minimum gegeben ist. (Beachten Sie, daß wir hier V″ [xo] > 0 annehmen, was nicht immer der Fall ist; vgl. den anharmonischen Oszillator in Aufg. 7.3.2.)

Um die Vollständigkeit der HO-Basis zu veranschaulichen, untersuchen wir nun die Bewegung eines Wellenpakets im Potentialtopf des harmonischen Oszillators. Bei diesem Verfahren wird das Wellenpaket in eine verallgemeinerte Fourier-Reihe nach HO-Eigenzuständen entwickelt, ähnlich der in Kap. 4 durchgeführten Entwicklung eines Wellenpakets für ein freies Teilchen nach ebenen Wellen. Da jede Eigenfunktion eine Lösung der HO-Schrödinger-Gleichung ist, beschreibt die Superposition ein harmonisch schwingendes Teilchen. Wenn wir annehmen, daß das Wellenpaket ursprünglich durch eine Gauß-Funktion gegeben ist, erhalten wir ein bemerkenswert einfaches Ergebnis für die zeitabhängige Wahrscheinlichkeitsdichte; sie ist wiederum eine Gauß-Verteilung. In Analogie zur Anregung eines klassischen Oszillators können wir das Maximum des Wellenpakets vom Ursprung verschieben und ihm eine Geschwindigkeit verleihen. Außerdem können wir für das Wellenpaket eine Breite wählen, die sich von der der HO-Grundzustandswellenfunktion unterscheidet.

Es ist möglich und oft sehr effektiv, eine physikalische Größe Q durch ihre Integrale zwischen einem vollständigen Satz von Wellenfunktionen darzustellen, z.B. zwischen den Basiszuständen des harmonischen Oszillators: für alle n und k. Diese Integrale werden in einem quadratischen Feld, einer Matrix aus Zeilen mit dem Index n und Spalten mit dem Index k angeordnet; eine einzelne Eintragung bezeichnet man als das n-k-te Matrixelement von Q. Die dynamische Beschreibung mittels dieser Darstellung wird als Matrixmechanik bezeichnet und wurde von Heisenberg eingeführt, kurz bevor Schrödinger die Wellengleichung entdeckte. Wie wir sehen werden, ist sie der Wellenmechanik vollständig äquivalent und liefert bei diskretem Eigenwertspektrum nicht nur eine bequeme, sondern auch eine sehr mächtige Darstellung.

Angenommen, wir verwenden weiterhin die HO-Eigenfunktionen als Basis und berechnen die Matrixelemente eines anderen Hamilton-Operators, der ein anderes System als den harmonischen Oszillator beschreibt. Offensichtlich wäre die resultierende Matrix nicht diagonal. Wir untersuchen jetzt, wie wir die Dynamik des durch den neuen Hamilton-Operator definierten Systems bestimmen können.

Durch eine Fourier-Analyse der Wellenfunktion gewinnen wir beachtliche Einsicht in die Dynamik der Bewegung eines Teilchens. Im allgemeinen brauchen wir dazu jedoch ein Fourier-Integral anstatt einer Fourier-Reihe, da wir Teilchen beschreiben wollen, die sich im gesamten Raum aufhalten können und nicht durch undurchdringliche Wände beschränkt sind. Beispielsweise haben wir in Abschn. 2.6 Wellenpakete in einem Kasten konstruiert, indem wir über Eigenzustände des Kastens summiert haben. In Abschnitt 4.0 haben wir jedoch in Abhängigkeit von der Wellenzahl k über einen kontinuierlichen Bereich von ebenen Wellen integriert, um ein Wellenpaket zu konstruieren, das sich im ganzen Raum frei bewegt. Wir werden in Kürze sehen, daß die Koeffizienten der Komponenten durch die Fourier-Transformierte des Wellenpakets als Funktion von k gegeben sind.

Einige der Ideen, die wir in der Impulsdarstellung entwickelt haben, können wir zu mächtigen numerischen Methoden zur Lösung der zeitabhängigen Wellengleichung machen, wenn wir bereit sind, die Wellenfunktion durch Einführung eines endlichen Gitters zu approximieren. Insbesondere können wir den Hamilton-Operator und sogar den Zeitentwicklungsoperator auf die Wellenfunktion anwenden, indem wir durch Fourier-Transformationen zwischen der Ortsdarstellung und der Impulsdarstellung hin- und herwechseln. Auf einem diskreten Gitter lassen sich die Transformationen effizient und relativ schnell mit dem FFT-Algorithmus¹ berechnen.

Schon vor langem führte Morse das Potential ein, um die Schwingungsenergie eines zweiatomigen Moleküls durch eine analytische Lösung der Schrödinger-Gleichung zu beschreiben (s. Morse [49] und Morse und Feshbach [50]). Dieses Potential ist in Abb. 13.1 in Abhängigkeit von der dimensionslosen Koordinate y = bx und dem skalierten Tiefenparameter De dargestellt. Da dieses Modell praktisch gut handhabbar ist und sich als sehr gute Näherung herausgestellt hat, insbesondere für niederenergetische Schwingungen, bezieht man sich im Zusammenhang mit Molekülen oft auf den Morseschen Oszillator. Dieses Modell ist dem harmonischen Oszillator eng verwandt, weist jedoch auch einige nützliche Unterschiede zu diesem auf. Dennoch läßt es sich mit Hilfe der konfluenten hypergeometrischen Funktionen in geschlossener Form lösen.

In der Quantenmechanik werden die konjugierten Komponenten x und px des Orts- und Impulsvektors eines Teilchens als nicht vertauschbare Größen oder Operatoren betrachtet, so daß x px etwas anderes bedeutet als px x. Das gleiche gilt für die Komponenten y und py sowie für z und pz, während unabhängige Variablen vertauschen, d.h. x y = y x, x py = py x, usw. Alle physikalischen Größen oder dynamischen Variablen, die ein System beschreiben, werden ebenso durch Operatoren repräsentiert, sogenannte Observablen, die im allgemeinen aus Komponenten von rvec und pvec konstruiert werden. Auf diese Weise wird das Heisenbergsche Unschärfeprinzip in das mathematische Fundament der Quantenmechanik eingebaut: Messungen nicht vertauschender Observablen stören einander, Messungen vertauschender Observablen nicht.

Den Bahndrehimpulsoperator eines Teilchens, das sich um den Ursprung rvec = 0 bewegt, definieren wir wie in der klassischen Mechanik als das Kreuzprodukt lvec = rvec × pvec aus dem Ortsvektor und dem Impulsvektor des Teilchens. (Unsere Vektornotation ist in Anhang E, insbesondere in Abschn. E.2.6 beschrieben.)

Da wir nun die nötigen Werkzeuge in der Hand haben, bietet es sich an, das quantenmechanische Problem der Addition zweier unabhängiger Drehimpulsvektoren jvec[1] und jvec[2] zu einem Gesamtdrehimpulsvektor Jvec = jvec[1] + jvec[2] zu untersuchen. Eine mögliche Anwendung wäre die Addition der Drehimpulse zweier Teilchen zu einem Gesamtdrehimpuls für beide Teilchen. Oft will man jedoch auch den Spin svec eines einzigen Teilchens mit dessen Bahndrehimpuls lvec verbinden, um den Gesamtdrehimpuls Jvec = svec + lvec des Teilchens zu beschreiben.

Wir betrachten nun die konventionellere Darstellung der Komponenten des Impulses pvec als Ableitungen nach den entsprechenden konjugierten Koordinaten. Wir betrachten also pvec als Gradienten bezüglich des Ortsvektors rvec, genauer pvec → -I h grad, und damit px → -I h Dt [..., x] usw. Auf diese Weise erfüllen wir die fundamentalen Vertauschungsrelationen in der Ortsdarstellung, in der die Wellenfunktion eine Funktion von x, y und z ist. Andererseits können wir in der Impulsdarstellung rvec als Gradienten bezüglich des Impulsvektors pvec und die Wellenfunktion als Funktion der Impulse px, py und pz betrachten. Die beiden Darstellungen sind mathematisch äquivalent; die Wellenfunktionen sind durch die Fourier-Transformation miteinander verknüpft (s. Kap. 11 und auch Aufg. 20.2.1).

Als wichtiges Beispiel der Einführung krummliniger Koordinaten werden wir nun den Bahndrehimpuls lvec = -I h rvec x grad in die Kugelkoordinaten r, t und p transformieren. Diese Koordinaten werden in Abschn. E.4.0 diskutiert und sind dort in Abb. E.4 dargestellt. Der Polarwinkel t und der Azimutwinkel p mit {t, 0, Pi} und {p, 0, 2Pi} bilden die Einheitskugel mit Radius r = 1 ab.

Dieser Anhang enthält einige einzeilige Mathematica-Beispiele für den Anfänger. Mathematica merkt sich alles, was Sie eingeben, und Sie werden überraschende Ergebnisse erhalten, wenn Sie eine Größe verwenden, die Sie zuvor in anderem Zusammenhang bereits definiert hatten. Wenn Sie vermuten, daß dies der Fall ist, können Sie Clear [quantity] eingeben und die Größe neu definieren. Beim Durcharbeiten dieser Beispiele sollten Sie diese verändern und eigenständig experimentieren.

Als kurze Einführung in Mathematica und Physik-Notebooks untersuchen wir die Bewegung eines klassischen Geschosses. Wir vernachlässigen zunächst den Luftwiderstand und führen ihn dann im Zusammenhang mit der numerischen Integration ein.

Wir verwenden im allgemeinen nur einen kleinen Teil der in Mathematica eingebauten Funktionen, da wir häufig immer wieder die gleichen Operationen in verschiedenen Zusammenhängen ausführen. Die Übungen in diesem Anhang führen die meisten grundlegenden Funktionen ein und zeigen außerdem einige Tricks, die bei der Benutzung des Buches hilfreich sein könnten. Dieser Anhang ist zum gemächlichen Üben und Nachschlagen gedacht und verlangt nicht mehr von Ihnen, als die Beispiele einzugeben und sich die Ergebnisse anzuschauen. Fühlen Sie sich ermutigt, eigenständig herumzuexperimentieren. Springen Sie ruhig hin und her; wenn Sie jedoch noch keine Erfahrung mit Mathematica haben, sollten Sie vielleicht zuerst die beiden vorangehenden Anhänge und dann Übg. C.1.1–C.1.9 durcharbeiten.

Die für dieses Buch entwickelten Pakete, die sich in dem Verzeichnis bzw. dem Ordner Quantum auf der mitgelieferten Diskette befinden, sind hier abgedruckt. Einige der Regelsätze werden in den Übungen in Abschn. C.2 entwickelt und diskutiert. Damit die Aufrufe dieser Pakete (die Befehle Get und Needs) funktionieren, muß Quantum in das Mathematica-Verzeichnis Packages kopiert werden.

In der gesamten theoretischen Physik treten vektorielle Differentialoperatoren auf. In der Quantenmechanik ist z.B. in der Ortsdarstellung der Impulsope-rator dem Gradienten (einem Vektor) und der Operator der kinetischen Energie dem Laplace-Operator (dem Quadrat eines Vektors) proportional. Um die physikalischen Symmetrien eines Systems im Einzelfall geeignet repräsentieren zu können, brauchen wir eine Methode, um solche Operatoren in verschiedenen Koordinatensystemen darzustellen.