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2021 | Book

Peripheriewinkelsatz Read chapter Read first chapter

Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten

Perlen der klassischen Geometrie

Authors: Dr. Lorenz Halbeisen, Prof. Dr. Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch nimmt Sie mit auf eine Entdeckungsreise durch die Welt der klassischen Geometrie: Beginnend beim Satz von Thales und den Apolloniuskreisen führt die Reise über Steiner'sche Kreisketten bis in die Welt der Kegelschnitte. Dabei werden verborgene Zusammenhänge aufgedeckt und Perlen der Elementargeometrie präsentiert. Hierbei werden Sie durch harmonische Verhältnisse geleitet, welche eine zentrale Rolle spielen und sich wie ein roter Faden durch das ganze Buch ziehen.

Einerseits ist dieses Buch für alle Liebhaberinnen und Liebhaber der Geometrie geschrieben, andererseits ist es durch die leicht zugängliche Theorie und die kurzen Beweise besonders auch für Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe sowie Lehramtsstudierende geeignet.

Die zweite Auflage des Buches enthält neu Lösungen und Hinweise zu allen Aufgaben. Zusätzlich wurde ein Abschnitt über die Zyklographie eingefügt. Diese heute fast in Vergessenheit geratene Abbildung erlaubt eine verblüffend einfache und elementare Lösung des Apollonischen Berührungsproblems. Die ebenfalls neuen Abschnitte über trilineare Koordinaten und das Ceva- und das Anti-Ceva-Dreieck ermöglichen einen Ausblick in die moderne Dreiecksgeometrie.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Peripheriewinkelsatz
Zusammenfassung
Es ist sicher nicht übertrieben zu behaupten, dass mit THALES VON MILET die griechische Geometrie begonnen hat (siehe Anmerkungen), und so wollen auch wir mit dem Satz von Thales 1.1 beginnen. Zuvor möchten wir aber diesen Satz im historischen Kontext betrachten.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 2. Sehnen, Sekanten und Chordalen
Zusammenfassung
In Kap. 1 haben wir gesehen, dass alle Peripheriewinkel über einer festgehaltenen Sehne gleich groß sind. Imfolgenden Satz halten wir nun nicht eine Sehne fest, sondern einen Punkt im Kreis, und betrachten die Sehnen, welche sich in diesemPunkt schneiden.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 3. Harmonische Geradenbüschel
Zusammenfassung
In diesemKapitel betrachten wir Verhältnisse von Strecken auf Geraden. Insbesondere untersuchen wir innere und äußere Teilungspunkte einer Strecke sowie Geradenbüschel, welche durch die Streckenendpunkte und die Teilungspunkte gehen. Diese sogenannten harmonischen Geradenbüschel werden in den folgenden Kapiteln eine wichtige Rolle spielen.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 4. Harmonische Punkte am Kreis
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir harmonische Punkte in Bezug auf Kreise. Dabei warden die Apollonischen Kreise von zentraler Bedeutung sein.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 5. Ein Apollonisches Berührungsproblem
Zusammenfassung
In diesemKapitel wollen wir die bisher hergeleitete Theorie anwenden. Da nichts zumweiteren Aufbau der späteren Theorie der Kegelschnitte beitragen wird, kann dieses Kapitel auch übersprungen werden. Bei der folgenden Anwendung handelt es sich um ein Apollonisches Berührungsproblem:Zu drei gegebenen Kreisen soll ein vierter Kreis konstruiertwerden,welcher jeden der drei gegebenen Kreise berührt.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 6. Inversion am Kreis
Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die sogenannte Inversion am Kreis, und untersuchen geometrische Eigenschaften dieser Abbildung. Insbesondere werden wir sehen, dass diese Abbildung Kreise und Geraden auf Kreise und Geraden abbildet, aber nicht unbedingt Kreise in Kreise und Geraden in Geraden.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 7. Kegelschnitte
Zusammenfassung
Dieses Kapitel bildet sowohl den Abschluss als auch die Krönung unserer Untersuchungen, und wir dürfen die Früchte unserer Arbeit ernten. Das Thema dieses Kapitels sind die sogenannten Kegelschnitte bzw. Zentralprojektionen von Kreisen. Insbesondere untersuchen wir, welche geometrischen Eigenschaften von Kreisen unter Zentralprojektionen erhalten bleiben.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Kapitel 8. Kleinodien
Zusammenfassung
In diesem Kapitel möchten wir eine Auswahl von schönen Sätzen der klassischen und der neuerenGeometrie präsentieren. Insbesondere zeigen sich Sätze aus früheren Kapiteln in allgemeinerem Licht und neue Zusammenhänge werden sichtbar.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli
Backmatter
Metadata
Title
Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten
Authors
Dr. Lorenz Halbeisen
Prof. Dr. Norbert Hungerbühler
Juan Läuchli
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-63330-4
Print ISBN
978-3-662-63329-8
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63330-4

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