6. Methoden für instationäre Probleme

In den oben beschriebenen Integralapproximationen wurden konstante Zeitschritte verwendet. Bei variablen Zeitschritten werden die Faktoren vor den jeweiligen Werten von f zu verschiedenen Zeitpunkten komplizierte Funktionen der Intervallgröße, wie in Kap. 3 für finite Differenzen im Raum gezeigt wurde.

In vielen geophysikalischen Anwendungen pflanzen sich bestimmte Bewegungen, z. B. akustische Wellen, sehr schnell fort im Vergleich zu anderen, z. B. Wind oder Meeresströmungen. Es ist dann sinnvoll, die Berechnung tatsächlich zeitlich aufzuteilen und separate Berechnungen für die schnellen und langsamen Teile des Systems durchzuführen (Klemp et al., 2007, oder Blumberg und Mellor, 1987).

Dieser Parameter wird auch oft als CFL-Zahl bezeichnet, wobei CFL für die Initialen von R. Courant, K. Friedrichs  und H. Lewy steht, die ihn erstmals in ihrer Publikation aus dem Jahr 1928 definierten.

Zur Erinnerung: Das Verfahren besteht aus (1) Entwicklung der diskretisierten Terme in 2D (x, t) Taylor-Reihen um einen Punkt (in diesem Fall \(x_i, t_{n}\)), um eine erweiterte partielle Differentialgleichung (PDG) zu erhalten, (2) Verwendung der PDG selbst (und deren Ableitungen), um alle Terme höherer Ordnung und gemischten Terme durch räumliche Ableitungen in der erweiterten PDG zu ersetzen, und (3) Umordnung, um die ursprüngliche PDG auf der linken Seite und die übrigen Terme auf der rechten Seite zu erhalten. Die Prozedurtabelle von Warming and Hyett (1974) ist nützlich, wenn dies per Hand gemacht wird. Die übrigen Terme sind der Abbruchfehler, d. h. die Differenz zwischen der diskretisierten Gleichung und der ursprünglichen PDG, die man lösen möchte. Die übrigen Terme niedrigster Ordnung zeigen die wichtigsten physikalischen Effekte.

Damit Diffusion (Dissipation) stattfindet, müssen die Koeffizienten der Ableitungen gerader Ordnung in der modifizierten Gleichung alternierende Vorzeichen aufweisen: Der Koeffizient des Terms 2. Ordnung soll positiv und der des Terms 4. Ordnung negativ sein usw. Die physikalische Diffusion 2. Ordnung ist hier in der ursprünglichen Gleichung vorhanden.