Methoden der Systemtheorie

Die harmonische Analyse ermöglicht die Darstellung beliebiger Zeitfunktionen durch eine Summe harmonischer Schwingungen, die als Spektrum bezeichnet wird. Diese spektrale Darstellung von Zeit funktionen bildet die Grundlage für die Analyse und Synthese linearer Systeme im Sinne der Systemtheorie. In diesem 1. Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektrum hergeleitet werden. Von der harmonischen Schwingung ausgehend, wird die spektrale Darstellung periodischer Zeitfunktionen mit Hilfe der Fourier-Reihe beschrieben. Danach wird das Fourier-Integral zur spektralen Darstellung einmaliger Vorgänge abgeleitet. Darauf aufbauend werden die beiden üblichen Verfahren, nämlich die Laplace- und die Fourier-Transformation hergeleitet und ihre Darstellungsmöglichkeiten diskutiert. Der Bereich darstellbarer Funktionen ist bei beiden Verfahren in verschiedener Weise eingeschränkt. Deshalb wird im 2. Abschnitt eine Allgemeine Spektraltransformation, die beide Verfahren umfaßt, definiert und beschrieben.

Vergleicht man die Darstellungseigenschaften von Fourier- und Laplace-Transformation, so ist festzustellen: Die Laplace-Transformation ist nur auf Zeitvorgänge im positiven Zeitbereich (t>0) anwendbar, sie ist jedoch in der Lage, auch exponentiell anklingende Vorgänge darzustellen. Die Spektralfunktionen solcher Vorgänge sind durch Pole in der rechten p-Halbebene gekennzeichnet. Da alle Pole links des Integrationsweges in der p-Ebene liegen müssen, wird somit die gesamte p-Ebene (hinsichtlich ihrer Polstruktur) dem Zeitbereich t>0 zugeordnet. Dies ist in Bild 2.1a veranschaulicht. (Hier und in den folgenden Bildern ist der Integrationsweg in der komplexen Frequenzebene gestrichelt eingezeichnet.)

Die wichtigste Klasse der in der Nachrichtentechnik vorkommenden Systeme sind lineare und zeitinvariante Systeme. Sie werden mathematisch durch ein System linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Bei Systemen oder Netzwerken mit konzentrierten Bauelementen sind es gewöhnliche Differentialgleichungen nach der Zeit; bei Systemen mit verteilten Elementen sind es partielle Differentialgleichungen nach Ort und Zeit (z. B. die homogene Leitung). Diese Systeme können besonders zweckmäßig mit Hilfe der Spektraltransformationen beschrieben werden, was im folgenden gezeigt werden soll. Obwohl das Verfahren nicht auf elektrische Systeme beschränkt ist, sondern genauso gut auch z. B. auf akustische, mechanische oder chemische Vorgänge anwendbar ist, wollen wir als Beispiele stets elektrische Systeme verwenden, um so mehr, als sich für die anderen Anwendungen elektrische Ersatzschaltungen angeben lassen.

Im folgenden sollen die wichtigsten Gesetze der Spektraltransformationen besprochen werden. Diese stellen zugleich grundlegende Gesetzmäßigkeiten der Übertragungssysteme dar, was verständlich erscheint, nachdem letztere durch eine Spektralfunktion — die Systemfunktion — charakterisiert werden können. Wir wollen daher im folgenden nach der Angabe des jeweiligen Gesetzes und dessen formalen Beweises auch auf seine Anwendung und seine Bedeutung für lineare Systeme eingehen. Die angeführten Gesetze werden zunächst für die Fourier-Transformation aufgestellt und bewiesen. In einer Anmerkung wird ihre Gültigkeit in gleicher oder abgewandelter Form für die Allgemeine Spektraltransformation und die Laplace-Transformation diskutiert. Selbstverständlich sind solche Gesetze, die den vollen Zeitbereich in Anspruch nehmen, nicht für die Laplace-Transformation anwendbar. Dies trifft für die Gesetze 4.4, 4.5, 4.6 und 4.12 zu.

Die Hilbert-Transformation ist eine aus dem Faltungssatz abgeleitete Transformation, die unter bestimmten Bedingungen zwischen Real- und Imaginärteil der Zeit funktion oder des Spektrums gilt. Die Gültigkeit der Hilbert-Transformation für Real- und Imaginärteil der Spektralfunktion setzt voraus, daß die zugrundeliegende Zeitfunktion ein „kausales“ Signal ist, d.h. es muß u(t)=0 für t<0 gelten. Soll andererseits die Hilbert-Transformation für die Zeitfunktion gelten, so muß hierfür die Bedingung U(f)=0 für f<0 erfüllt sein. In diesem Fall spricht man von einem „analytischen“ Signal. Im folgenden werden beide Fälle behandelt. Darüber hinaus wird auch die Anwendung der Hilbert-Transformation auf den Zusammenhang zwischen Dämpfungs- und Phasenfunktion bei Minimum-Phasen-Systemen besprochen. Zum Schluß wird unter Verwendung der Hilbert-Transformation der verallgemeinerte Zuordnungssatz aufgestellt.

Das Abtasttheorem gestattet eine diskrete Darstellung einer frequenzbandbegrenzten Zeitfunktion und wird damit zur Grundlage jeder zeitdiskreten Signaldarstellung und insbesondere auch sämtlicher Pulsmodulationsverfahren. In einer anderen Version gilt das Abtasttheorem für zeitbegrenzte Signale und erlaubt eine diskrete Darstellung der Spektralfunktion. Wir besprechen zunächst das Abtasttheorem der Zeitfunktion und danach das der Spektralfunktion, wobei jeweils auf verschiedene Anwendungen hingewiesen wird.

In diesem Abschnitt betrachten wir zeitdiskrete Signale, die jedoch nicht notwendigerweise dem Abtasttheorem gehorchen. Die Bedingung der Frequenzbandbegrenzung kann nämlich nicht immer exakt eingehalten werden, jedoch wird man im allgemeinen bestrebt sein, sie wenigstens näherungsweise zu erfüllen. Andererseits ist eine diskrete Signaldarstellung immer dann notwendig, wenn digitale Rechenanlagen benutzt werden, sei es zum Zwecke analytischer Rechnungen wie Fourier-Transformation oder Faltung, oder sei es zum Zwecke der Simulation linearer Systeme. Aus diesem Grunde hat die diskrete Signaldarstellung eine große praktische Bedeutung erlangt.

Zur finiten Signaldarstellung kommt man, wenn sowohl die Zeitfunktion wie auch das Spektrum durch diskrete Abtastwerte gegeben sind. Eine solche Signaldarstellung ist für eine Behandlung mit dem Digitalrechner in der Regel erforderlich und wird daher in zunehmendem Maße angewendet. Bei der finiten Signaldarstellung kann man die Signale als Vektoren auffassen und alle Operationen (insbesondere Fourier-Transformation und Faltung) als Matrizenmultiplikationen verstehen. Man erhält so ein einheitliches für die Programmierung besonders geeignetes Rechenverfahren.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten lassen sich mit Hilfe der Spektraltransformation sehr einfach lösen, indem man die gesamte Differentialgleichung gliedweise in den Spektralbereich transformiert und die damit erhaltene Gleichung n-ten Grades auflöst. Wir betrachten hierbei zunächst die Methode der Allgemeinen Spektraltransformation bzw. der Fourier-Transformation und danach die der Laplace-Transformation. Dabei wird für die genannten Fälle die Möglichkeit der Berücksichtigung von Anfangswerten aufgezeigt. Die Differentialgleichung sei gegeben durch mit

Nach der von L. Schwartz entwickelten Theorie der Distributionen ist eine Distribution eine besondere Funktion, die nicht durch ihre Form, sondern durch eine Eigenschaft definiert ist. Die hier in Frage kommende Eigenschaft ist die Zuordnung eines Zahlenwertes zu einem bestimmten Integral.